中考数学试题分项汇编：函数与几何综合问题（共25题）原卷版+解析

专题32函数与几何综合问题（25题）

一、填空题

1.（2023・四川眉山•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xQy中，点2的坐标为（-8,6）,过点台分别作

x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A,直线y=-2x-6与交于点。.与>轴交于点£.动点M在线

段BC上，动点N在直线>=-2尤-6上，若AAAW是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标

2.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于48两点，点。是线段

上一动点，点X是直线>=尤+2上的一动点，动点矶〃?,0）,网〃?+3,0）,连接3E,DF,HD.当

鹿+及取最小值时，38H+5D”的最小值是.

3.（2023•江苏无锡•统考中考真题）二次函数y=a（x-l）（x-5）［a>g］的图像与x轴交于点A、B,与V轴

交于点C,过点“（3,1）的直线将AABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，贝匹的值

为.

二、解答题

4.（2023•黑龙江牡丹江•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，YABCD的顶点B,C在无轴上，D

在y轴上，OB,OC的长是方程Y-6x+8=0的两个根（C®>OC）.请解答下列问题：

⑴求点B的坐标；

⑵若OD:OC=2:1,直线y=-x+〃分别交工轴、y轴、AO于点E,F,M,且M是AZ）的中点，直线E厅交

DC延长线于点N,求tan/MM）的值；

⑶在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线跖上是否存在点。，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若

存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点。的坐标；若不存在，请说明理由.

5.（2023・湖南•统考中考真题）如图，点A,B,C在0。上运动，AB2=BC2+AC2,延长AC至点

使得/DBC=NCAB,点E是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦的垂线，交于点尸,

交的延长线于点N,交。。于点M（点M在劣弧AC上）.

（1）5□是0。的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

⑵记ABDGAABGAADB的面积分别为品S2,S,若S/S=（Sj2,求（tanZ））2的值；

（3）若。。的半径为1,设=FE-FN-.—1—+—1—=y,试求y关于尤的函数解析式，并写出

\BCBNAEAC'

自变量X的取值范围.

6.(2023・湖南•统考中考真题)我们约定：若关于x的二次函数％=//+6/+<;［与％=4/+么无+。2同时满

足向三+屹+4>+,2-⑷=°，瓦-瓦2吟0,则称函数%与函数内互为“美美与共”函数.根据该约定,

解答下列问题：

(1)若关于x的二次函数％=2/+履+3与%=〃V+x+〃互为“美美与共”函数，求上"的值；

(2)对于任意非零实数r,s,点P(r,/)与点Q(s,t)(r^s)始终在关于尤的函数％=V+2rx+s的图像上运动，

函数》与必互为“美美与共”函数.

①求函数上的图像的对称轴；

②函数%的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数％=/+6x+c与它的“美美与共”函数上的图像顶点分

别为点4点B，函数为的图像与无轴交于不同两点C,。,函数为的图像与x轴交于不同两点£，E当8=防

时，以A,B,C,。为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理

由.

7.(2023・江苏无锡•统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，/A=60。，点。为CD的中点,

P为线段A3上的动点，现将四边形PBCQ沿尸。翻折得到四边形PB'C'Q.

(1)当NQPB=45。时，求四边形班，CC的面积；

(2)当点P在线段A2上移动时，设3P=x,四边形3?C'C的面积为S,求S关于尤的函数表达式.

8.(2023•江苏徐州•统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数>=-瓜2+23^的图象与x轴

分别交于点O,A,顶点为B.连接OBAB,将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC,连接.点

D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,ZDEA=60°.

⑴求点AB的坐标；

(2)随着点E在线段上运动.

①/EZX的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段环的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由;

(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，ABDE的面积为一.

9.(2023・内蒙古・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=-炉+3》+1交y轴于点A,直线

y=-gx+2交抛物线于8,C两点（点8在点C的左侧），交》轴于点。，交x轴于点E.

⑴求点D,E,C的坐标;

（2）尸是线段0E上一点（。歹＜"），连接且”2+石产2=21.

①求证：△DPC是直角三角形；

②//mC的平分线尸K交线段DC于点K,尸是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan/丹K=1时，求点尸的

坐标.

