高等数学课件：向量代数与空间解析几何

向量代数与空间解析几何

第一节空间直角坐标系 第二节向量的线性运算 第三节向量的数量积、向量积第四节曲面及其方程 第五节空间曲线及其方程 第六节平面和空间直线的方程向量代数与空间解析几何

在中学中，我们曾学过平面解析几何.通过建立一个平面直角坐标系，可将平面上的点与一个有序数组对应起来；将平面上的一条直线或曲线，与一个代数方程对立起来，这样就可以用代数方法来研究平面几何问题.而空间解析几何是平面解析几何的进一步发展，它是在三维空间里利用代数方法研究几何问题.第一节空间直角坐标系、空间点的直角坐标。在研究空间解析几何的开始，我们首先建立一个空间直角坐标系.如图4-1，在空间中，任意固定一点O，以O为原点，做三条等长且相互垂直的直线，对于这三条直线，分别确定他们的正向，使他们成为坐标轴OX，OY，OZ.OX轴又称为x轴或横轴，OY轴又称为y轴或纵轴，OZ称为z轴或竖轴，三条坐标轴单位长度相同.习惯上，总把x轴，y轴放在水平面上，z轴放在垂直位置上。x轴，y轴，z轴方向的按右手法则确定，即以右手握住z轴，大拇指方向为z轴的正方向，其余四指从x轴正向旋转90度，所指方向便为y轴正向.图4-1这种坐标系又称为空间直角右手坐标系。相应的还有一个左手坐标系，但不常用，在我们这本教材中，里面使用的全部都是右手坐标系.在上图中，我们可以确定三个坐标平面，即三个坐标面，他们相互垂直，其中，垂直于OX轴的叫做YOZ平面或Oyz平面，其他类似.三个坐标平面把整个空间分成了八个部分，每个部分叫做卦限，八个卦限的排列顺序如图4-2IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz图4-2：八个卦限分布空间直角坐标系建立以后，我们就可以建立空间的点与有序数组之间的对应关系，为此先介绍空间点的坐标.对于空间任意一点M，过M做三个平面，分别垂直于x轴，y轴和z轴，他们与之的交点分别记做P、Q、R（如图4-3）.这三个点分别在x轴，y轴和z轴上的坐标依次为x，y，z.这样点M就唯一的确定了一个有序数组（x，y，z），这组数（x，y，z）就叫做M点的坐标，并依次称x，y和z为M点的横坐标，纵坐标和竖坐标，通常记为M（x，y，z）.图4-3：点M坐标倒过来，对任意一个有序数组（x，y，z），空间总有唯一的点M，其坐标就是（x，y，z）。事实上，在x轴上，取坐标为x的点P，在y轴上，取坐标为y的点Q，在z轴上，取坐标为z的点R。经过P、Q、R分别作平行于坐标面YOZ，ZOX，XOY的平面，这三个平面相互垂直，且交于一点M。显然，M点且仅有M点是以有序组（x，y，z）为坐标的点.从上面两个方面，我们知道，在建立空间直角坐标系后，空间的点M和有序数组（x，y，z）之间建立一个一一对应的关系，（x，y，z）可以叫做M点的直角坐标，根据坐标画点时，可按图2的路线进行.坐标面和坐标轴上的点，其坐标各有一些特征，很简单，这里就不详写了.下面我们讲卦限划分：各卦限内的点（除去坐标面上的点外）的坐标符号如下：Ⅰ（+，+，+），Ⅱ（-，+，+），Ⅲ（-，-，+），Ⅳ（+，-，+，）Ⅴ（+，+，-），Ⅵ（-，+，-），Ⅶ（-，-，-），Ⅷ（+，-，-）不过，我们很少用到卦限的概念二、空间上两点间的距离我们知道：在数轴上，M1（x1），M2（x2）两点之间的距离为D=.在平面上，M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点之间的距离为：

D=.那么，在空间上任意两点M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）之间的距离是多少呢？我们可以证明：D=事实上，过M1，M2，各作分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1，M2，为对角线的长方体（图4-4）.图4-4∴D2=

