上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分，把答案写在题中横线上。每个空格填对得全分，否则一律得零分。1．（3分）已知全集，集合，，则______．2．（3分）已知等式恒成立，则______．3．（3分）若幂函数的图像经过，则此函数的表达式为____________．4．（3分）已知方程的两个根为，，则______．5．（3分）已知，，化简______．6．（3分）若实数，则的最小值为______．7．（3分）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为__________________．8．（3分）满足的集合有______个．9．（3分）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________．10．（3分）已知，，试用，表示__________________．11．（3分）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________．12．（3分）已知函数，若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数的取值范围为__________________．二、选择题：本题共有4题，每小题4分，共16分。每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号填入下面的表格中，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分。13．（4分）设有意义，有意义，若是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．（4分）已知：，且，则（）A． B． C． D．15．（4分）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．16．（4分）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于20m，肇事汽车在该路段的限速为30km/h．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：m）与刹车前的速度（单位：km/h）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：（单位：km/h）51020…（单位：m）1.20252.7256.73…对于以下两个结论：①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为41km/h；②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．其中正确的是（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知集合为不等式的解集．（1）求集合；（2）若，且，求实数的范围．18．（8分）设，，，是四个正数．（1）已知，比较与的值的大小；（2）若，求证：，，，中至少有一个小于1．19．（10分）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为．（1）用表示；（2）当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？20．（10分）已知，，关于的不等式．（1）若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式（解集用表示）．21．（12分）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数．（1）求函数的表达式；（2）若关于的不等式的解集中有且仅有5个整数，求实数的范围；（3）若，关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值．四、附加题（高一（5）（6）（7）（8）班必做，其它班选做，每题5分，共10分）22．（5分）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，则不等式成立的充分非必要条件是（）A． B． C． D．23．（5分）方程的两个根均大于1，则实数的取值范围是__________________．五、附加题二（高一（8）班必做，其它班选做，共10分）24．（10分）已知，，点在函数的图像上，且，则的最小值为__________________．2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分，把答案写在题中横线上．每个空格填对得全分，否则一律得零分．1．【答案】．【分析】结合交集、补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，，则，集合，则．故答案为：．2．【答案】5．【分析】由题意列出方程组，即可得答案．【解答】解：因为恒成立，即恒成立，所以，所以．故答案为：5．3．【答案】．【分析】将点的坐标代入，即可确定解析式．【解答】解：幂函数的图像经过，则，，．故答案为：．4．【答案】3．【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解．【解答】解：因为方程的两个根为，，所以，则．故答案为：3．5．【答案】．【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为，，所以．故答案为：．6．【答案】7．【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当，即时取等号．故答案为：7．7．【答案】．【分析】根据描述法的定义求解．【解答】解：用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：．故答案为：．8．【答案】见试题解答内容【分析】由，知集合中必有元素，且中还有元素，，中的0个，1个，或2个，所以满足的集合的个数．【解答】解：，集合中必有元素，且中还有元素，，中的0个，1个，或2个，满足的集合的个数．故答案为：7．9．【答案】．【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．【解答】解：由可得，由可得，若不等式组没有实数解，则．故答案为：．10．【答案】【分析】根据对数的运算即可得．【解答】解：因为，所以，所以．故答案为：．11．【答案】．【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于方程，变形可得，解可得或，若为真命题，则或，则有，对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或，若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况，①假真，即，此时无解；②真假，即，此时或；综合可得：或，即的取值范围为．故答案为：．12．【答案】．【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解．【解答】解：由已知，，又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，所以，解得，故答案为：．二、选择题：本题共有4题，每小题4分，共16分。每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号填入下面的表格中，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分。13．【答案】B【分析】先求出，对应的范围，然后检验充分必要性即可判断．【解答】解：由可得，由可得，故推不出，，故是的必要不充分条件．故选：B．14．【答案】C【分析】由题意可得，且，再利用不等式的基本性质可得，从而得出结论．【解答】解：，且，，且，故有，故选：C．15．【答案】D【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解．【解答】解：由已知可得，又，当时，，解得，此时满足题意；当时，要满足题意，只需，解得，综上，实数的范围为．故选：D．16．【答案】C【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解．【解答】解：由题意可得，则，即，易知该函数在上单调递增，又，，，若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为42km/h，①不成立；又的最小正整数的值为，可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．故选：C．三、解答题（本大题共5题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解即可；（2）先求出，结合，列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）由不等式可得，，即，解得，所以集合；（2），因为，所以，无解，即实数的范围为．18．【答案】（1）；（2）详见解答．【分析】（1）利用作差比较即可判断；（2）利用反证法即可证明．【解答】解：（1）因为，则，所以；（2）证明：假设，，，都不小于1，即，，，，则，，，，所以，与已知矛盾，故，，，中至少有一个小于1．19．【答案】（1）；（2）当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为．【分析】（1）由题得，化简即得解；（2）利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）；（2），，当且仅当即时等号成立，当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为．20．【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解；（2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求．【解答】解：（1）若，且不等式对一切恒成立，又恒成立，所以恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，，解得，综上，实数的取值范围为；（2）当时，又恒成立，不等式可化为，即，当时，，当时，不等式可化为，解得，当时，不等式可化为，当时，解得或；当时，；当时，解得或，故当时，解集为；当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．21．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，结合题意，列不等式求解即可；（2）解不等式，根据不等式的解集中有且仅有5个整数，得出这5个整数，由此列不等式求出的取值范围；（3）由题意列方程，求出和，判断、与、的大小，计算的值即可．【解答】解：（1）由题意知，，即，解得，又因为，所以，所以；（2）不等式为，即；所以，解得，所以不等式的解集为，其中；因为不等式的解集中有且仅有5个整数，则这5个整数分别为2，3，4，5，6；所以，即，解得；所以的取值范围是；（3）由题意知，方程为，所以，即；由根与系数的关系知，，；解方程，得；因为，且，所以，；因为，所以，因为，所以，所以．四、附加题（高一（5）（6）（7）（8）班必做，其它班选做，每题5分，共10分）22．【答案】B【分析】由已知结合二次不等式求法先求出的范围，然后结合已知定义即可求解．【解答】解：由可得，所以，所以，故选：B．23．【答案】．【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元