数学课堂导学：8函数y=Asin：ωxφ的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。求y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,频率,相位及初相【例1】用五点法作出函数y=2sin（x—)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：本题考查y=Asin(ωx+φ）的基本概念，注意辨别初相与相位。解：列表如下：xx-0π2πy35313描点作图，如下图：周期T=2π，频率f==，相位x—，初相-，最大值5，最小值1，单调减区间[2kπ+，2kπ+］（k∈Z），单调增区间［2kπ-，2kπ+］(k∈Z)。友情提示y=Asin（ωx+φ)+k沿y轴方向平移，所以函数最值发生变化。（1）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ）+k的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴的交点。（2)用五点法作函数y=Asin（ωx+φ)+k的图象的步骤是:第一步：列表xωx+φ0π2πykA+kkk-Ak注意：由ωx+φ=0、、π、、2π先求出x，再由ωx+φ的值求出y的值.第二步：在同一坐标系中描出各点。第三步：用光滑的曲线连接这些点,而成图象。各个击破类题演练1已知函数y=3sin（2x+).（1）求出它的周期;(2）用“五点法”作出一个周期的简图；（3）指出函数的单调区间。解析：（1)周期为:T==π。（2)列表。2x+0π2πxy030—30描点连线（如下图）（3）可见在一个周期内,函数在［,］上递减,又因函数的最小正周期为π，所以函数的递减区间为［kπ+,kπ+］（k∈Z).同理，增区间为［kπ-,kπ+］(k∈Z）.变式提升1如右图,已知y1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象。（1)写出y1的解析式；（2)若y2与y1的图象关于直线x=2对称，写出y2的解析式；（3）指出y2的周期、频率、振幅和初相。解析：（1）由题图易知：A=2,T=7—(-1）=8,ω==。∴y1=2sin(x+φ），将点（-1,0）代入得2sin(-+φ)=0.∴φ=.∴y1=2sin(x+)。（2）作出与y1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位得到的.∴y2=2sin［（x-2）+］=2sin（x—）.（3)由(2)知，y2的周期T==8，频率f=，振幅A=2,初相φ=—。2.由y=sinx到y=Asin(ωx+φ)以及由y=cosx到y=Acos（ωx+φ)的图象变换【例2】要得到函数y=sin（2x-)的图象,只要将y=sinx的图象（）A.先把每个x的值扩大4倍，y值不变，再向右平移个单位B.先把每个x的值缩小4倍，y值不变，再向左平移个单位C.先把每个x的值扩大4倍，y值不变，再向左平移个单位D。先把每个x的值缩小4倍,y值不变，再向右平移个单位解析：x→2x，先缩小4倍，又∵-＜0,∴右移=。答案：D友情提示y=sinx变换成y=sin2x是把每个x值缩小4倍,有的同学错认为是扩大4倍，这样就错选A或C；再把y=sin2x变换成y=sin(2x—),即变为y=sin2（x—），则应当向右平移，有的同学认为是平移,这样导致错选A或B；也有的同学左右平移方向搞错，导致出错.类题演练2作出函数y=3cos(2x—）的图象,并说明这个图象可以由y=cosx的图象经过怎样的变化得到?解析：①列出五个关键点如下:2x-0π2πxy30-30②描点作图.③以π为周期把所得图象向左，右扩展，得y=3cos（2x—）的图象。这个图象可以由y=cosx的图象先向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的，每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到。变式提升2使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍,然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y=sin2x的图象相同,则f(x)的表达式为（）A。y=sin(4x—）B.y=sin(x-）C。y=sin(4x+）D.y=sin（x-）解析：据题意,y=sin2xy=sin2（x-)=sin(2x-)y=sin（x—)。答案:D3.根据图象写出函数的解析式【例3】如下图所示，函数y=Asin（ωx+φ）（A〉0,ω>0）的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为（，3）和(,-3）。求该函数的解析式.思路分析：根据相邻的最高点与最低点确定从而确定ω;由点的坐标满足图象解析式，代入得出φ。解：依题意知A=3，设最小正周期为T,则=，∴T=π，又T=，∴ω=2。∴函数解析式为y=3sin(2x+φ).∵点（，3)在图象上,∴3=3sin(2×+φ）sin（+φ)=1.+φ=2kπ+φ=2kπ—，k∈Z。∴y=3sin（2x+2kπ-）.故y=3sin（2x—)为所求。友情提示这类问题的求解难点是φ的确定,除以上方法外,常用移轴方法：做平移，使移轴公式为x=x′+,y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′,而x′=x—.∴所求函数y=3sin[2（x-）］,而平移时,方向与符号易出错。类题演练3如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b,(1）求这段时间的最大温差;（2)写出这段曲线的函数解析式.解析:（1)20°。（2）A=10，b=20。∵=14—6=8,∴T=16。∴16=，∴ω=.∴y=10sin(x+φ）+20.由五点法知，10sin（×6+φ)+20=10.即×6+φ=，∴φ=。∴y=10sin(x+)+20,x∈［6,14].变式提升3如右图,它是函数y=Asin(ωx+φ）（A〉0，ω>0）,|φ｜〈π的图象，根据图中数据,