10.（2023・吉林・统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,点。是对角线AC的中点，动点P,

。分别从点A,8同时出发，点P以：lcm/s的速度沿边A3向终点8匀速运动，点。以2cm/s的速度沿折线

BC-CD向终点。匀速运动.连接尸。并延长交边CD于点连接。。并延长交折线ZM-AB于点N,连

接尸Q,QM,MN,NP,得到四边形PQMV.设点尸的运动时间为x(s)(o<x<4),四边形PQMN的

面积为>(cm2)

(1)8尸的长为cm,CM的长为cm.(用含x的代数式表示)

⑵求y关于X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围.

⑶当四边形PQWN是轴对称图形时，直接写出x的值.

H.(2023・广东•统考中考真题)综合运用

如图1,在平面直角坐标系中，正方形。由C的顶点A在x轴的正半轴上，如图2,将正方形QVC绕点。逆

时针旋转，旋转角为a（O°<o<45。），AB交直线y=x于点E,BC交>轴于点尸.

（1）当旋转角NCOR为多少度时，OE=O尸；（直接写出结果，不要求写解答过程）

⑵若点44,3）,求PC的长；

（3）如图3,对角线AC交>轴于点交直线,=彳于点N,连接bN,将△O/W与△OCR的面积分别记为

S1与S2,设S=S「S2，AN=n,求S关于〃的函数表达式.

12.（2023•湖北黄冈•统考中考真题）已知抛物线丁=-；无2+法+,与犬轴交于43（4,0）两点，与y轴交于点

C（。,2）,点P为第一象限抛物线上的点，连接

⑴直接写出结果；b=,c=,点A的坐标为,tanZABC=；

(2)如图1,当NPCB=2Z.0CA时，求点尸的坐标；

(3)如图2,点。在y轴负半轴上，8=03,点。为抛物线上一点，NQBD=90。，点E,尸分别为△3D。

的边DQ，D8上的动点，QE=DF,记BE+QF的最小值为优.

①求m的值；

②设APCJ5的面积为S,若S二m2-k,请直接写出左的取值范围.

4

13.(2023•湖北宜昌•统考中考真题)如图，已知40,2),8(2,0).点E位于第二象限且在直线y=-2x上,

ZEOD=9Q°,OD=OE,连接AB,DE,AE,DB.

⑴直接判断MOB的形状：AAOB是_________三角形;

(2)求证：AAOE咨ABOD；

⑶直线EA交x轴于点CQ,0)/>2.将经过8,C两点的抛物线％=/+bx-4向左平移2个单位，得到抛

物线%.

①若直线E4与抛物线％有唯一交点，求f的值；

②若抛物线上的顶点P在直线E4上，求r的值；

2

③将抛物线则再向下平移，厂k个单位，得到抛物线%.若点。在抛物线为上，求点。的坐标.

«—

14.(2023•山东滨州・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形。4SC的一边OC在x轴正半轴上,

顶点A的坐标为仅,2⑹，点。是边OC上的动点，过点。作。3交边于点E,作方F〃OB交边BC

于点歹，连接设OD=x,4r>跳'的面积为S.

(1)求S关于x的函数解析式；

(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值.

15.（2023・天津•统考中考真题）在平面直角坐标系中，0为原点，菱形ABCD的顶点A（6,0）,3（。』）,0（261）,

矩形EFGH的顶点《0,.

（1）填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

⑵将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EN'GTT,点E,F,G,”的对应点分别为厅，F',G,

H'.设EE'=t,矩形笈F'GTT与菱形ABC。重叠部分的面积为S.

①如图②，当边石尸与AB相交于点M、边G7T与BC相交于点N,且矩形&F'G7T与菱形ABCD重叠部分

为五边形时，试用含有/的式子表示S,并直接写出f的取值范围:

②当毡4区凶时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

34

16.（2023•浙江温州・统考中考真题）如图1,为半圆。的直径，C为54延长线上一点，CD切半圆于点

3

D,BELCD,交CD延长线于点E,交半圆于点尸，已知04=5，AC=1-如图2，连接AF，P为线段

AF上一点，过点尸作BC的平行线分别交CE,BE于点M,N,过点尸作P"，AB于点H.设尸H=x,MN=y.