==∴D=这就是空间两点的距离公式。【特别的】：（1）点M（x，y，z）与坐标原点O（0，0，0）的距离为

d=（2）M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2。（3）=例1：已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。试证明A角为钝角.证：===可见，>+由余弦定理，就可知A角为钝角.例2：在z轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点.解：设M为所求的点，因为M在z轴上，故可设M的坐标为：（0，0，z）根据题意，及=去根号，整理得：z=14/9∴M（0，0，14/9）.例3：试在xoy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等.解：设M为所求。故依题意可设M的坐标为（x，y，0），又由题意知：

|MA|=|MB|=MC|，即：==

化简可得∴所求的点为M（16，-5，0）.第二节向量的线性运算

、向量概念在物理学中，有许多量不仅有大小而且有方向，比如力、磁场强度等.我们将这些量称为向量（矢量）.定义：向量是既有大小（由一个大于等于零的数表示）又有方向的量.在数学中，往往用一条有方向的线段，又称有向线段来表示向量。有向线段的长度表示该向量的大小，有向线段的方向表示该向量的方向.以M1为起点，M2为终点的有向线段表示的向量，记为。有时也用一个粗体字母或者上面带有尖头的字母来表示向量，比如：或者a，j，k，v等等.向量大小叫做向量的模。向量的模即该有向线段的长度.向量，，a的模依次记做，，|a|.我们要注意，|·|不是绝对值.对于向量，我们也可以对其进行类似数字一样的加、减、乘法运算.在数字中有0和1，相应的为了进行向量运算亦需要“0”和“1”，所以作如下定义：（1）模为1的向量称为单位向量.（2）模为0的向量称为零向量，记做0，.零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等.另外，在直角坐标系中，坐标原点O为始点，M为终点的向量，称为点M对点O的向径，由粗体字r表示.在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的运动速度）.而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量.由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定，两个方向相同，长度一样的向量a或b称为相等向量，或a和b相等，记为a=b。又说：如果两个向量经过平行移动后能够完全重合，就称为两个向量相等。如图4-5图4-5：两个相等的向量若向量a，b，长度相等，方向相反，就称为它们互为负向量，如图4-6，用a=-b或者b=-a表示；若a，b方向相同或者相反，则称a，b为平行向量，记为a//b.图4-6：负向量二、向量的加减法及向量与数的乘法在研究物体受力时，作用于一个质点的两个力可以看作两个向量.而它的合力就是以这个力作为边的平行四边形的对角线上的向量.我们现在讨论向量的加法就是对合力这个概念在数学上的抽象和概括.向量的加法(i)平行四边形法则：设已知向量，，以任意点O为始点.一般讲，任意二向量未必同始点，但是利用自由向量的特点可以做到同一始点，且分别以A，B为终点.=，=，再以OA，OB为边作平行四边形OACB，对角线的向量=，这就是，之和，记做+=（如图4-7）图4-7：向量加法四边形法则由，求+的过程叫做向量的加法，上述利用平行四边形的对角线上向量来规定两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.若两个向量，在同一直线上（或者平行），则它们的和规定为：（1）若，同向，其和向量的方向就是，的共同方向，其模为的模和的模之和.（2）若，反向，其和向量的方向为，中较长的向量的方向，其模为，中较大的模与较小的模之差.

(ii)三角形法则：设已知向量，，现在以任意点O为始点，做=，再以的终点A为始点，做=，连接OC，且令=，则+=，如图4-8.对于任意向量，我们有：+（-）=；+=+=向量的加法满足：（1）交换律：+=+（2）结合律：（+）+=+（+）图4-8：向量加法三角形法则一般地，对于n个向量,,,…,,它们的和可记做+++…+。它们之间不须加括号，根据交换律，各向量次序可以任意颠倒。由三角形法则，依次将后一个向量的起点与前一个向量的中点连接，最后再将第一个向量的起点与最后一个向量的终点相连接，所得向量即这n个向量的和。例如，记=,=，…=得到一系列折线A1AA2…An-1An，连接OAn，

