《线性代数（第六版）》 课件 赵树嫄 第3、4章 线性方程组、特征值问题和矩阵的对角化

线性方程组第三章1本章讨论关于线性方程组的两个问题：

一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元法）。

二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示。

运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。2第一节线性方程组的消元解法例用高斯消元法解线性方程组解345用“回代”的方法求出解：，其中c

取任意常数。6小结：1．上述解方程组的方法称为高斯消元法；

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）73．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是同解变换。8因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算。若记称为方程组(1)的增广矩阵。对线性方程组的消元过程完全可以转换为对增广矩阵的初等行变换过程。9用矩阵的初等行变换解方程组(1)：1011对应的方程组为由下到上逐个解得，其中c取任意常数。12例1解线性方程组解解得唯一解13例解线性方程组解最后一个为矛盾方程组故方程组无解。14线性方程组系数矩阵增广矩阵15方程组有解的充分必要条件是(如果有必要，可重新安排方程中未知量的次序)16线性方程组解的判定定理：在有解的情况下，17解例2解线性方程组181920解例3解线性方程组2122解例4232425例t为何值时线性方程组

解有解？方程组有无穷多解。26例下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解解的情况下，求出全部解。27方程组的通解为28例当a、b为何值时，线性方程组解无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时求出全部解。无解;29其中

k为任意常数。

30称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组显然零向量必为它的解，称为零解。定理推论31例解线性方程组

解这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知量个数，故必有非零解。只需对系数矩阵施以初等行变换。32方程组的通解为33例试确定

t的值，使齐次线性方程组解有非零解，并求出方程组的一般解。

34一般解为35一般解为36第二节向量与向量组的线性组合(一)向量及其线性运算定义行向量列向量或37向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的相等的概念与矩阵完全相同：分量全部为零的向量称为零向量，记为

0或。38向量的加减法、数乘等概念与矩阵完全相同。则加法数乘向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。39向量的线性运算满足以下八条运算律：

其中a,b,g

都是n维向量,θ是n维零向量,k,l

为实数.(加法交换律)；(加法结合律)；(数乘分配律)；(数乘分配律)；(数乘结合律)；40除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：例解其中移项规则41(二)向量组的线性组合定义例如,b=(2,-1,1),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1),因为b=2a1-a2+a3

,或者说b可由a1,a2,a3线性表示。即b是

a1,a2,a3的线性组合,42☎☎称为n维基本单位向量组。

☎43对线性方程组将系数矩阵A分块成列向量则方程组改写为44例解45例解4647但表示法不唯一。

其中c为任意常数。48例5解49解例550(三)向量组的等价定义设有两个向量组如果向量组(Ⅰ)中每个向量均可由向量组(Ⅱ)线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出

；如果两个向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)可以互相线性表出，则称向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)等价，记作

(Ⅰ)(Ⅱ)或51根据定义，不难证明向量组等价的下述性质：

(1)

反身性

任一向量组和它自身等价，即

(2)

对称性

(3)

传递性

52第三节向量组的线性相关性(一)线性相关与线性无关定义53包含零向量的向量组一定线性相关：单个向量线性相关当且仅当它为零向量：例设有☎☎54定理(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组有(无)非零解,55解例3判断下列向量组的线性相关性：线性相关。56解例判断下列向量组的线性相关性：线性相关。57解线性无关。58解线性无关。注意(1)向量按列拼成矩阵；(2)只作行变换。59推论线性相关的充分必要条件：有非零解，线性相关；只有零解，线性无关。线性无关的充分必要条件：60例

n维基本单位向量组61例5证62例证用矩阵形式，63例证必线性相关。所以上式有非零解，64线性相关性的其他性质：(1)如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。等价命题：如果一个向量组线性无关,则其任一部分组线性无关.部分相关整体相关整体无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.65可以推广到添多个分量的情形.等价命题：线性相关的向量组各去掉一个(或几个)分量所得向量组仍线性相关。证66(3)向量组的个数如果多于维数，则必线性相关。齐次线性方程组必有非零解，67例设解(1)线性无关；线性相关。68解(2)由于有三个三维向量，直接求行列式

例设69解(3)因为向量组的个数多于维数，则必线性相关，例设70(二)关于线性组合与线性相关的定理定理证使则71定理证72再证表法唯一。设有两种表示法，即表法唯一。证定理73定理证设

