数学课堂导学直接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例1】如右图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,求证:PC⊥BD.证明：(综合法）因为PA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线，连结AC、BD,则AC是PC在底面ABCD内的射影.又因为四边形ABCD为正方形。∴AC⊥BD.故PC⊥BD.温馨提示本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法，如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量）等等.一般地，对于命题“若A则D”用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图)。综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C、C1、C2、C3、C4等等.最终，能有一个(或多个)可推演出结论D即可.类题演练1用综合法证明,设a＞0,b＞0，a≠b.证明:＞.证明：综合法因为a≠b，所以a-b≠0，而(a-b）2＞0，展开（a-b）2得:a2-2ab+b2＞0.两边加上4ab得：a2+2ab+b2＞4ab。左边写成（a+b）2得:(a+b）2＞4ab。由于a＞0，b＞0，两边取算术平方根得：a+b＞2.两边除以2得：。变式提升1已知a＞b＞0，求证：＜.证明：∵a＞b＞0，∴b＜，即2b＜2。进而-2＜-2b,于是a-2+b＜a+b—2b，即0＜(）2＜a-b,∴。二、利用分析法证明数学问题【例2】求证:。证法一：为了证明，∵,∴只需证明(）2＜（2+）2,展开得11+＜11+，只需证＜,只需证6＜7.显然6＜7成立。∴成立.证法二:为了证明,只要证明,只要证明.∵，∴∴成立.∴成立.温馨提示用分析法思考数学问题的顺序可表示为:(对于命题“若A则D”)如右图,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、C1、C2等,再寻求C、C1、C2的论据，如B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.类题演练2已知a、b、c是不全相等的正数,且0＜x＜1。求证：logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc。证明：要证明logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc，只需要证明logx［··］＜logx(abc)。由已知0＜x＜1,只需证明··＞abc.由公式知≥＞0,≥＞0,≥＞0.∵a、b、c不全相等，上面三式相乘，··＞=abc，即··＞abc成立，∴logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc成立。变式提升2设a，b∈R+,且a≠b，求证:a3+b3＞a2b+ab2。证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab（a+b)成立，又因a+b＞0,只需证a2-ab+b2＞ab成立.又需证a2—2ab+b2＞0成立.即需证(a—b)2＞0成立.而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立。由此命题得证。三、创新应用【例3】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证3S≤I2＜4S。证明：I2=（a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca）=a2+b2+c2+2S.故要证3S≤I2＜4S，只需证3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，即S≤a2+b2+c2＜2S(这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上左部分，只需证a2+b2+c2—ab—bc-ca≥0。即只需证(a2+b2—2ab)+(b2+c2-2bc）+(c2+a2—2ca）≥0(这对于保证前一定结论成立也是充要的).要证上成立，可证三括号中子都不为负（这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要)，注意到：a2+b2—2ab=(a—b）2≥0,b2+c2—2bc=（b—c)2≥0,c2+a2-2ca=（c-a）2≥0,故结论真.欲证上右部分，只需证:a2+b2+c2-2ab—2bc—2ca＜0,即要证:(a2-ab—ac)+（b2—bc-ba)+（c2—ca—cb)＜0。欲证上,则至少要证以上三个括号中子之一小于零（这一条件对保证上结论成立只是必要的，但它并不充分），即要证a2＜ab+ac，b2＜bc+ba，c2＜ca+cb之一真，也就是要证a＜b+c，b＜c+a,c＜a+b之一真,它们显然都成立，因为三角形一边小于其他两边和。故原成立.温馨提示在本例中,我们既看到按结论成立的充分条件推演的步子,也看到按结论成立必要条件而推演的步子,同时也看到按结论成立的充要条件而推演的步子.类题演练3设实数a≠0,且函数f(x)=a(x2+1)—（2x+)有最小值-1。（1)求a的值；（2)设数列｛an｝的前n项和Sn=f(n）,令bn=，证明数列｛bn｝是等差数列。(1)解：f（x）=a(x—）2+a-，由题设知f（)=a-=-1,且a＞0，解得a=1或a=-2(舍去）.(2）证明:由（1)得f（x）=x2—2x，当Sn=n2—2n,a1=S1=-1.当n≥2时,an=Sn—Sn—1=n2—2n-(n—1)2+2(n—1)=2n—3。a1满足上式,