O得：=+++…+向量的减法

规定：

(1)平行四边形法则.将、－之一平移,使起点重合,作以、为邻边的平行四边形,对角线向量,为，如图4-9

(2)三角形法则.将、之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为，如图4-10图4-9：向量减法的平行四边形法则图4-10向量减法的平行三角形法则3、向量与数量的乘法设是一个数量，向量与的乘积规定为：（1）当>0时，表示一向量，其方向与方向相同，其模为的倍，即.（2）当=0时，为零向量，即（3）当<0时，表示一向量，其方向与方向相反，其模为的倍，即.特别的：当=-1时，（-1）与互为负向量，故有（-1）=.数和向量的乘积满足下列运算规则：（1）结合律：（2）分配律：证明从略两个非零向量平行，则它们方向相同或相反，所以有：//设ea是方向与a相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a写成a＝｜a｜ea

这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此也有ea＝

(2)就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.例1.已知平行四边形两邻边向量，，其对角线交点为M，求

解：

如图4-11所示，显然，又∴又∵

即

∴

又A

B

C

D

M图4-11三、向量的坐标表示利用平行四边形法则或三角形法只能计算向量的和差，且只能用几何的方法研究向量，很难利用先进的计算工具--如计算机程序--进行处理。在空间直角坐标系下，我们可以将向量用坐标表示，用分析的方法研究向量，解决上述难题1.向量在轴上的投影为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念.（1）两向量的夹角.设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作＝a，＝b，则称这两向量正向间的夹角θ为两向量a与b的夹角（图4-12），记作图4-12θ＝（）或θ=（），0≤θ≤π.(1)当a与b同向时，θ＝0；当a与b反向时，θ＝π.（2）点A在轴u上的投影过点A作与轴u垂直的平面，交轴u于点A′，则点A′称为点A在轴u上的投影（图4-13）.图4-13图4-14（3）向量在轴u上的投影首先我们引进轴上的有向线段的值的概念设有一轴u,是轴u上的有向线段.如果数λ满足|λ|=||,且当与u轴同向时λ是正的，当与u轴反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u上有向线段的值，记作AB，即λ=AB.设A、B两点在轴u上的投影分别为A′，B′（图4-14），则有向线段的值A′B′称为向量在轴u上的投影，记作Prju＝A′B′,它是一个数量.轴u叫做投影轴.这里应特别指出的是：投影不是向量，也不是长度，而是数量，它可正，可负，也可以是零.关于向量的投影有下面两个定理：定理1向量在轴u上的投影等于向量的模乘以u与向量的夹角的余弦，即Prju＝｜｜cos.(2)证过A作与轴u平行且有相同正向的轴u′，则轴u与向量间的夹角α等于轴u′与向量间的夹角（图4-15）.从而有图4-15Prju＝Prju′＝AB″＝｜｜cos.显然，当是锐角时，投影为正值；当是钝角时，投影为负值；当是直角时，投影为0.定理2两个向量的和在某轴上的投影等于这两个向量在该轴上投影的和，即Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2.(3)证设有两个向量a1，a2及某轴u,由图4-16可以看到图4-16Prju（a1＋a2）＝Prju（+）＝Prju＝A′C′,而Prjua1+Prjua2＝Prju+Prju＝A′B′＋B′C′＝A′C′，所以Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2.显然，定理2可推广到有限个向量的情形，即Prju（a1＋a2＋…+an）＝Prjua1＋Prjua2＋…＋Prjuan.(4)2.向量的坐标表示利用向量在坐标轴上的投影，我们可以给出向量的坐标表示形式.（1）向量的分解设空间直角坐标系Oxyz，以i，j，k分别表示沿x轴、y轴、z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量.始点固定在原点O、终点为M的向量r＝称为点M的向径.设向径的终点M的坐标为（x,y,z）.过点M分别作与三个坐标轴垂直的平面，依次交坐标轴于P，Q，R（图4-17），根据向量的加法，有图4-17r＝＝＋＋，但＝，＝，所以r＝＋＋.向量，，分别称为向量r＝在x，y，z轴上的分向量，根据数与向量的乘法得＝xi,＝yj，＝zk.因此有＝r＝xi＋yj＋zk.(5)这就是向量r在坐标系中的分解式.其中x,y,z三个数是向量r＝在三个坐标轴上的投影.一般地，设向量a＝,M1、M2的坐标分别为M1（x1,y1,z1）及M2（x2,y2,z2），如图4-18所示，由于图4-18＝－＝－,而＝x2i＋y2j＋z2k,＝x1i＋y1j＋z1k,所以a＝＝（x2i＋y2j＋z2k）－（x1i＋y1j＋z1k）＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k.(6)这个式子称为向量按基本单位向量的分解式.其中三个数量ax＝x2－x1,ay＝y2－y1,az＝z2－z1是向量a＝在三个坐标轴上的投影.我们也可以将向量a的分解式写成a＝axi＋ayj＋azk.(7)（2）向量的坐标表示.定义:向量a在三个坐标轴上的投影ax，ay，az叫做向量a的坐标，并将a表示为a＝（ax,ay,az），上式叫做向量a的坐标表示式.从而基本单位向量的坐标表示式是i＝（1,0,0）,j＝（0,1,0）,k＝（0,0,1）.零向量的坐标表示式为0=（0,0,0）.起点为M1（x1,y1,z1）、终点为M2（x2,y2,z2）的向量的坐标表示式为＝（x2－x1,y2－y1,z2－z1），(8)特别地，向径的坐标就是终点的坐标，即＝（x,y,z）

