专项03“将军饮马”模型（2个模型）

专项03两个重要的“将军饮马”模型模型一两点一线问题：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小． 图1 图2方法：如图2，作点A关于l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时的点P即为所求．1.如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上找一点P，使PA+PB的值最小，则点P应选在（）A．C点 B．D点 C．E点 D．F点2.已知点A（1，1），B（3，5），x轴上的点C，使得AC+BC的值最小，则点C的横坐标为（）A.43 B.53 C.2 3.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD的值最小时，∠PCD=°．4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是．5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长的最小值为．6.已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD，AB=4.（1）在AB边上求作点P，使PC+PD的值最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．7.如图，抛物线y=ax2+2x—3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．（1）求b，c的值；（2）在抛物线对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．模型二两线一点问题：如图1，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上找点A，B，使△PAB的周长最小． 图1 图2方法：如图2，分别作点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P1P2，与OM，ON分别交于点A，B，点A，B即为所求．8.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（）A.140° B.100° C.50° D.40°9.如图所示，∠ABC=30°，∠ABC内有一点P，点P到点B的距离为10cm，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小，并求出这个最小值．（保留作图痕迹，并说明结果）

专项03两个重要的“将军饮马”模型答案全解全析1.C如图，作点A关于直线a的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB的值最小，∵A'B与直线a交于点E，∴点P应选在E点的位置．故选C．2.A如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为点C，连接AC，则AC+BC的最小值等于A'B的长，∵A（1，1），∴A'（1，—1），设直线A'B的解析式为y=kx+b（k≠0），把A'（1，—1），B（3，5）代入，得−1=k+b,5=3k+b,解得k=3,b=−4,∴y=3x—43.45解析由题可知，A、D两点关于直线MN对称，如图，连接AC，当点P为AC与MN的交点时，PC+PD的值最小，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．4.4.8解析如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，易知此时CM+MN的值最小，为CE的长，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，∴S△ABC=12AB·CE=12∴CE=6×810∴CM+MN的最小值为4.8.5.5+37解析如图，在DC上截取DT，使得DT=DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H，连接PT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADT=90°，AD=BC=6，∵∠AHT=90°，∴四边形AHTD是矩形，∴HT=AD=6，∵E，F分别为AD，AB的中点，∴AE=DE=12AD=3，AF=FB=12∴AH=DT=DE=3，∴HF=AF—AH=4—3=1，∴FT=FH2+TH∵DG平分∠ADC，DE=DT，∴E、T关于DG对称，∴PE=PT，∴PE+PF=PF+PT≥FT=37，∵EF=AE2+AF2=6.解析（1）如图，作点D关于直线AB的对称点D'，连接CD'，交AB于P，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间，线段最短可知，此时PC+PD的值最小．（2）如图，作D'E⊥BC，交CB的延长线于E，∵CD=2AD，AD=AD'，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴∠E=∠D'AB=∠ABE=90°，∴四边形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'，∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值为8.7.解析（1）把A（1，0）代入y=ax2+2x—3a，得a+2—3a=0，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2+2x—3.把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x—3，得b=1或b=—3，c=—3，∵A（1，0），∴b=—3.（2）∵抛物线的解析式为y=x2+2x—3，∴其对称轴为直线x=—22=—1连接BC，交抛物线对称轴于P，此时PA+PC的值最小，如图所示：设直线BC的解析式为y=kx+m（k≠0），∵B（—3，0），C（0，—3），∴m=−3,−3∴直线BC的解析式为y=—x—3，当x=—1时，y=1—3=—2，∴P（—1，—2）．8.B如图，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，连接OP1、OP2、OP，此时△PMN的周长最小，易得OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴在等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故选B．9.解析如图，作点P关于BC的对称点M，作点P关于BA的对称点N，连接MN，分别交BA、BC于点P1、P2，则△PP1P2即为所求作的三角形．连接BM，BN，BP，由对称可知，∠PBP1=∠NBP1，∠PBP2=∠MBP2，BM=BN=BP=10cm，PP1=NP1，PP2=MP2，∵∠ABC=30°，∴∠MBN=∠NB