2024北京铁二中高二（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京铁二中高二（上）期中数学（试卷满分150分考试时长120分钟）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.点与点的对称中心是（） A. B. C. D.2.圆与圆的位置关系为A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.4.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于轴对称的点是（）A. B. C. D.5.设为直线与圆的两个交点，则A. B. C. D.6.设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于A.4 B.5 C.8 D.107.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）8.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.9.已知直线，与直线，，则直线，关于轴对称的充要条件是（）A. B. C. D.10.如图所示，正方体的棱长为2，点分别为的中点，则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.三棱锥的体积为D.直线与平面所成的角为第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.圆的圆心到直线：的距离12.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．13.类比平面上直线的“一般式”方程，可以研究空间中平面的“一般式”方程，在空间直角坐标系中，平面的“一般式”方程为，则平面的一个法向量可以是______.14.若不同两点、的坐标分别为，，则线段的垂直平分线的斜率为__________，圆关于直线对称的圆的方程为__________．15.已知直线（为常数）和圆，给出下列四个结论：①直线与圆一定相交；②若直线与圆有两个不同交点M，N，则；③存在直线，圆关于直线对称；④若直线与圆有两个不同交点，，则的直线有且只有两条.其中所有正确结论的序号是____________.答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的一般式方程；（2）求直线的一般式方程及点的坐标.17.如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，.（1）求点到直线的距离（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.18.图1是棱长为2的正方体，，，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，，分别是，的中点，过点，，的平面交于点．（1）求线段的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值．19.如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.20.如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若，求MN的方程；（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.21.已知A0,3和是椭圆，上两点，是坐标原点.（1）求椭圆的离心率；（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为，求直线的方程；（3）过中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在轴上是否存在点使得.若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】由中点的坐标公式求解即可.【详解】点与点的对称中心是的中点，所以对称中心的坐标为，故选：C2.【答案】B【详解】【分析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选B．考点：圆与圆的位置关系．3.【答案】A【分析】由题意设直线方程为，根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设，令直线方程为，所以，可得.所以直线方程为.故选：A.4.【答案】A【分析】由横坐标不变，纵、竖坐标变成相反数可得．【详解】点关于轴对称的点是，故选：A．5.【答案】D【详解】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D.考点：直线与圆的交点弦长6.【答案】D【详解】试题分析：因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，故选D．考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义．7.【答案】D【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D．8.【答案】A【分析】先求出，，再求椭圆的离心率.【详解】解：因为，所以，则，，所以，又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质；利用椭圆方程求、；利用椭圆方程求离心率，是基础题9.【答案】C【分析】根据斜率相反，纵截距相等列式化简可得．【详解】直线，关于轴对称，则斜率是相反数，纵截距相等，则，，即.故选：C．10.【答案】B【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断即可，对于C，利用体积公式求解即可．【详解】对于A，为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，则,0,，,2,，,2,，,2,，,0,，对于B，设平面的法向量为，则，取，因为，所以，所以，因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确；对于C，因为，所以三棱锥的体积为，所以C错误；对于D，因为，设直线与平面所成的角为，则，所以D错误．故选：B．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】3【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为．考点：点到直线的距离．12.【答案】【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的2倍，所以，则，所以，解得，故，所以椭圆的标准方程为13.【答案】（答案不唯一）【分析】由题意直接写出平面的一个法向量即可.【详解】由题意可知，平面的法向量可以是或，故答案为：（答案不唯一）14.【答案】①.；②.【分析】由斜率公式可得,由两直线垂直则斜率之积为-1即可求出与线段垂直的直线的斜率，再由两点的中点坐标公式可得的中点坐标为,由直线的点斜式方程求出线段的垂直平分线的方程为，再结合点关于线对称的点的求法求出对称圆的圆心坐标即可得解.【详解】解:因为、的坐标分别为，，且、为不同两点,则或,即,由直线的斜率为,则线段的垂直平分线的斜率为-1,又线段的中点坐标为,则线段的垂直平分线的方程为,即,设圆关于直线对称的圆的圆心坐标为,则,解得,即圆关于直线对称的圆的方程为.【点睛】本题考查了线段的中垂线方程及圆关于直线的对称圆的求法，重点考查了圆与直线的位置关系，属中档题.15.【答案】①②③④【分析】由直线所过定点在圆内判断①，求出弦长的最大值最小值可判断②，由圆的直径所在直线都是圆的对称轴判断③，由弦长为求得，可判断D．【详解】由直线的方程为知直线过定点，圆心为，半径为2，，即定点在圆C内，因此直线与圆C不一定相交，①正确；当直线过圆心时，弦长为最大值，当与垂直时，弦长最小，且最小值为，②正确；当直线过圆心时，圆关于直线对称，③正确；由，解得，④正确．故选：①②③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程.（2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标.【小问1详解】∵，∴且，∴，∵，∴直线：，即【小问2详解】∵，∴，∴方程，令，则，∴A-2,0，∴，∴，∴直线：联立方程，解得即17.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离.（2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）利用向量法可求出点P到平面的距离．【小问1详解】三棱锥中，平面，平面，则，又，，，则，，，于是等腰腰上的高，由，分别是棱，的中点，得，是的中位线，所以点到直线的距离为.【小问2详解】依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，又，，分别是棱，，的中点，，得，则，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由（2）知，，点P到平面的距离，所以点P到平面的距离为.18.【答案】（1）（2）．【分析】（1）先根据平面的性质，确定点的位置，再求的长度.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦值.【小问1详解】方法一：在图1中延长与相交于，延长与相交于，延长与相交于，连接交于，如图所示，由∽，得，求得．方法二：在图1中过点作的平行线交于点，连接交于点，如图所示，易知．【小问2详解】在图2中，以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，设面的法向量，有，令，则，，设面的法向量为，有，令，则，．则面与面的夹角的余弦值是．19.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据两点间距离公式利用化简整理可得点的轨迹的方程为；（2）求出面积最大时点，可得的直线方程为，再由弦长公式可得结果.【小问1详解】易知，即，整理可得，即点的轨迹的方程为【小问2详解】如下图所示:由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；所以所在直线方程为圆心到直线的距离可得.20.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；（3）将韦达定理代入中计算结果为定值．【小问1详解】由椭圆过点，焦距为，得，解得，故椭圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，，，联立，消去得，由，得，则．，解得或，当时，直线的方程为；当时，直线经过点，不符合题意，舍去．所以当时，的方程为．【小问3详解】证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，所以，所以为定值．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）将点代入椭圆方程，然后解方程得到椭圆方程，最后求离心率即可；（2）根据坐标得到直线的方程，然后利用点到直线的距离和的面积列方程得到，最后分和两种情况求解即可；（3）设直线的方程，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理得到，最后根据恒成立列不等式求解即可.【小问1详解】将点A0,3和代入椭圆方程可得，解得，所以椭圆的方程为，所以离心率.【小问2详解】由题意得，，所以直线的方程为，即，设点，则点到直线的距离，所以，整理得，当时，联立，无解，所以不