（3）向量的模与方向余弦的坐标表示式.向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标来表示，为了找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系，我们先介绍一种表达空间方向的方法.与平面解析几何里用倾角表示直线对坐标轴的倾斜程度相类似，我们可以用向量a＝与三条坐标轴（正向）的夹角α，β，γ来表示此向量的方向，并规定0≤α≤π、0≤β≤π、0≤γ≤π（图4-19），α，β，γ叫做向量a的方向角.过点M1，M2各作垂直于三条坐标轴的平面，如图4-19所示，可以看出由于∠PM1M2＝α,又M2P⊥M1P，所以图4-19同理ax＝M1P＝｜｜cosα＝｜a｜cosα，

ay＝M1Q＝｜｜cosβ＝｜a｜cosβ，az＝M1R＝｜｜cosγ＝｜a｜cosγ.（7）公式（7）中出现的不是方向角α，β，γ本身而是它们的余弦，因而，通常也用数组cosα、cosβ、cosγ来表示向量a的方向，叫做向量a的方向余弦.

而向量a的模为｜a｜＝｜｜＝由此得向量a的模的坐标表示式｜a｜＝(8)再把上式代入（8）式，可得向量a的方向余弦的坐标表示式cosα＝，

cosβ＝cosγ＝

(9)把公式（9）的三个等式两边分别平方后相加，便得到cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可见，由任一向量a的方向余弦所组成的向量（cosα,cosβ,cosγ）是单位向量，即ea＝cosαi＋cosβj＋cosγk.（4）用坐标进行向量的线性运算利用向量的分解式，向量的线性运算可以化为代数运算.设λ是一数量，a＝axi＋ayj＋azk,b＝bxi＋byj＋bzk;则a±b＝（axi＋ayj＋azk）±（bxi＋byj＋bzk）＝（ax±bx）i＋（ay±by）j＋（az±bz）k;λa＝λ（axi＋ayj＋azk）＝λaxi＋λayj＋λazk或（ax,ay,az）±（bx,by,bz）＝（ax±bx,ay±by,az±bz）,λ（ax,ay,az）＝（λax,λay,λaz）.这就是说，两向量之和（差）的坐标等于两向量同名坐标之和（差）；数与向量之积，等于此数乘上向量的每一个坐标.

利用向量的坐标，向量b//a

b

a

即b//a

(bx

by

bz)

(ax

ay

az)

于是b//a

例3设已知两点)和B(1,3,0)

计算向量的模、方向余弦和方向角

解

第三节向量的数量积、向量积一.两向量的数量积在物理学中，我们知道当物体在力F的作用下（图4-20），产生位移s时，力F所作的功图4-20W＝｜F｜cos（）·｜s｜