⑴求CE的长和y关于尤的函数表达式.

Q）当PH＜PN,且长度分别等于PH，PN,。的三条线段组成的三角形与ABCE相似时，求。的值.

⑶延长PN交半圆。于点Q,当加=米-3时’求MN的长.

17.（2023•新疆・统考中考真题）【建立模型】（1）如图1,点8是线段C。上的一点，AC1BC,AB_LBE,

ED±BD,垂足分别为C,B,D,AB=BE.求证：AACB%BDE；

【类比迁移】（2）如图2,一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与X轴交于点8,将线段A3绕点8逆

时针旋转90。得到8C、直线AC交x轴于点。.

①求点C的坐标；

②求直线AC的解析式；

【拓展延伸】（3）如图3,抛物线＞=/-3彳-4与x轴交于A,3两点（点A在点5的左侧），与＞轴交于C点,

已知点。（0,-D,连接BQ.抛物线上是否存在点〃，使得tanNMBQ=g,若存在，求出点V的横坐标.

图1图2图3

18.(2023•江苏连云港•统考中考真题)【问题情境建构函数】

(1)如图1,在矩形ABCD中，A3=4,M是CO的中点，AEJ.BM,垂足为E.设8C=x,AE=y,试用

含x的代数式表示九

【由数想形新知初探】

(2)在上述表达式中，y与无成函数关系，其图像如图2所示.若X取任意实数，此时的函数图像是否具

有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像.

【数形结合深度探究】

(3)在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值>随x的增大而增大；

②函数值y的取值范围是忘；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点

A8、C、。，使得四边形ABC。是平行四边形.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【抽象回归拓展总结】

（4）若将（1）中的"AB=4”改成"AB=2k"，此时V关于尤的函数表达式是；一般地，当％*0,无

取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3

条即可）.

19.（2023・四川凉山•统考中考真题）阅读理解题:

阅读材料:

如图1,四边形ABCD是矩形，△皿是等腰直角三角形，记NBAE为a、/FAD为P,若tana=；,则

易证AAEB^A£FC（AAS）

EC=2k,CF=k,

FD=k、AD=3k

・°DFk\

..tanp==—=—,

AD3k3

若a+/7=45。时，当tana=；,则tan/=；.

同理：若i+尸=45。时，当tana=；,贝!|tan尸=；.

根据上述材料，完成下列问题:

如图2,直线>=3x-9与反比例函数>='(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点5.将直线A2绕点A顺

x

时针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点A作AM，无轴于点V,过点A作AN轴于点N,已知

04=5.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵直接写出tan/BA/0、tan/W4E的值;

(3)求直线AE的解析式.

20.(2023•山东泰安・统考中考真题)如图1,二次函数>=办2+法+4的图象经过点A(T,0),3(-l,0).

⑴求二次函数的表达式；

⑵若点尸在二次函数对称轴上，当ABCP面积为5时，求P坐标；

(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点，使NZMB+NACB=90。；请判断小明的说法是否正确，如果

正确，请求出。的坐标；如果不正确，请说明理由.

21.（2023・湖北恩施•统考中考真题）在平面直角坐标系尤。y中，。为坐标原点，已知抛物线y=+c

与y轴交于点A,抛物线的对称轴与X轴交于点8.

⑴如图，若4（0,追），抛物线的对称轴为尤=3.求抛物线的解析式，并直接写出y26时x的取值范围；

⑵在（1）的条件下，若尸为》轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当APBC为等边三角形时，求点尸，

C的坐标；

⑶若抛物线丁=-3*+法+。经过点£）（九2）,£（〃,2）,F（l,-1）,且机＜〃，求正整数见〃的值.

22.（2023・辽宁营口•统考中考真题）如图，抛物线产加+法-1（"0）与x轴交于点A（l,0）和点3,与丁轴

交于点。，抛物线的对称轴交工轴于点。（3,0）,过点5作直线Ux轴，过点。作DE1CD,交直线/于点£.

