数学课堂导学：向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则学习这部分内容时要注意：①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的.②两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0.③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一.④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点。具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示)，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=，b=,则a+b=+=.⑤当两个向量共线（平行）时,三角形法则同样适用.如下图表示求两个平行向量和的特殊情况.【例1】设a表示“向西走2km”，b表示“向北走2km”，则a+b表示向哪个方向行走了多少？思路分析：画图求解。解：如图，作=a，=b,则=+=a+b.∵△ABO为直角三角形，且||=｜｜=2，∴||=且∠AOB=45°.∴a+b表示向西北方向走了km。各个击破类题演练1已知向量a和非零向量b，求作向量a+b。思路分析:已知中明确了b是非零向量，没有明确a是否是非零向量，所以，应就a=0和a≠0两种情况分类讨论。解:（1)若a=0，则a+b=b,见图(1）.（2)若a≠0，则①当a与b不共线时,a+b，见图(2).②当a与b共线时,有(ⅰ）a与b同向共线，a+b,见图（3）。（ⅱ）a与b反向共线，|a|<｜b|，a+b,见图(4）;｜a｜=｜b|，a+b,见图（5）;｜a|〉|b｜，a+b，见图（6）。变式提升1如图所示,向量++++=________.解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即。答案:温馨提示更一般地，.特别地当A1和An重合时,=0.二、向量加法的平行四边形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点；三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法.但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则.【例2】两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40N，方向向东,F2=30N，方向向北,求它们的合力。解：如图,表示F1,表示F2。以OA，OB为邻边作ABCD,则表示合力F。在Rt△OAC中,||=|F1｜=40,｜|=｜|=｜F2|=30.由勾股定理,得|F｜=｜｜==50。设合力F与F1的夹角为θ，则tanθ==0.75.所以θ≈37°。所以合力大小为50N,方向为北偏东53°.类题演练2已知向量a、b（如图）,求作a+b。思路分析：在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点，然后把两个向量平移，使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合.解：在平面内任取一点O,如图,作=a,=b，则=a+b.变式提升2已知|a|=6,｜b|=8，且｜a+b｜=|a—b|，求|a-b｜。思路分析：从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征.解:如图，设｜|=a,|｜=b,以AB,AD为邻边作ABCD,则=a+b，=a-b。∵｜a+b｜=|a—b|,即||=｜|,∴ABCD为矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中,｜｜=6，||=8,由勾股定理，得|=10。∴｜a+b|=|a-b｜=10。三、向量加法的运算性质（1)对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.（2)向量加法的交换律：a+b=b+a。(3)向量加法的结合律：（a+b)+c=a+(b+c）.(4)三角形不等式:对于任意两个向量a，b，都有｜｜a|-|b｜|≤|a+b|≤|a｜+|b|.注意：（1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A出发先位移向量a，接着再位移向量b与先位移向量b再位移向量a一定会达到同一终边C.这也就说明了向量加法交换律成立.(2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了.【例3】化简:(1）;（2);（3).解：(1)。(2）=0。或=0.（3）=0。类题演练3如图所示,已知△ABC中，D，E，F分别是BC，CA,AB的中点，且AD与BE交于O点。求证：=0。思路分析：解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质，把题目变形后求得。证明:，又，∴，同理,可证，,∴=0。变式提升3下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;②△ABC中,必有=0；③若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;④若a,b均为非零向量,则|a+b|与｜a｜+|b｜一定相等。其中真命题的个数为(）A.0B.1C解析：①假命题。当a+b=0时，命题不成立。②真命题.③假命题。当A,B，C三点共线时也可以有=0.④假命题。只有当a与b同向时相等，其他情况均为｜a｜+｜b｜〉|a+b｜。答案:B【例4】已知A，B,C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若=0,求证：G是△ABC的重心。证明:如图所示,因为=0,所以.以,为邻边作平行四边形BGCD,则有=+，所以=.又因为在BGCD中，BC交GD于点E,所以.所以AE是△ABC的边BC的中线，且｜｜=2||.所以G是△ABC的重心.温馨提示(1）解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义；（2）把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法。通过本例题知,若G为△ABC的重心,则有++=0。类题演练4在重300N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°（如图），求重物平衡时,两根绳子的拉力大小.解：作OACB，如图所示，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，在△AOC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°。｜｜=｜|cos30°=（N)，||=｜｜sin30°=150（N）.|｜=||=150(N)，∴与铅垂线成30°角的绳子拉力是N,与铅垂线成60°角的绳子