数学课堂导学案：正弦函数、余弦函数的性质（周期性）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.周期的概念及求函数的周期【例1】求下列函数的周期：(1）y=sin2x;（2)y=3cos;（3)y=2sin(2x-）.思路分析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos（ωx+φ）的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解：（1）由于f（x+π)=sin2（x+π）=sin（2x+2π)=sin2x=f(x),所以由周期函数的定义知,原函数的周期为π。(2）由于f（x+4π)=3cos［12(x+4π）］=3cos（+2π）=3cos=f(x)，所以，由周期函数的定义知,原函数的周期为4π.(3）由于f（x+π）=2sin［2（x+π)-]=2sin[2x+2π-]=2sin（2x—)=f（x),由周期函数的定义知，原函数的周期为π。温馨提示由上例可以看到函数的周期仅与x的系数有关。一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ）（其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0)的周期T=2πω，若y=f（x)的周期为T，则y=f（ωx)的周期为.2。周期函数概念的理解【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.（1）y=lgx;(2)y=sinx.思路分析：判断一个函数是否是周期函数,须根据定义，看是否存在一个常数T，使得f(x+T)=f(x）。解：（1）取定义域内一个值x0=1.由于f(x0+T）=lg(x0+T)=lg(1+T)≠lg1（T≠0的常数）,于是f(x）=lgx不是周期函数.（2）∵对定义域内任一x,有sin（x+2kπ)=sinx,（k∈Z,k≠0),∴y=sinx是周期函数，周期为2kπ（k∈Z，k≠0）。温馨提示判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T（T≠0）,使得对定义域内的任一x,有f（x+T)=f（x)。判断一个函数不是周期函数,只要在定义域内找一个特殊值x0，验证f（x0+T）≠f（x0)。就可以说明f(x）不是周期函数。3。周期函数的定义【例3】①存在T=使sin(+）=sin成立，所以是y=sinx的一个周期.②f（2x+T）=f(x）对定义域内的任意x都成立，所以是f(x)的周期.（T≠0）③周期函数不一定有最小正周期。④周期函数的周期不止一个。以上命题是真命题的是。答案：②③④温馨提示理解周期函数的概念要注意以下三点:（1)存在一个常数T≠0;（2）对其定义域内的每一个x值，x+T属于定义域;(3)当x取定义域内每个值时,f(x+T)=f(x）恒成立。各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.(1）y=3sin(2x+）；(2)y=2cos（x-).解：(1)T==π.(2)T==π2.变式提升1求y=|sinx｜的周期.解:将y=sinx的图象中y≥0的部分保持不变，将y＜0部分的图象翻折到x轴的上方，即得y=|sinx｜的图象，（如下图所示）.由y=｜sinx|的图象知其周期为π。温馨提示由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)｜（A、ω、φ是常数，ω＞0）的周期为y=Asin(ωx+φ）（A、ω、φ为常数,ω＞0）的周期的一半。类题演练2下列四个函数为周期函数的是（）A.y=3B.y=3x0C.y=sin|x|x∈RD。y=sin1xx∈答案:A变式提升2已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f（x+2)=-f(x)。判断y=f（x)是否是周期函数.若是周期函数,求出它的一个周期.解：∵f（x+4）=f［2+(x+2）]=—f（x+2)=—［—f（x)］=f（x).∴f（x)是周期函数，且周期是4.类题演练3函数y=f(x）,x∈［-2,2］图象如下图所示,f（x）是周期函数吗？解析:在周期函数y=f（x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT（k∈Z且k≠0）也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.答案：不是变式提升3函数y=asinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数?若是，它的最小正周期又是什么呢？解析：∵y=as