数学课堂导学案：向量加法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.向量加法运算的意义【例1】如右图所示,已知三个向量a、b、c,试用三角形法则和平行四边形法则作a+b+c。思路分析:本题主要利用三角形法则和平行四边形法则求几个向量的和向量，只要按三角形法则和平行四边形法则作出即可。解：用三角形法则作a+b+c:作=a，以A为始点作=b,再以B为始点,作=c,则=+=a+b+c（如下图（1）所示）用平行四边形法则作a+b+c：作=a，=b，=c，以,为邻边作平行四边形OADB，则=a+b.再以，为邻边作平行四边形ODEC，则=+=a+b+c(如下图(2）所示）温馨提示要求作三个向量的和，首先作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量,然后再求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则和平行四边形法则。【例2】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;（2）求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度）。思路分析：本题用向量知识解决物理问题。由于速度是矢量，可以用向量表示速度，然后用向量加法运算合成速度即可.但要注意解决实际问题中的向量问题不仅要求出大小，而且要求出方向.解：（1）如右图所示.表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度.（2)在Rt△ABC中，|｜=2，||=5，∴｜｜=≈5.4.∵tan∠CAB=2.5，由计算器得∠CAB≈70°。答:船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流速间的夹角约为70°。2。对向量加法的理解【例3】已知向量a、b，比较|a+b｜与｜a|+|b|的大小.思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较长度的大小时，要注意其方向。解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有｜a+b|=|a｜+｜b|.（2）①当a、b为非零向量，且a、b不共线时有|a+b｜＜|a｜+｜b｜。②当a、b为非零向量，且a、b同向共线时有|a+b|=｜a|+｜b|。③当a、b为非零向量，且a、b异向共线时有｜a+b｜＜|a|+｜b｜.温馨提示(1)解决此类问题可利用三角形法则作出图形辅助解答。（2）在向量的加法定义中要注意两个向量共线的情况.3。对向量加法定义及运算法则再理解【例4】下列命题中:①若非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必和a、b之一的方向相同.②△ABC中，必有++=0。③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。④若a、b均为非零向量，则｜a+b｜与|a｜+｜b|相等.其中真命题个数为______________.思路分析：①假命题，a+b=0时命题不成立。②假命题，向量之和仍为向量.③假命题，A、B、C共线时也可以有++=0.④假命题，只有a、b同向时才成立。答案：0个温馨提示向量之和仍为向量，注意0与0区别；注意两个共线向量求和情况。各个击破类题演练1如下图（1）（2）（3）所示,试作出向量a与b的和.解：如下图（1）（2）（3）所示，首先作=a，然后作=b,则=a+b.变式提升1如右图在正六边形ABCDEF中，=a,=b，求、、.解:连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO都是平行四边形.根据向量的平行四边形法则知:=+，=+,∴=++=a+b+a.由正六边形知识得=2=2（a+b）。又根据三角形法则知：=+，且=-=—a，∴=2(a+b)-a.类题演练2某人在静水中游泳,速度为千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳。如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?解：如右图所示，水速速度v1=4km/h.游泳速度v2=km/h。设合速度v与v1所成角为θ，tanθ=,∴θ=60°.｜v｜==8（km/h）所以如果他垂直游向对岸，那么他的实际方向是与水流方向成60°角，实际前进的速度为8km/h.变式提升2某人在静水中游泳,速度为千米/时,他在水流速度为4千米/时的河中游泳.他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为多少？解：如右图所示cos∠v2Ov=；∴∠v2Ov≈35.26°。∠v2Ov=90°+35.26°=125。26°。沿与水流方向成125。6°的方向前进.实际前进的速度为|v|==（km/h).类题演练3在四边形ABCD中，=+,则（)A.ABCD一定为矩形B。ABCD一定为菱形C。ABCD一定为正方形D.ABCD一定为平行四边形答案：D变式提升3已知=a，=b，=c,则a+b+c=0成立时A、B、C能否构成三角形？反之成立吗?解:a+b+c=0时，A、B、C三点不一定能构成三角形.因为可能A、B、C三点共线.而A、B、C是三角形的三个顶点，由向量加法的三角形法则必有a+b+c=0。类题演练4向量a、b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A。向量a与b反向，且|a｜＞｜b｜，则向量a+b与a的方向相同B。向量a与b反向,且｜a｜＜|b|，则向量a+b与a的方向相同C。向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同D.向量a与b