⑴求抛物线的解析式;

（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和3尸交于点Q,当黑时.求点P的坐标；

⑶在（2）的条件下，连接AC,在直线B尸上是否存在点b，使得NZ）EF=NACD+ZBE。？若存在，请直

接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

23.（2023•山东日照•统考中考真题）在平面直角坐标系无。了内，抛物线y=-办2+5办+2（。＞0）交了轴于点

C,过点C作X轴的平行线交该抛物线于点D.

1/\8,

o7M

（1）求点C,。的坐标;

（2）当a时，如图1,该抛物线与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），点尸为直线AD上方抛物线

上一点，将直线ED沿直线AD翻折，交x轴于点M（4,0）,求点尸的坐标；

⑶坐标平面内有两点石。+1）/（5,。+1）,以线段E尸为边向上作正方形EFGH.

①若。=1,求正方形SFGH的边与抛物线的所有交点坐标；

②当正方形EFG”的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为|■时，求。的值.

24.（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知二次函数》=4（一+区+€）的图像与，轴交于点A,且经过点

2（4,应）和点C（-l,也）.

⑴请直接写出6,。的值；

⑵直线8c交y轴于点。，点E是二次函数、=等（/+法+C）图像上位于直线至下方的动点，过点E作直

线的垂线，垂足为尸.

①求EF的最大值；

②若AAEF中有一个内角是ZABC的两倍，求点E的横坐标.

25.（2023・辽宁・统考中考真题）如图，抛物线>=-；必+&+。与x轴交于点A和点3（4,0）,与>轴交于点

C（0,4）,点E在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在第一象限内，过点E作取〃y轴，交BC于点尸，作EH||x轴，交抛物线于点点H在点E的

左侧，以线段所，初为邻边作矩形瓦6”,当矩形EFG”的周长为11时，求线段的长；

⑶点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OEMW■是正方形时，请直接写出点N的坐标.

专题32函数与几何综合问题(25题)

一、填空题

1.(2023・四川眉山•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xQy中，点2的坐标为(-8,6),过点8分别作

x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A,直线y=-2x-6与交于点。.与＞轴交于点£.动点M在线

段BC上，动点N在直线＞=-2尤-6上，若AAAW是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标

为________

【答案】"(—8,6)或

【分析】如图，由AAAW是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，

MN=AN,可得N是圆H与直线＞=-2尤-6的交点，当河,8重合时，符合题意，可得”(-8,6),当N在AM

的上方时，如图，过N作N/_Ly轴于J,延长MB交即于K,贝！I/NZA=/MKN=90°,JK=AB=8,证

明AMNK沿&NAJ,设N(x,—2x—6),可得MK=NJ=—x,KN=AJ=—2x—6—6=—2x—12,而K/=AB=8,

则-2x-12-x=8,再解方程可得答案.

【详解】解：如图,

是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，

在以AM为直径的圆H上，MN=AN,

N是圆H与直线y=-2x-6的交点，

当",8重合时，

V5(-8,6),则H(T,3),

：.MH=AH=NH=4,符合题意，

当N在A"的上方时，如图，过N作轴于J,延长MB交即于K,则N2WAZMKN=90°,

JK=AB=8,

：.ZNAJ+ZANJ=90°,

■:AN=MN,ZANM=90°,

：.ZMNK-^-ZANJ=90°,

：.ZMNK=/NAJ,

:・△MNK"ANAJ,设N（x,—2x—6）,

：.MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,

而灯=AB=8,

••—2x—12—x—8,

解得：1=—奇20，贝2x—6=?22,

22202

CM=CK-MK=----------=-,

333

•••小〉

综上：〃（一8,6）或加（一8彳］.

故答案为：”（—8,6）或

【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键.

2.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，点。是线段

A8上一动点，点H是直线y=-gx+2上的一动点，动点石（根,0）,网租+3,0）,连接BE,DF,HD.当

BE+七r取最小值时，3BH+5DH的最小值是.

【分析】作出点C（3,-2）,作CDLAfi于点。，交无轴于点孔此时班+方的最小值为8的长，利用解

直角三角形求得利用待定系数法求得直线8的解析式，联立即可求得点。的坐标，过点。作

以7，y轴于点6,此时的最小值是5DG的长，据此求解即可.

