2024北京五十中高三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京五十中高三（上）期中数学一、单选题1．在复平面内，复数满足，则的虚部为（

）A． B．C．3 D．2．已知集合，则集合（

）A． B．C． D．3．函数，，，且的最小值为，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．34．已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件5．在中，，则（

）A． B． C． D．6．记为数列的前项和．若，则（

）A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项7．在等腰梯形中，.M为的中点，则（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．9．点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（

）A． B． C． D．10．已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题11．二项式的展开式中常数项为.(用数字作答)12．函数的定义域为.13．已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是．14．已知等边的边长为，分别是的中点，则；若是线段上的动点，且，则的最小值为．15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①D1O⊥AC；②存在一点P，D1O∥B1P；③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．在中.(1)若，求的面积：(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.18．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况频数“一个”6“一些”4“一穷”2“一条”2其他假设用频率估计概率.(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）19．已知椭圆过点和.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值；(3)当时，求证：．21．对于数列，，，定义“变换”：将数列变换成数列，，，其中，且，记作．继续对数列进行“变换”，得到数列，，，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)直接写出2，6，4经过1次“变换”得到的数列，及再经过3次“变换”得到的数列；(2)若经过次“变换”后变换结束，求的最大值；(3)设，．已知2，，，且的各项之和为2022，若再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．

参考答案一、单选题1．【详解】解：因为复数满足，所以，所以的虚部为-3，故选：D2．【详解】由，所以.由，所以.所以.故选：C3．【详解】依题意，，，且的最小值为，所以.故选：A4．【详解】当时，，则，所以，故有，当时，因为，所以，即，解得或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.6．【详解】解：根据题意，数列，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，，当时，，当时，，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：．7．【详解】取中点，连接，∵，∴，，又是中点，∴，且，∴，故选：D．8．【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，即对任意恒成立，令，则在上单调递减，所以，所以a≥e即实数的最小值为.故选：C9．【详解】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，，,，四边形为平行四边形，，而在平面中，易证，∵平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面，∴平面平面，∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，，，∴，∴当P与O重合时，的长度取最小值，为等腰三角形，∴在点或者点处时，此时最大，最大值为.即的长度范围为故选：B．10．【详解】当时，函数是减函数，，所以；当时，，，①若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；所以，所以，即，解得；②若，则，在0,+∞上单调递增，此时值域为，符合题意.③当时，的值域为0,+∞，不合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：A.二、填空题11．【详解】二项式的展开式的通项公式，由，得，则，所以二项式的展开式中常数项为60.故答案为：6012．【详解】要使表达式有意义，需满足：，解得，∴函数的定义域为：故答案为：13．【详解】“，”为假命题，其否定“，”为真命题，当时，显然成立；当时，恒成立可化为：解得综上实数a的取值范围是.故答案为.14．【详解】

;若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，设，，当时，取最小值，且为.故答案为：；.15．【详解】对于①，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，①正确；对于②，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于，②错误；对于③，取B1B的中点E，连接，则，满足，又面，面，所以，，所以平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.所以③正确.对于④，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置为直线的垂直平分线，故④错误.故正确的序号是:①③.故答案为:①③.三、解答题16．【详解】（1）解：由题意可知，，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）解：若选①，则有且，由，可得，所以，即，不满足题意；若选②，则有且，由，可得，所以，即，，又因为，解得；若选③，则有且，由，可得，所以，所以，所以，因为，所以不可能为钝角或直角，只能为锐角，所以，所以.综上，选②或选③，.17．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以，（2）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.18．【详解】（1）由题意可得；故甲类题材中“一”出现的概率为；（2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为，则，则,,,故X的分布列为：X012P则.（3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，甲类题材中“一个”出现的概率为，由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.19．【详解】（1）将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为：（2）若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或，所以直线的方程为，取得，同理可得由得，即，所以，即，即即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为综上所述，直线的方程为或.20．【详解】（1），，，所以曲线在点处的切线方程为；（2），当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，所以函数的最小值为，最大值为，当时，，得，在区间小于0，函数单调递减，在区间大于0，函数单调递增，所以函数的最小值为，，，显然，所以函数的最大值为，综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，当时，函数的最小值为，最大值为；（3）当时，，即证明不等式，设，，，设，，，所以在单调递增，并且，，所以函数在上存在唯一零点，使，即，则在区间，，单调递减，在区间，，单调递增，所以的最小值为，由，得，且，所以，所以，即.21．【详解】（1）2，6，4经过1次“变换”得：4，2，2，：4，2，2，经过1次“变换”得2，0，2；经过第2次“变换”得2，2，0；经过第3次“变换”得0，2，2.即：0，2，2.（2）n的最大值为1①先证明n可以为1构造A：1，1，1，则：0，0，0，变换结束，此时n=1.②再证明反证法：假设设经过次“变换”后得到的数列为，且不全为0.因为经过次“变换”后变换结束，所以，所以（t为非0常数）设（即）由进行“变换”得到，则不妨设所以所以，与矛盾.综上，n的最大值为1（3）因为的各项之和为，不妨设，所以为的最大项即最大，即，或当时，可得所以，则当时，可得所以，则定义：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列“结构相同”.若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为（不考虑顺序）所以与数列“