2024北京五中高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京五中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知，，则下面不等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.“”是不等式成立的（）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知定义在上的偶函数在上是增函数，且则使的的范围是（）A. B. C. D.6.已知函数是上的减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（）8.如图所示，4个长为，宽为的长方形拱成一个正方形，中间围成一个小正方形，则下面说法错误的是（）A. B.当时，，，，四点重合C. D.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们的出生地产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A.8100 B.81 C.900 D.910.奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，则（）A.3 B.7 C.10 D.14二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数的定义域为______.12.函数是定义在上的函数，且，若，______.13.已知函数同时满足：①定义域是实数集的一个子集；②是非奇非偶函数；③有最大值而无最小值.则满足条件的函数______（写出满足条件的一个函数即可）14.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第______号区域的总产量最大，该区域种植密度为______株.15.对于函数，下列说法正确的是______.（写出所有正确命题的序号）①函数为奇函数； ②函数的值域为；③函数在定义域上为增函数； ④对于，均有.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题12分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.17.（本小题15分）已知关于的不等式的解集为，且.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求集合.18.（本小题13分）函数，.（Ⅰ）若过点，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求的最大值；（Ⅲ）若图象恒在图象的上方，求实数的取值范围.19.（本小题15分）已知函数，且，.（Ⅰ）确定函数的解析式，并判断奇偶性；（Ⅱ）用定义证明函数在区间上单调递增；（Ⅲ）求满足的实数的取值范围.20.（本小题15分）若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）.（Ⅰ）当，时，求函数的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点、的中点在函数的图象上，求的最值21.（本小题15分）设是正整数集的非空子集，称集合为集合的生成集.（Ⅰ）当时，写出集合的生成集；（Ⅱ）若是由5个正整数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；（Ⅲ）判断是否存在4个正整数构成的集合，使其生成集，并说明理由.

参考答案一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】D【分析】根据集合的交集、补集运算计算即可求得结果，再用区间表示可得答案.【详解】由可知，又，故．故选：D．2.【答案】D【分析】根据全称命题的否定结构直接判断即可【详解】命题“”的否定为：.故选：D3.【答案】C【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立；对于C：由可得，故成立.故选：C4.【答案】A【分析】解不等式求出或，根据真包含关系得到结论.【详解】，解得或，由于为或的真子集，故“”是不等式成立的充分不必要条件.故选：A5.【答案】C【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，∴在区间上单调递减，且，∴当时，，当时，，综上所述，的取值范围是.故选：C.6.【答案】D【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.故选：D.7.【答案】A【分析】分，和三种情况，求出函数解析式，得到答案.【详解】当时，在上，过点作⊥于点，则，故，随的增大而增大，当时，在上，此时，随的增大而减小，当时，在上，此时，，随的增大而减小，函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合单调性可知A正确，其他错误.故选：A8.【答案】C【分析】由图象分析正方形ABCD以及正方形A1B1C1D1的面积，根据面积之间的关系逐一判断即可.【详解】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab，故A正确；对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为，A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此C选项错误.对于D，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；故选：C9.【答案】C【分析】利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：,解得；当鲑鱼游静止时的耗氧量：,解得；所以.故选：C【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.10.【答案】B【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案.【详解】结合函数图象可知中，令，则，故，结合图象可知，的根为0，有2个根，无解；故有3个解，故；中，令，则有2个根，不妨设，当，即，此时有2个解，当，即，此时有2个解，故有4个解，即，综上，.故选：B【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】【分析】根据偶次根式计算定义域即可.【详解】由函数，可得,所以x<1,所以函数定义域为.故答案为：.12.【答案】4【分析】根据得到.【详解】中，令得，又，，故，所以.故答案为：413.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题目条件写出符合要求的解析式即可.【详解】，由于定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，有最大值0，无最小值，满足要求.故答案为：（答案不唯一）14.【答案】【详解】种植密度函数对应的直线经过点,,则对应直线的斜率，则直线方程为，即，单株产量函数对应的直线经过点，，则对应斜线的斜率，则直线方程为，即，即总产量当时，函数有最大值，即号区域总产量最大，此时当代入得，故答案为5，.15.【答案】①③④【分析】①定义域为R，且，①正确；②，求出的取值范围，得到值域；③定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；④在③的基础上，结合，得到④正确.【详解】①的定义域为R，，故为奇函数，①正确；②，解得，的值域为，②错误；③任取，且，则，因为，所以，又，故，，故函数在定义域上为增函数，③正确；④由③知，函数在定义域上为增函数，又，故对于，均有，④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）9（2）（3）【分析】（1）根据根式的性质即可求解，（2）根据对数的运算性质即可求解，（3）根据指数幂的运算性质即可求解.【小问1详解】【小问2详解】小问3详解】17.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）因为，所以将3代入后，可求得的取值范围；（Ⅱ）将不等式整理为，再讨论以及三种情况，确定三种情况后，再求二次不等式对应的二次方程的实根，讨论实根的大小，从而确定不等式的解集.试题解析：（I）∵，∴当时，有，即.∴，即a的取值范围是.（II）当a=0时，集合；当时，集合；当时，原不等式解集A为空集；当时，集合；当时，集合.考点：含参的一元二次不等式的解法18.【答案】（1）（2）7（3）【分析】（1）代入0,3，求出答案；（2），换元后得到，，根据二次函数的单调性求出最大值；（3）由题意得到恒成立，参变分离进行求解.【小问1详解】由题意得，解得；【小问2详解】，令，则，对称轴为，因为，所以，在上单调递增，故当时，取得最大值，最大值为；【小问3详解】由题意得恒成立，即在R上恒成立，其中的取值范围是·，故，所以的取值范围是.19.【答案】（1），奇函数；（2）证明过程见解析（3）【分析】（1）待定系数法求出，求出函数解析式，定义域，并得到f-x=-fx，得到（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；（3），由（2）和奇偶性得到在1,+∞上单调递增，从而得到，求出不等式解集.【小问1详解】，解得，故，定义域为，，故为奇函数；小问2详解】任取且，则，因为且，所以，，故，，所以在区间上单调递增；【小问3详解】，其中，由（2）知，在区间上单调递增，又为奇函数，所以fx在1,+∞故，解得，故的取值范围是.20.【答案】（1）或3．（2）（3）【分析】（1）将，代入，根据，解方程求不动点即可；（2）将不动点转化为判别式大于0得到关于参数，的不等式，由于此不等式恒成立，将此不等式恒成立转化为即可．（3）根据中点关系可得，结合根与系数的关系可以表示成参数的函数即，至此，将问题转化为求关于的函数最小值的问题．【小问1详解】当，时，，由，解得或，所以所求的不动点为或3．【小问2详解】令，则①由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即恒成立，则，故【小问3详解】设，，又AB的中点在该直线上，所以，而应是方程①的两个根，所以即，，，21.【答案】（1）；（2）4；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存集合，可得，，，，然后结合条件说明即得.【小问1详解】因为，所以，所以；小问2详解】设，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于4个，又，则，此时中元素个数等于4个，所以生成集B中元素个数的最小值为4；【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，不妨设，则集合A的生成集由组成，又，所