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文档简介
云南省峨山县一中2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若(是虚数单位),则的值为()A.3 B.5 C. D.2.设(是虚数单位),则()A. B.1 C.2 D.3.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.4.已知函数.下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④5.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.26.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面,,两两互相垂直,点,点到,的距离都是3,点是上的动点,满足到的距离与到点的距离相等,则点的轨迹上的点到的距离的最小值是()A. B.3 C. D.7.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1208.正方形的边长为,是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.9.已知复数,其中,,是虚数单位,则()A. B. C. D.10.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A. B.C. D.12.如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于,两点,且,则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数函数,则不等式的解集为____.14.某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过个,则该外商不同的投资方案有____种.15.在的展开式中的系数为,则_______.16.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.18.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.19.(12分)已知,且.(1)请给出的一组值,使得成立;(2)证明不等式恒成立.20.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,证明.21.(12分)已知.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若的最小值为1,求的最小值.22.(10分)等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项,第3项,第4项.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】(是虚数单位)可得解得本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用,复数的模的求法,考查计算能力.2、A【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出.【详解】∵,∴.故选:A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.3、C【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题.4、A【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确;由周期函数特点知②错误;函数定义域为,最值点即为极值点,由知③错误;令,在和两种情况下知均无零点,知④正确.【详解】由题意得:定义域为,,为奇函数,图象关于原点对称,①正确;为周期函数,不是周期函数,不是周期函数,②错误;,,不是最值,③错误;令,当时,,,,此时与无交点;当时,,,,此时与无交点;综上所述:与无交点,④正确.故选:.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用,涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解;本题综合性较强,对于学生的分析和推理能力有较高要求.5、A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.6、D【解析】
建立平面直角坐标系,将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值,利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程,得到,进而得到所求最小值.【详解】如图,原题等价于在直角坐标系中,点,是第一象限内的动点,满足到轴的距离等于点到点的距离,求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值.设,则,化简得:,则,解得:,即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选:.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解,关键是能够准确求得动点轨迹方程,进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.7、C【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【点睛】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.8、C【解析】
分别以直线为轴,直线为轴建立平面直角坐标系,设,根据,可求,而,化简求解.【详解】解:建立以为原点,以直线为轴,直线为轴的平面直角坐标系.设,,,则,,由,即,得.所以=,所以当时,的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示,属于基础题.9、D【解析】试题分析:由,得,则,故选D.考点:1、复数的运算;2、复数的模.10、C【解析】
假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可.【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意,若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意,若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意,综上可得甲被录用了,故选:C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.11、B【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体,分别求解两个部分的体积,加和得到结果.【详解】由三视图还原可知,原几何体下半部分为半个圆柱,上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为:四棱锥体积为:原几何体体积为:本题正确选项:【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题,关键在于能够准确还原几何体,从而分别求解各部分的体积.12、A【解析】
联立直线方程与椭圆方程,解得和的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得,由离心率定义可得结果.【详解】由,得,所以,.由题意知,所以,.因为,所以,所以.所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点,考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】,,所以,所以的解集为。点睛:本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理,再得到的解析式,求得的分段函数解析式,再解不等式即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。14、60【解析】试题分析:每个城市投资1个项目有种,有一个城市投资2个有种,投资方案共种.考点:排列组合.15、2【解析】
首先求出的展开项中的系数,然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知,当时有,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数,属于简单题.16、【解析】
取的中点为M,由可得,可得M在上,当最小时,弦的长才最大.【详解】设为的中点,,即,即,,.设,则,得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)首先将曲线化为直角坐标方程,由点在圆外,则解得即可;(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,设、对应的参数分别为,列出韦达定理,由及在圆的上方,得,即即可解得;【详解】解:(1)曲线的直角坐标方程为.由点在圆外,得点的坐标为,结合,解得.故的取值范围是.(2)由直线的参数方程,得直线过点,倾斜角为,将直线的参数方程代入,并整理得,其中.设、对应的参数分别为,则,.由及在圆的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,结合,解得.故的值是.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程的几何意义的应用,属于中档题.18、(1)(2)见解析【解析】
(1)设数列的公差为,由,得到,再结合题干所给数据得到公差,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用放缩法证明不等式即可;【详解】解:(1)设数列的公差为,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,放缩法证明数列不等式,属于中档题.19、(1)(答案不唯一)(2)证明见解析【解析】
(1)找到一组符合条件的值即可;(2)由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.【详解】解析:(1)(答案不唯一)(2)证明:由题意可知,,因为,所以.所以,即.因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.20、(1)单调递减区间为,,无单调递增区间(2)证明见解析【解析】
(1)求导,根据导数的正负判断单调性,(2)整理,化简为,令,求的单调性,以及,即证.【详解】解:(1)函数定义域为,则,令,,则,当,,单调递减;当,,单调递增;故,,,,故函数的单调递减区间为,,无单调递增区间.(2)证明,即为,因为,即证,令,则,令,则,当时,,所以在上单调递减,则,,则在上恒成立,所以在上单调递减,所以要证原不等式成立,只需证当时,,令,,,可知对于恒成立,即,即,故,即证,故原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数证明不等式,函数的最值问题,属于中档题.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)当时,令,作出的图像,结合图像即可求解;(Ⅱ)结合绝对值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼凑为,结合基本不等式即可求解;【详解】(Ⅰ)令,作出它们的大致图像如下:由或(舍),得点横坐标为2,由对称性知,点横坐标为﹣2,因此不等式的解集为.(Ⅱ)..取等号的条件为,即,联立得因此的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式、基本不等式,属于中档题22、(1),;(2).【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数
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