=｜F｜｜s｜cos（）.这样，由两个向量F和s决定了一个数量｜F｜｜s｜cos（）.根据这一实际背景，我们把由两个向量F和s所确定的数量｜F｜｜s｜cos（）定义为两向量F与s的数量积.定义1两向量a与b的模与它们的夹角余弦的乘积，叫做a与b的数量积或点积，记为a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos（）.(1)因其中的｜b｜cos（）是向量b在向量a的方向上的投影，故数量积又可表示a·b＝｜a｜Prjab，同样a·b＝｜b｜Prjba.数量积满足下列运算性质：（1）a·b＝b·a；（交换律）（2）

a·（b＋c）＝a·b＋a·c；（分配律）（3）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）.（结合律）由数量积的定义，容易得出下面的结论：（1）a·a＝｜a｜2；（2）两个非零向量a与b互相垂直的充要条件是a·b＝0.数量积的坐标表示式设a＝axi＋ayj＋azk,b＝bxi＋byj＋bzk,根据数量积的性质可得a·b＝（axi＋ayj＋azk）·（bxi＋byj＋bzk）=axbxi·i＋axbyi·j＋axbzi·k＋aybxj·i+aybyj·j＋aybzj·k+azbxk·i＋azbyk·j＋azbzk·k.由于基本单位向量i,j,k两两互相垂直，从而，i·j＝j·k＝k·i=j·i＝k·j＝i·k＝0.又因为i,j,k的模都是1，所以i·i＝j·j＝k·k＝1，因此a·b＝axbx＋ayby＋azbz.（2）即两向量的数量积等于它们同名坐标的乘积之和.由于a·b＝｜a｜｜b｜cos（），当a，b都是非零向量时有

cos（）＝＝.(3)这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.从这个公式可以看出，两非零向量互相垂直的充要条件为axbx＋ayby＋azbz＝0.(4)例1已知三点M(1

1

1)、A(2

2

1)和B(2

1

2)

求

AMB

解从M到A的向量记为a

从M到B的向量记为b

则

AMB

就是向量a与b的夹角

a

{1

1

0}

b

{1

0

1}

因为

a

b

1

1

1

0

0

1

1

所以

从而二.两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑此物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.下面举例说明表示力矩的方法.设O为杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上P点处，F与的夹角为θ.由物理学知道，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模图4-20｜M｜＝｜OQ｜｜F｜＝｜｜｜F｜sinθ.

而M的方向垂直于与F所确定的平面（即M既垂直于，又垂直F），M的指向按右手规则，即当右手的四个手指从以不超过π的角转向F握拳时，大拇指的指向就是M的指向.由两个已知向量按上述规则来确定另一向量，在其他物理问题中也会遇到，比如洛伦磁力的计算.把这一计算形式抽象出来，就是两个向量的向量积的概念.定义5两向量a与b的向量积是一个向量c，记为c＝a×b，它的大小与方向规定如下：（1）｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin（），即等于以a,b为邻边的平行四边形的面积；（2）a×b垂直于a,b所确定的平面，并且按顺序a，b，a×b符合右手法则（见图4-21）.图4-21向量积满足下列规律：（1）a×b＝－b×a（向量积不满足交换律）.（2）（a＋b）×c＝a×c＋b×c.（3）（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）由向量积的定义，容易得出下面的结论：（1）a×a＝0.（2）两个非零向量a与b互相平行的充要条件是a×b＝0.3.向量积的坐标表示式设a＝axi＋ayj＋azk,

b＝bxi＋byj＋bzk.则a×b＝（axi＋ayj＋azk）×（bxi＋byj＋bzk）＝axbx（i×i）＋axby（i×j）＋axbz（i×k）＋aybx（j×i）＋ayby（j×j）＋aybz（j×k）＋azbx（k×i）＋azby（k×j）＋azbz（k×k）.由于i×i＝j×j＝k×k＝0，

i×j＝k,j×k＝i,k×i＝j，j×i＝－k，k×j＝－i,i×k＝－j.所以a×b＝（aybz－azby）i＋（azbx－axbz）j＋（axby－aybx）k.(5)这就是向量积的坐标表示式.这个公式可以用行列式（行列式的定义及简单运算见本书后附录）写成下列便于记忆的形式：a×b＝

(6)从这个公式可以看出，两非零向量a和b互相平行的条件为aybz－azby＝0,azbx－axbz＝0,axby－aybx＝0,或(7)第四节曲面及其方程一、曲面方程在空间解析几何中

