数学课堂导学：分类加法计数原理和分步乘法计数原理（三）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、“分类”与“分步”是区分两个计数原理的唯一标准【例1】某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学6本，物理2本,化学3本，他欲带参考书到图书馆看书。(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法?(2）若外语、数学、物理和化学参考书各带一本,有多少种不同的带法?(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法?思路分析：（1)中“带一本参考书"应运用加法原理；(2）中“各带一本参考书"应运用乘法原理；(3）中“第2本不同学科的书"应分情况讨论，具有综合性。解析：(1)要完成的事是“带一本参考书”，由于无论带哪一学科的书都完成了这件事，因此是分类问题,应用加法原理得5+6+2+3=16(种)不同的带法.（2）要完成的事是“外语、数学、物理和化学各带一本”。因此,选一个学科中的一本书只完成了这件事的一部分,只有几个学科的书都选定了之后,才完成这件事，因此是分步计数问题,应用乘法原理，有5×6×2×3=180(种)不同的带法.(3）要完成的事是“带2本不同学科的书”，因此要分情况考虑,即先考虑是带哪两个学科的书，如带外语、数学各一本，则选一本外语书或选一本数学书都只完成了这一件事的一部分,因此要用乘法原理，即有5×6=30种选法。同样地，外语、物理各选一本，有5×2=10种选法.选外语、化学各一本有5×3=15种选法……，从而上述每种选法都完成了这件事.因此这些选法种数之间还应用加法原理，共有5×6＋5×2+5×3+6×2+6×3+2×3=91（种）二、两个计数原理的综合应用——分类和分步的先后问题【例2】从1到200的自然数中，各个数位上都不含数字8的自然数有多少个?分析：由题设条件要先分类,第一类考虑一位数中有多少不含数字8的自然数；第二类考虑两位数中有多少个不含数字8的自然数，此类中又要分个数和十位数两步，即要分步；第三类考虑三位数中有多少个不含数字8，也要分个位、十位、百位三步.故应先用分类计数原理，在每一类中需要分步的再用分步计数原理求解。解析：由题意分三类解决，第一类：一位数中有8个大于0且不含数字8的自然数.第二类：两位数中有多少不含数字8的自然数，此类需要分两步，第一步：个位上除8之外有9种选法，第二步：十位数上除0和8之外有8种选法，要根据分步计数原理，得第二类数中有8×9=72（个)数符合要求.第三类：三位数中有多少不含数字8的自然数，此类需要分两个小类，一类是百位数为1的三位数，此类需分三步，第一步：个位上除8之外有9种选法；第二步：十位数上除8之外有9种选法;第三步：百位数为1，有1种选法.根据分步计数原理,得此类数中有9×9=81(个）数符合要求。另一类是百位数为2的三位数，即200，就是1个，由分类计数原理得此时第三类的三位数中有81+1=82（个)不含数字8的自然数。故先用分类计数原理再结合分步计数原理，得从1到200的自然数中各个数位上都不含数字8的自然有N=8+72+82=162(个）.三、用两个计数原理解题时，要注意化归思想和分类讨论思想的使用【例3】求与正四面体四个顶点距离之比为1∶1∶1∶2的平面的个数。解析：设正四面体的顶点为A,B,C,D，到这四个点距离之比为1∶1∶1∶2的平面α有两类：（1）点A，B，C在平面α的同侧，有2个（如图）.①②(2)点A，B,C在平面α的两侧，有6个（如图).①②③④⑤⑥转换点A,B，C，D，共可得4×8=32个平面。各个击破【类题演练1】已知集合M={-3，-2，—1,0,1,2}，P（a,b）是平面上的点,a,b∈M:（1）P（a，b)可表示平面上多少个不同的点?（2）P（a，b）可表示多少个坐标轴上的点？解析：（1)完成这件事分成两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，∴P点个数为：N=6×6=36(个)（2)完成这件事可分三类：x轴上（不含原点)有5个；y轴上(不含原点）有5个；既在x轴上，又在y轴上的点即原点也适合，∴共有N=5+5+1=11（个）【变式提升1】甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种,乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种.这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种?解析：分两类：一类是甲厂生产的有3×4种,一类是乙厂生产的有4×5种，根据加法原理共有3×4+4×5=32种。【类题演练2】将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜色不同；如果只有红、黄、蓝、绿、黑5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.解析：如图所示，四棱锥P-ABCD中，第一步先将侧面PAB上的三点P、A、B染色,由于只有5种颜色且具有同一条棱上的两端点颜色不同，再分三个步骤共有5×4×3=60(种）染法。其次，当P、A、B用三种不同的颜色染好后,不妨设分别染的是P红、A黄、B蓝.若点C染黄色，则D可染蓝、绿、黑，即有3种染法。若点C染绿色,则D可染蓝、黑，即有2种染法.若点C染黑色，则D可染蓝、绿，即有2种染法。故第二步C和D还有7种染法.最后,由分步计数原理,得共有60×7=420（种）染法.【变式提升2】同室四人各写一张贺卡,先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同分配方式有（)A。6种B.9种C。11种D.23种解析：记四人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他的三人之一收到。故有3种分配方式；以乙收到为例,其他人收到卡片的情况可分为两类:第一类:甲收到乙送出的卡片，这时,丙、丁只有互送卡片一种分配方式。第二类：甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种（分别为丙和丁送出的)，对于每一种情形，丁收到卡片的方式只有一种。因此，根据分类与分步计数原理，得不同的分配方式数为：3×（1+2)=9.答案：B【类题演练3】在坐标平面上画出63条直线:y=b,y=+2b，y=+2b，其中b=-10,—9,—8，…，—1，0，1,…8，9，10,这些直线将平面切成若干个等边三角形,其中边长为的等边三角形有多少个?解析:6条最外面的直线围成一个边长为的正六边形，穿过原点O的三条直线将这六边形分成6个边长为的等边三角形。因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形内部共有边长为的小三角形为6×102=600（个）。另外，与正六边形每条边相邻的外部都有10个边长为的小三角形（如图）。故边长为23的等边三角形的个数为N=6×102+6×10=660。【变式提升3】某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分;平一场得1分；负一场是0分。一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的情形共有（)A。3种B.4种C。5种D。6种解析：设该队胜x场,平y场,负z场,则x，y,z是非负整数,且因为不考虑胜、平、负的顺序,所以问题转化为求此方程组的不同非负