均为同维列向量，且有写成矩阵形式上式可写为考察齐次线性方程组

因为所以必有非零解75推论1定理由上述推论知，推论2两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.证且彼此等价，76第四节向量组的秩(一)向量组的极大无关组一个向量组的一个部分组称为一个极大(线性)无关组,如果它是线性无关的,但再任意添一个向量(如果还有的话)所得向量组线性相关。定义一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是它本身。任何一个向量组,只要它含有非零向量,就一定有极大无关组。☎☎77例如，设有向量组78

一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.定理证明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.其余的向量定理79

一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.定理证明首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.其余的向量从而(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.因此(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.80由等价的传递性可知,一个向量组的任两个极大无关组彼此等价,由前面推论2可知,两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.81由等价的传递性可知,一个向量组的任两个极大无关组彼此等价,由前面推论2可知,向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同。82(二)向量组的秩向量组的任一极大无关组所包含的向量的个数称为向量组的秩，记为

定义规定：只含零向量的向量组的秩为零.

自身,因此反之,若83定理由于向量组的极大无关组与该向量组本身等价,证84定理证由于向量组的极大无关组与该向量组本身等价,推论等价的向量组必有相同的秩。注意：上述推论的逆命题不成立，即秩相等的两个向量组未必等价。85(三)矩阵的秩与向量组的秩的关系定义矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。定理矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩。==证略由此，将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。基本问题：

给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。86解例1设向量组求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。秩为2。

87例求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。解将向量按列拼成矩阵，只做行变换，化为阶梯形88秩为2。

89解例设向量组求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。90919293定理设矩阵A,B可以相乘,则有证即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合,若向量组(Ⅰ)能被向量组(Ⅱ)线性表出,则秩(Ⅰ)秩(Ⅱ).94另一方面，定理设矩阵A,B可以相乘,则有证即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合,95推论若P,Q为可逆矩阵,则有证或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。96例证所以A可逆，有相同的秩。

97第五节线性方程组解的结构在有解的情况下，第一节中给出结论：其中A为m

n矩阵，为增广矩阵。

当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。98(一)齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当(*)有非零解(即无穷多解)当且仅当99齐次线性方程组解的性质：证明证明100定义如果满足：若(*)只有零解，则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。定理证略下面举例说明基础解系的求法。101解例1求下面齐次线性方程组的一个基础解系：

102自由未知量取为

基础解系：103例2求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。

解104基础解系：105例求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。

解106自由未知量取为

107基础解系:108解例求下面齐次线性方程组的一个基础解系：

109自由未知量取为

110自由未知量取为

基础解系:111例求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。

解112自由未知量取为

基础解系:113例3证将矩阵B按列分块，设

则114(二)非齐次线性方程组解的结构115非齐次线性方程组解的性质：证明证明116定理(**)的全部解。

证明由上述性质可知，为导出组(*)的解，记为则(**)的全部解。

117设非齐次线性方程组全部解的求法：满足则有无穷多解,导出组(1)求出导出组(*)的基础解系(2)求出原方程组(**)的一个特解则(**)的全部解为全部解。

118解例4用基础解系表示如下线性方程组的全部解：119导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。120解例求方程组的全部解。所以方程组有无穷多解。121导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。122例方程组的增广矩阵为导出组的基础解系：123特解：所以全部解为任意。124解例方程组(1)

为何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？(2)

无穷多解时，求出全部解(用向量表示)。无解;125有无穷多解,全部解为k为任意常数.126ENDEND127习题选解12816、设解(1)线性无关；线性相关。129解(2)由于有三个三维向量，直接求行列式

16、设130解(3)因为向量组的个数多于维数，则必线性相关，16、设13125、对下列线性方程组,讨论入取何值时,方程组无解、有唯一解和有无穷多解；在方程组有无穷多解时,用其导出组的基础解系表示全部解。

解系数行列式132无解;无穷多解,133无穷多解,导出组的基础解系为特解全部解为134解法127、设线性方程组

与方程有公共解，求a的值及所有公共解．将(1)与(2)联立得非齐次线性方程组(3)的解即为所求全部公共解.

