数学课堂导学回归分析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析各个击破一、求线性回归方程【例1】研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系,测得一组数据如下:水深x（m）1.401.501。601。701。801。902.002。10流速y（m/s)1.701。791。881.952.032.102.162。21（1)求y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？解：（1）散点图如下图所示.列表计算与回归系数。序号xiyixi2yi2xiyi11.401。701.962.8902。38021.501。792。253.20412.68531.601。882.563。53443。00841。701.952。893。80253。31551。802.033。244.12093.65461.902.103.614.41003.99072。002。164.004。66564.32082.102。214.414。88414.641∑14.0015。8224.9231。511627。993于是，,∑xi2=24.92，∑yi2=31。5116,∑xiyi=27.993，∴≈0.733，=1.9775-0.733×1。75=0。6948,∴y对x的回归直线方程为=0.6948+0。733x.（2)在本题中回归系数=0。733的意思是：在此灌溉渠道中,水深每增加0。1m水的流速平均增加0.733m/s,=0。6948,可以解释为水的流速中不受水深影响的部分，把x=1.95代入得到=0.6948+0.733×1.95≈2.12m/s，计算结果表明:当水深为1。95m可以预报渠水的流速约为2。12m/s.类题演练1关于人体的脂肪含量(百分比）和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组数据：年龄x23273941454950脂肪y9.517。621.225.927。526.328。2年龄x53545657586061脂肪y29。630。231。430.833.535.234。6（1)作散点图；（2）求y与x之间的回归线方程;（3)给出37岁人的脂肪含量的预测值。解：（1）略（2）设方程为=bx+a，则由计算器算得a=-0。448,b=0。577，所以=0。577x—0.448。(3）当x=37时，=0。577×37-0。448=20.90。变式提升从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重的数据如下表所示:编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172c解：作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图如右图所示。≈0.849,=—85.712.∴回归直线方程为=0.849x-85.712.所以对于身高172cm女大学生，由回归方程可以预报体重为=0。849×172—85。712=60.316（kg).∴预测身高为172cm的女大学生的体重约为60。316kg。二、非线性回归问题【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909。9912。1515.0217.5身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555。05(1）试建立y与x之间的回归方程；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0。8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm体重为解:根据上表中数据画出散点图如下图（1）由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围,于是令z=lny.x60708090100110z1.812。072。302.502。712.86x120130140150160170z3。043。293。443。663.864。01作出散点图如下图所示由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：=0.693+0。020x,则有=e0.693+0。020x。（2)当x=175时，预测平均体重=e0.693+0.020×175≈66.22，由于66。22×1。2≈79.47＜82,所以这个男生偏胖.类题演练2电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电.由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公u=Aebt（b＜0）表示。现测得时间t（s）时的电压U（V）如下所示:t:012345678910U:100755540302015101055试求电压U对时间t的回归方程。（提示:对公两边取自然对数,把问题化为线性回归分析问题）.解析：根据提示公式，两边取对数得lnu=lnA+bt令y=lnu，a=lnA，则y=a+bt。由前两组数据得a=ln100，b=ln.∴y=ln100+ln·t。根据上述公式样本点可转换为t012345678910y4。64。34.03。93。42。92.72。32.31。61。6其散点图为由散点图可知y与t线性相关,可用表示,利用科学计算器，可得=-0。3,=4。6，∴=—0。3t+4。6，即ln=—0。3t+4。6，∴=100e—0。3t。三、回归分析【例3】某农场对单位面积化肥用量x(kg）和水稻相应产量y(kg）的关系作了统计，得到数据如下：x:15202530354045y:330345365405445450455如果x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程,并预测当单位面积化肥用量为32kg时水稻的产量大约是多少（精确到0。01kg）。解：用列表的方法计算a与回归系数b.序号xyx2xy11533022549502203454006900325365625912543040590012150535445122515575640450160018000745455202520475∑2102795700087175,≈399。3,≈4。746，=399。3—4.746×30=256.92，y对x的回归直线方程为：=256。92+4.746x，当x=32时,=256。92+4.746×32≈408。79答:回归直线方程为=256。92+4.747x，当单位面积化肥用量为32kg时，水稻的产量大约为408。79kg。类题演练3为了了解某地母亲身高X与女儿身高Y的相关关系，现随机抽取了10对母女测得相应的身高如下表所示：母亲身高xcm159160160163159女儿身高ycm158159160161161母亲身高xcm154159158159157女儿身高ycm155162157162156（1)画出散点图；（2)对X与Y进行回