任何曲面都可以看作点的几何轨迹

在这样的意义下

如果曲面S与三元方程F(x

y

z)0(1)有下述关系

(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x

y

z)0

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x

y

z)0

那么

方程F(x

y

z)

0就叫做曲面S的方程

而曲面S就叫做方程F(x

y

z)

0的图形

例1建立球心在点M0(x0

y0

z0)、半径为R的球面的方程

解设M(x

y

z)是球面上的任一点

那么|M0M|

R

即或(x

x0)2(y

y0)2(z

z0)2R

这就是球面上的点的坐标所满足的方程

而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程

所以(x

x0)2(y

y0)2(z

z0)2R2

就是球心在点M0(x0

y0

z0)、半径为R的球面的方程

特殊地

球心在原点O(00

0)、半径为R的球面的方程为

x2

y2z2R2

例2设有点A(1

2

3)和B(2

1

4)

求线段AB的垂直平分面的方程

解由题意知道

所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹

设M(x

y

z)为所求平面上的任一点

则有|AM|

|BM|

即等式两边平方

然后化简得2x

6y

2z

7

0

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程

而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程

所以这个方程就是所求平面的方程

二、旋转曲面设在yOz面上有一已知曲线C，它的方程为f（y,z）＝0，将这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面.现在来求这个旋转曲面的方程（见图4-22）.图4-22在旋转曲面上任取一点M（x,y,z），设这点是母线C上的点M1（0,y1,z1）绕z轴旋转而得到的.点M与M1的z坐标相同，且它们到z轴的距离相等，所以因为点M1在曲线C上，所以f（y1,z1）＝0.将上述关系代入这个方程中，得f（±,z）＝0.（2）因此，旋转曲面上任何点M的坐标x,y,z都满足方程（2）.如果点M（x,y,z）不在旋转曲面上，它的坐标就不满足方程.所以方程（2）就是所求旋转曲面的方程.在上述推导过程中可以发现：只要在曲线C的方程f（y，z）=0中，将变量y换成±，便可得曲线C绕z轴旋转而形成的旋转曲面方程

f（±,z）＝0.（3）同理，如果曲线C绕y轴旋转一周，所得旋转曲面方程为

f（y,±）＝0.（4）对于其他坐标面上的曲线，绕该坐标面内任一坐标轴旋转所得到的旋转曲面的方程可用类似的方法求得.例3将zOx坐标面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周

求所生成的旋转曲面的方程

解绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面

三、柱面柱面：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面

定曲线C叫做柱面的准线

动直线L叫做柱面的母线

我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。如图4-23,若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0;因为母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上.同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.

图4-23：母线平行z轴的柱面

例如，方程x2＋y2＝a2,,，x2＝2py分别表示母线平行于z轴的圆柱面、椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面（见图4-24）,因为它们的方程都是二次的，所以统称为二次柱面.图4-24第五节空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线

设

F(x

y

z)0和G(x

y

z)0

是两个曲面方程

它们的交线为C

因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程

所以应满足方程组（1）反过来

如果点M不在曲线C上

那么它不可能同时在两个曲面上

所以它的坐标不满足方程组

因此

曲线C可以用上述方程组来表示

上述方程组叫做空间曲线C的一般方程

例1方程组表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O

半行为a的上半球面

第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面

它的准线是xOy

面上的圆

这圆的圆心在点

半行为

方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线

二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程除了一般方程之外

也可以用参数形式表示

只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数

（2）

当给定t

t1时

就得到C上的一个点(x1

y1

z1)

随着t的变动便得曲线C上的全部点

方程组(2)叫做空间曲线的参数方程

例2如果空间一点M

在圆柱面x2

y2

a2上以角速度

绕z轴旋转

同时又以线速度v

沿平行于z轴的正方向上升(其中

、v都是常数)

那么点M构成的图形叫做螺旋线

试建立其参数方程

解取时间t为参数

设当t

0时

动点位于x轴上的一点A(a,0

0)处

经过时间t

动点由A运动到M(x

y

z)(图4-25)