【详解】解：：直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,8两点,

：.8(0,2),A(6,0),

作点8关于x轴的对称点9(0,-2)，把点"向右平移3个单位得到C(3,-2),

作CD,AB于点。，交x轴于点尸，过点3'作B'E〃CD交x轴于点E,则四边形EFCB'是平行四边形,

此时，BE=B'E=CF,

・•・BE+DF=CF+D尸=CD有最小值,

作C尸，九轴于点尸，

贝i」CP=2,OP=3,

ZCFP=ZAFD,

：.ZFCP=ZFAD,

tanZFCP=tanZFAD,

:.巴=吗即空二

PCOA26

2

:・PF=.则尸T°1

设直线co的解析式为y=履+"

"3k+b=-2

k=3

则＜,解得

—k+b=0b=-U

13

・•・直线CD的解析式为y=3x-11,

39

y=3x-llx=——

10

联立,1，解得,

y=——x+27

3y=—

10

即。

过点。作OGLy轴于点G,

r4则=Jog0序V

3

/.sinNOBQ=^=左=3

BQ55

2

3

HG=BHsinZGBH=-BH,

5

^BH+DH}=5(HG+DH)=5DG,

3BH+5DH=5

3939

即33H+5。”的最小值是5£>G=5x—=—

102

故答案为：二

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

3.（2023•江苏无锡•统考中考真题）二次函数〉=。5-1）（了-5），＞））的图像与苫轴交于点八、B,与，轴

交于点C,过点M（3,1）的直线将A/RC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，贝匹的值

为.

【答案】"或句史或叵止

1052

【分析】先求得A（l,0）,3（5,0）,C（0,5a）,直线解析式为尸-：x+：,直线的解析式为y=H,

1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1,直线A"过8C

中点，②如图2,直线过AC中点，直线解析式为y=+AC中点坐标为"la；待入直

线求得。=，；③如图3,直线CM过A3中点，A3中点坐标为（3,0）,直线MB与V轴平行，必不成立；2）

当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与AABC一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，所以

相似比为1:0.④如图4,直线①欣〃AB,根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5,直线ME〃AC,

XE1

⑥如图6,直线M£〃BC,同理可得,进而根据tanN7VffiN=tan/CBO,即可求解.

AD

【详解】解：由y=a(x—1)(%-5),令％=0,解得：y=5a,令y=0,解得：x1=l,x2=5,

A（1,O）,5（5,0）,C（0,5a）,

设直线解析式为y=履+），

[5k+b=Q

[3k+b=l

k=-

2

解得：

b=-

l2

•••直线解析式为y=+当x=0时，J=|,则直线BM与y轴交于og

...点M必在AABC内部.

1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线

设直线AM的解析式为y=如+几

.[k+b=0

^[3k+b=l

1

m=—

7

解得：1

n=——

[2

则直线AW的解析式为y=3-g

①如图1,直线AM过3c中点，，

BC中点坐标为代入直线求得.='＜；,不成立;

、乙乙）1UZ

②如图2,直线过AC中点，直线8M解析式为＞=-;x+g,AC中点坐标为,待入直线求得

9

CL-----

10

③如图3,直线CM过A3中点，中点坐标为（3,0）,

，直线MB与y轴平行，必不成立;

2）、当分成三角形和梯形时,过点M的直线必与AABC一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积,

所以相似比为1:拒.

④如图4,直线£711〃AB,

：.ACENS卫OA

CECN1

CO-CA-7??

5a-}_1

5ay/2'

BE1

又.=4,

BE=2近，

期=5-3=2<2忘，

•••不成立;

AE1

⑥如图6,直线ME〃3C,同理可得其=下,

AJD72

AE=2-72，NE=2夜-2,tanZMEN=tanZCBO,

.1_5ax/2+1

.•南三-M，解传-丁；

综上所述，或*史或1±1.

1052

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识,

并分类讨论是解题的关键.

