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文档简介

二重积分9.1.1二重积分的概念9.1.2二重积分的性质例9.1.1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.9.1.1二重积分的概念特例：平顶柱体的体积特点：平顶.柱体体积=底面积×高特点：曲顶.柱体体积=？解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

“分割，近似，求和，取极限”①分割：③求和：④取极限:以它们为底相应地曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在代表区域

中任取一点②近似：用任意曲线网分D为n个区域有一个平面薄片,在xOy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密“分割，近似，求和，取极限”解决.1)分割用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.例9.1.2平面薄片的质量2)近似中任取一点3)求和4)取极限则第

i小块的质量在令两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割，近似，求和，取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:①分割：③求和：④

取极限:则称此极限值为定义9.1.1设是有界闭区域上的有界函数作乘积任取②近似：用任意曲线网分D为n个区域如果极限值存在，在区域D

上的二重积分，记为个小区域，也表示该区域的面积，表示第即积分区域被积函数被积表达式面积元素积分和引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d

也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．若函数在D上可积.在有界闭区域D上连续,则9.1.2二重积分的性质

为D的面积,则性质9.1.1性质9.1.2性质9.1.3特别,由于则性质9.1.4.若在D上性质9.1.5.设D的面积为

,则有性质9.1.6.(中值定理)证:

由性质9.1.5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此例9.1.3

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上例9.1.4

不作计算，估计其中解:

积分域D的面积为由性质9.1.5知，的值，其中是椭圆闭区域这里在上，因为所以又因为仅在某些点处成立，从而复习xabA(x)x+dxxV平行截面面积是已知的立体的体积的求法xyy=f

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