河南省新乡市名校2025届高三上学期阶段性诊断测试（期中）数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省新乡市名校2025届高三上学期阶段性诊断测试（期中）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是(

)A.∀x>1，x3>1 B.∃x∉Q，x3∈Q

C.∃x>1，x2.若fx与gx均为定义在R上的奇函数，则函数ℎx=fA.

B.

C. D.3.已知函数fx=2−x+1A.−∞,1∪1,2 B.−2,−1∪−1,1∪1,24.将7本不同的杂志分成3组，每组至少2本，则不同的分组方法数为(

)A.70 B.84 C.105 D.2105.设z1的实部与虚部相等，且实部不为0，z2的虚部是实部的2倍，且z2在复平面内对应的点位于第三象限，则“z1在复平面内对应的点位于第一象限”是“zA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数y=sinx−3cos4x, x∈[−A.2π B.3π C.4π D.6π7.定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合1,2,3,4,5的“和睦数”是5+4−3+2−1=7，2,4的“和睦数”是4+2=6，1的“和睦数”是1.对于集合A=n6−n和为(

)A.82 B.74 C.12 D.708.已知1<m<n<2, a=nm, b=mn, c=loA.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.2019∼2023年快递业务量及其增长速度如图所示，则(

)

A.2019∼2023年快递业务量逐年上升

B.2019∼2023年快递业务量的极差为685.5亿件

C.2019∼2023年快递业务量的增长速度的40%分位数为19.4%

D.2019∼2023年快递业务量的增长速度的平均数为21.58%10.已知函数fx=13x3+12xA.a=−2 B.b=−1

C.fx有3个零点 D.直线y=5与fx的图象有11.已知x>0，y>0，且不等式xx+12+yy+1A.m的最小值为2−23 B.m的最大值为2+23

C.m的最小值为2−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，若(a+b)⊥(a13.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30∘角的三角板ABC的长直角边与含45∘的三角板ACD的斜边恰好重合．AC与BD相交于点O.若AC=23，则AO=14.已知函数fx的定义域为R，f−12=12，且fx+y=fxfy−xy.若关于四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=sin3x+φ−(1)求φ；(2)将fx的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数gx的图象，求16.(本小题15分)已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)讨论fx的单调性．17.(本小题15分)▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=2sinB(1)若c=27，求C及(2)若▵ABC的面积为3154，求18.(本小题17分)某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为T4567P0.30.20.40.1X表示2台设备使用期间需更换的零件个数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数．(1)求X的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在n=10和n=11中，应选择哪一个?19.(本小题17分)设函数fx的定义域为D，若∀x∈D，ffx(1)试问函数fx(2)已知函数fx=34x−2，证明：存在常数(3)已知对任意x，y∈R，函数fx，gx都满足①证明：fx②若f−3=0，证明：当x>1时，gx参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.AC

11.AB

12.14

或0.2513.6−214.−315.解：(1)因为x∈0,π3令t=3x+φ∈φ,φ+π，因为φ∈−π所以y=sint在φ,π当t∈φ,0时，sint<0，当t∈0,φ+π所以sintmin=所以φ=−π(2)fx的图象上所有点的横坐标变为原来的12可得y=sin6x−π令2kπ−π所以kπ3所以gx的单调递增区间为

16.解：(1)当a=1时，fx则f′x=1−2因为f1=1−0=1所以曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−1=−x−1，即y=−x+2(2)fx的定义域为12,+∞当a≤0时，当x>12时，f’(x)<当a>0时，令f′x=0，得x=a+22a>当x>a+22a时，f’(x)>当12<x<a+22a时，f’

17.解：(1)因为sinA=2sinB，b=2，所以所以cosC=a又C∈0,π，所以C=由asinA=c所以tanA【小问2详解】因为▵ABC的面积S=12所以cosC=±故c2当cosC=1116当cosC=−1116则c=3或31▵ABC内切圆的半径r=2S当c=3时，r=15当c=31时，

18.解：(1)由题意，X的可能取值为8，9，10，11，12，13，14，则P(X=8)=0.3×0.3=0.09，P(X=9)=2×0.3×0.2=0.12，P(X=10)=2×0.3×0.4+0.2×0.2=0.28，P(X=11)=2×0.3×0.1+2×0.2×0.4=0.22，P(X=12)=2×0.2×0.1+0.4×0.4=0.2，P(X=13)=2×0.4×0.1=0.08，P(X=14)=0.1×0.1=0.01，则X的分布列为：X891011121314P0.090.120.280.220.20.080.01【小问2详解】记Y1为当n=10时购买零件所需费用，Y1的可能取值为2000，2320，2640，2960，则PY1=2000PYPYPY则EY记Y2为当n=11时购买零件所需费用，Y2的可能取值为2200，2520，2840，则PY2=2200PYPYEY显然EY所以应选择n=10．

19.解：(1)f当x0,fx=当x>0时，fx=−ln当x=0时，f0=0，因此对任意的x∈R，都有ff故fx(2)根据题意可知函数gx显然，gx易知函数g(x)的定义域为x|x≠12，要使任意x∈x|x≠那么gx因此不妨令C=1当C=12时，g则ggx所以存在常数C=12，使得(3)证明：由题意得fx+gx−x所以存在常数a，使得fx令y=x，得fx+gx−x①由ffx=②若f−3=0，则a2要证明gx所以即证x2即证x2不