记M在xOy

面上的投影为B

B的坐标为(x

y,0

)由于动点在圆柱面上以角速度

绕

z

轴旋转

所以经过时间t,∠AOB

t

从而

x

|OB|cos∠AOMB

acos

t

y

|OB|sin∠AOB

asin

t,由于动点同时以线速度v

沿平行于

z

轴的正方向上升

所以

z

BM

vt.因此螺旋线的参数方程为

也可以用其他变量作参数

例如令

t

则螺旋线的参数方程可写为其中

而参数为

图4-25

三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面

投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy

面上的投影曲线

或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)

设空间曲线C的一般方程为设方程组消去变量z后所得的方程H(x

y)0(3)这就是曲线C关于xOy面的投影柱面

这是因为:一方面,方程H(x

y)

0表示一个母线平行于z轴的柱面

另一方面方程H(x

y)

0是由方程组消去变量z后所得的方程

因此当x、y、z满足方程组时

前两个数x、y必定满足方程H(x

y)

0

这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x

y)

0所表示的曲面上

即曲线C在方程H(x

y)

0表示的柱面上

所以方程H(x

y)

0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面

曲线C在xOy

面上的投影曲线的方程为

(4)讨论:曲线C关于yOz面和zOx

面的投影柱面的方程是什么?曲线C在yOz面和zOx

面上的投影曲线的方程是什么?例3已知两球面的方程为x2

y2z21

(5)和x2

(y

1)2(z

1)21

(6)求它们的交线C在xOy面上的投影方程

解先将方程x2

(y

1)2(z

1)21化为x2

y2z22y

2z

1

然后与方程x2

y2z21相减得

y

z

1

这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程将

z

1

y代入x2y2z21得x22y22y

0

两球面的交线C在xOy面上的投影方程为第六节、平面和空间直线的方程平面和空间直线可以看做是曲面和空间曲线的特殊情况，在空间直角坐标系下，可以给出平面和空间直线的解析形式.一、平面的方程定义1：垂直于平面的非零向量叫做该平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.1平面的点法式方程图4-26我们知道，过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面Π上的一点M0（x0,y0,z0）和它的法向量n＝（A,B,C）为已知时，平面Π的位置就完全确定了.设M0（x0,y0,z0）是平面Π上一已知点，n＝（A,B,C）是它的法向量（1），M（x,y,z）是平面Π上的任一点，那么向量必与平面Π的法向量n垂直，即它们的数量积等于零：n·＝0.由于n＝（A,B,C）,＝（x－x0,y－y0,z－z0）,所以有

A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0.（1）平面Π上任一点的坐标都满足方程（1），不在平面Π上的点的坐标都不满足方程（1）.所以方程（1）就是所求平面的方程.因为所给的条件是已知一定点M0（x0,y0,z0）和一个法向量n＝（A,B,C），方程（1）叫做平面的点法式方程.例1求过点(2

3

0)且以n

(1

2

3)为法线向量的平面的方程

解根据平面的点法式方程

得所求平面的方程为

(x

2)

2(y

3)

3z

0

即x

2y

3z

8

0

2平面的一般式方程将方程（1）化简，得

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(2)其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（2）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程来表示.将方程（1）化简，得

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(2)其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（2）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，对于任给的一个三元一次方程

Ax＋By＋Cz＋D＝0,(3)我们取满足该方程的一组解x0,y0,z0，则

Ax0＋By0＋Cz0＋D＝0.（4）由方程（3）减去方程（4），得A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0.（5）把它与方程（1）相比较，便知方程（5）是通过点M0（x0,y0,z0）且以n＝（A，B，C）为法向量的平面方程.因为方程（1）与（5）同解，所以任意一个三元一次方程(2)的图形是一个平面.方程（2）称为平面的一般式方程.其中x,y,z的系数就是该平面的法向量n的坐标，即n＝（A，B，C）.例2求过三点M1(2

1

4)、M2(1

3

2)和M3(02

3)的平面的方程

解我们可以用作为平面的法线向量n

因为

所以根据平面的点法式方程

得所求平面的方程为14(x

2)

9(y

1)

(z

4)

0

即14x

9y

z

15

0

例3已知平面Π在三坐标轴上的截距分别