135136137即为(1)与(2)的唯一公共解.138解法2与方程有公共解，求a的值及所有公共解．方程组(1)的系数行列式

27、设线性方程组

139140141矩阵的特征值第四章142本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对角化的问题。

143第一节矩阵的特征值与特征向量(一)矩阵的特征值定义说明：1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。

144特征值与特征向量的计算方法：即要求齐次线性方程组有非零解，即方程的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。记称为矩阵A的特征多项式，

145称为矩阵A的特征多项式，

为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。记146计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：147例1设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

相应齐次线性方程组的基础解系为148相应齐次线性方程组的基础解系为149练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

相应齐次线性方程组的基础解系为150相应齐次线性方程组的基础解系为151例2解152相应齐次线性方程组的基础解系为153相应齐次线性方程组的基础解系为154例3解155相应齐次线性方程组的基础解系为156相应齐次线性方程组的基础解系为157练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

158相应齐次线性方程组的基础解系为159相应齐次线性方程组的基础解系为160相应齐次线性方程组的基础解系为161练习解所以A的特征值为

设求A的特征值与特征向量。162相应齐次线性方程组的基础解系为163相应齐次线性方程组的基础解系为164对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。

165(二)特征值与特征向量的基本性质性质1证(2)可推广到多个特征向量。166性质2证(1)167(2)重复这个过程,可得性质2证168(3)设A可逆,

矛盾；性质2证169性质3证从而有相同的特征值。注意：170属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。

性质4属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况。证(1)(2)推广171例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则

有一个特征值7.例5证幂等矩阵172练习：例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则

有一个特征值7.例5幂等矩阵173例6解由性质2,

注：因为方阵A可逆，所以其所有特征值不等于零。174矩阵的特征多项式的性质：中出现,故有而常数项等于所以175比较系数得性质5推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零。trace176例7解177练习解178矩阵的迹的性质证略。179第二节相似矩阵与矩阵对角化(一)相似矩阵及其性质定义对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得

则称A与B相似,记为例如180矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：(2)对称性：证(3)传递性：证181相似矩阵的性质：定理相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同。证推论1相似矩阵的行列式相等；推论2相似矩阵的迹相等；推论3若矩阵A与一个对角阵相似,(对角阵的特征值即为主对角元)。182注意：特征值相同的矩阵不一定相似。但它们不相似，因为与

E相似的矩阵只有它自己，因为对任意可逆阵P，183相似矩阵的其他性质：

相似矩阵的秩相等；若P,Q为可逆矩阵,则有184A,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3)，其余证明留作练习。(1)(2)(3)(4)(5)(6)185例1解186(二)矩阵与对角矩阵相似的条件

n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。

证必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使187必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。

188推论1如果矩阵A的特征值互不相同，则A必可对角化。因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。注意：这个条件是充分的而不是必要的。如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化。189解例2190特征向量特征向量191特征向量特征向量特征向量192193例3解特征向量可对角化,194特征向量195例4解只有一个线性无关的特征向量,所以不能对角化。196一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得则于是转化为对角阵求幂，而对角阵求幂是容易的。197例1解198相应齐次线性方程组的基础解系为199相应齐次线性方程组的基础解系为200201202练习解设

203204第三节实对称矩阵的特征值和特征向量(一)向量内积定义

给定

Rn

中向量实数

205向量的内积具有如下基本特性：206向量的长度：定义例1207向量的长度具有如下性质：

证略208长度为1的向量称为单位向量。例2证209(二)正交向量组

定义显然零向量与任何向量都正交，即

210例3解将其单位化，得

211定义212定理证与上式两端作内积，得

213上述定理说明：一个向量组线性无关是该向量组为正交向量组的必要条件。但定理显然不是可逆的。214施密特正交化方法215例3将向量组正交化。解216解正交化。例3将向量组217练习解将向量组标准正交化。218再单位化,219(三)正交矩阵

定义

若

n阶实矩阵

Q

满足

则称

Q为正交矩阵。例1

单位矩阵

E是正交矩阵。例2所以Q是一个正交矩阵。220例3

在平面解析几何中，两个直角坐标系间的坐标变换公式为

写成矩阵形式为

221正交矩阵的基本性质：

(3)若

P

与

Q

都是

n

阶正交矩阵,则

PQ

也是

n

阶正交矩阵.逆命题也对；证所以

P

Q是正交矩阵。222例4

证