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平面及其方程7.6.1平面的点法式方程7.6.2平面的一般方程7.6.3两平面的夹角1平面的法线向量如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量，注:

①法向量不唯一②平面上任一向量均与该平面的法向量垂直7.6.1平面的点法式方程简称法向量.2

平面的点法式方程设平面过定点法线向量则所以平面的点法式方程求平面的方程.的平面方程.解例7.6.1

求过点由点法式可得所求平面方程为即为法向量的平面方程.解例1

求过点取所求平面方程为即思考:任一三元一次方程是否都表示平面？以上两式相减,任取一组满足上述方程的数则该方程表示过点且以为法向量的平面.称为平面的一般方程.法向量得7.6.2平面的一般方程任一平面都可以用一个三元一次方程表示,反之,特例:时,平行于轴平行于轴时，平行于yoz面平行于xoz面过原点平行于轴时，过x轴过y轴过z轴平行于xoy面类似地类似地类似地例7.6.3

求过

z

轴和点的平面方程.解设平面方程为代入点所以平面方程为得即例7.6.4设平面与x、y、z

轴的交点依次为求该平面的方程。解设平面方程为代入P1、P2

、P3

的坐标得所以平面方程为平面的截距式方程依次叫做平面在x、y、z轴上的截距设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(锐角)三、两平面的夹角称为两平面的夹角.例7.6.5判断下列各组平面的位置关系：所以两平面相交，解(1)平面的法向量为且夹角为由于所以

(2)平面的法向量为由于解

求过点例7.6.6平行的平面方程.所求平面方程为且与平面所求平面的法向量可取为即一平面过原点O及点例7.6.7且与平面求此平面的方程.解

则取所求平面方程为设所求平面的法向量为即外一点,求取平面上一点是平面到平面的距离d.则P0

到平面的距离为解(点到平面的距离公式)例7.6.8

设平面法向量为

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