高等应用数学基础课件：随机变量及其数字特征

随机变量及其数字特征教学要求:掌握有关随机变量的概率计算.掌握求期望、方差与标准差的方法,会查正态分布表.熟悉随机变量的概率分布、概率密度、期望、方差与标准差等概念.了解二维随机变量、随机变量独立性、分布函数的概念.随机变量随机现象描述离散型连续型数字特征随机事件及概率随机变量及其类型随机

变量离散型（取离散值）概率分布或分布X

x1x2x3

···xk···

pp1p2p3

···pk

···

性质连续型命中未中期望、方差图示分布函数取连续值数字

特征反映集中趋势方差

D(X)期望

E(X)反映分散程度性质比较数字特征xP0p1p2pk0xPp1p2pk1······例1当a为何值时,

为X的分布列。解由得二点分布二项分布

X~B(n,p)泊松分布

X~P(

)当n很大，p很小时等概率重复地进行n次离散型分布X012pi1/106/103/10求随机变量X的分布函数F(x)。解当x<0时，事件{X

x}=,所以F(x)=0

当0

x<1时，F(x)=P{X

x}=P(X=0)=1/10

当1

x<2时，F(x)=P{X

x}=P(X=0)+P(X=0)=7/10

当2

x时,F(x)=P{X

x}=P(X=0)+P(X=1)+P(X=1)=1例2（求分布函数）设随机变量X的概率分布是x<00

x<11

x<22

x7/101/1012xP16/103/10X-1012pk0.20.30.4k(1)求参数k;(2)Y=X2

;(3)Y=2X-1解X2014pk0.30.60.1P(X2=0)=P(X=0)P(X2=1)

=P(X=-1)+P(X=1)P(X2=4)

=P(X=-2)+P(X=2)

=P(X=2)例3（求概率）已知随机变量X的概率分布2X-1-3-113pk0.20.30.40.1P(2X-1=-3)

=P(X=-1)P(2X-1=-1)

=P(X=0)P(2X-1=1)

=P(X=1)P(2X-1=3)

=P(X=2)X-1023

pi1/81/43/81/4求：E(X);E(X2);E(-2X+1);D(X);D(-2X+1)解

一阶原点矩设X的概率分布为例4（求期望和方差）二阶中心矩随机变量X,f(x)(-<x<+)可积

a,b

Rf(x)为X的概率密度函数或概率密度性质X为连续型随机变量分布函数性质分位数连续型随机变量设随机变量X具有概率密度其他试确定常数c,并求解由于即其他X服从(a,b)上的均匀分布常描述在(a,b)内任一点处出现的可能性都相等的问题例1当a=b=1/2时，U(0,1)称为标准均匀分布。某电子元件的寿命X是随机变量，X的概率密度函数是求P(X1200)指数分布P(2000)例2设随机变量X的概率分布是其他求随机变量X的分布函数F(x)。解由得当x<a时，f(x)=0,

F(x)=0当a

x<b时，f(x)=1/b-a,故例3当b

x时，f(x)=0,故所以x<aa

x<bx

b满足方程F(x)=

的解称为F(x)的

分位数。

满足方程1-F(x)=

的解称为F(x)的上

分位数。已知随机变量X的概率分布求随机变量Y=2X+3的概率分布解练习5.13,4,7返回例4

某射手一次射击命中靶心的概率为0.9，现该射手向靶心射击5次，求：

（1）命中靶心的概率；

（2）命中靶心不少于4次的概率。解X~B(5,0.9)（1）设：A={命中靶心}（2）设：A={命中靶心不少于4次}用逆事件求解可使问题变得简单

例5

电话交换台每分钟接到的呼叫次数X为随机变量，设X~P(4)，

（1）求一分钟内呼叫次数恰为8次的概率；

（2）一分钟内呼叫次数不超过1次的概率。解X~P(4),(1)（2）当n>10，p<0.1时，二项分布可用泊松分布近似

例6

均匀分布

X~U(a,b)指数分布

X~E(a,

)正态分布

X~N(,2)N(0,1)分布函数正态分布连续型分布

-N(,2)N(0,1)+oyxyxo返回正态分布和标准正态分布ooyyxxx-x设X~N(1,0.22),求P(X<1.2)及P(0.7≤X<1.1)解例1（利用标准正态函数值表求概率）例2

设X~N(3,22)，若P(X>c)=P(X≤c)，问为何值？解查表得，3

原则a=7.416

解例已知X~N(5,4),,求a（1）（2）,求a2a=5.16

二阶中心矩返回K阶原点矩K阶中心矩矩参见教材，可定义k阶绝对原点矩和k

阶绝对中心矩.联合分布边缘分布密度和分