2.1 等式性质与不等式性质（教材完美复刻）课件 人教A版2019版必修一 原创

高中数学/人教A版/必修一第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了．问题2

某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法．图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？练习（第39页）1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超过4m；（2）a与b的和为非负实数；（3）如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍．关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究中获得启发．思考请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．类比等式的性质1，2，我们可以猜想不等式有如下性质：这就是说，不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．从不同角度描述不等式的性质，可以加深理解．对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向．利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．例如，利用性质2，3可以推出：实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据练习（第42页）1．证明不等式性质1，3，4，6．＞＜＜＜习题2.1（第42页）1．举出几个现实生活中与不等式有关的例子．2．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元．列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．4．一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．B9．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因．所以圆的面积更大原因：自来水管的横截面是圆形的，可以最大面积地使水通过，减少阻力．12．火车站有某公司代运的甲种货物1530，乙种货物1150．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？所以共有三种方案，方案一：安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二：安