二、解答题

4.（2023•黑龙江牡丹江•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，YABCD的顶点B,C在无轴上，D

在y轴上，OB,OC的长是方程Y-6x+8=0的两个根（C®>OC）.请解答下列问题：

⑴求点B的坐标；

⑵若OD:OC=2:1,直线y=-x+〃分别交工轴、y轴、AO于点E,F,M,且M是AZ）的中点，直线E厅交

DC延长线于点N,求tan/MM）的值；

⑶在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线跖上是否存在点。，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若

存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴3（-4,0）

（2）tanNMND=g

⑶存在，等腰三角形的个数是8个，殳芋,Q［殳铲，-更|出），。3（4,-3）,2（T,3）

【分析】（1）解方程得到。8，OC的长，从而得到点2的坐标；

（2）由OD:OC=2:1,OC=2,得O£>=4.由4。=3。=6,"是AD中点，得到点M的坐标，代入直

线>=_》+6中，求得。的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E,点尸的坐标，由坐标特点可得

ZFEO=45°.过点C作CH，硒于H,过点N作NK,3c于K.从而ADOCsANKC,

DO:OC=NK:CK=2:1,进而得到册=2次，易证NKEN=NKNE=45。,可得EK=NK=2CK,因此

EC=CK,由EC=OC-OE=2—1=1可得CK=1,NK=2,EK=2,从而通过解直角三角形在Rt△硒K中，

FK-B

得到EN=--------------=2V2,在Rtz\ECH中，CH=EH=EC-cosZCEH=—,因此求得

cosZKEN2

NH=EN—EH=,最终可得结果tanNA/ND=二二=彳；

2NH3

（3）分尸N=PQ,PN=NQ,PQ=NQ三大类求解,共有8种情况.

【详解】(1)解方程％2—6X+8=0,得石=4,x2=l.

・.・OB>OC,

.•.05=4,OC=2.

・•・3(yo)；

(2)v(?D:OC=2:l,OC=2

.\OD=4.

•・•四边形ABC。是平行四边形，

.\AD//BC,AD=BC=6.

•・・M是AD中点,

:.MD=3.

3,4).

将M(—3,4)代入y=—x+b,得3+b=4.

.\b=l.

..矶1,0),*0,1).

.•.NFEO=45。.

过点。作C”,硒于H,过点N作八K,5c于K.

vADOC^AA^C,DO:OC=NK:CK=2A.

：.NK=2CK

■:/KEN=/FEO=45。

：.ZKNE=90°-/KEN=45°

：.ZKEN=ZKNE

：.EK=NK=2CK

：.EC=CK

9：EC=OC-OE=2-1=1

：.CK=lfNK=2,EK=2

・••在Rta£7VK中，EN=———=——=272

CGS/KENcos45°

B

在RtAECH中，CH=EH=ECcosACEH=1-cos45°=—

2

/.NH=EN-EH=2y/2--==^-

22

交

\_

tanZMND=—2

NH3A/23

F

（3）解：由（2）知：直线E尸解析式为y=-x+l,N（3,-2）,

设尸(O,p),Q(q,-q+\),

①当PN=QN=5时，

（3_0『+（_2_p）2=52,（3_疗+（_2+小）2=52,

解得0=-6或p=2,q=6+5&或6-50,

22

・・.。［gQ［宇，-年），旭-6），g（。，2）,

如图，4P\Q\N、APQ［N、AP&\N、△鸟2N都是以5为腰的等腰三角形,

..6+5A/2

.------->5,

2

PQz不可能等于5,

如图，APSQ'N,△舄QN都是以5为腰的等腰三角形,

由①知：虫0,-6）,£（0,2）,

当耳（0,-6）时，（0一4+（一6+4一1）2=5,

解得名=3（舍去），%=4,

，。3（4，-3）,

解得d=3（舍去），%=-4,

•••2(T3),

综上，等腰三角形的个数是8个,

符合题意的。坐标为0/色芋，更詈］,23（4,-3）,2（-4,3）

【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合

思想是解题的关键.

5.（2023・湖南•统考中考真题）如图，点A,B,C在。。上运动，满足AB?+AC?,延长AC至点

使得/DBC=/CAB,点£是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦AB的垂线，交A3于点尸,

交3c的延长线于点N,交。。于点M（点M在劣弧AC上）.

（1）是。。的切线吗？请作出你的判断并给出证明;

⑵记△即GAABCMADB的面积分别为H，S»S,若S/S=（S2）2,求（tan£＞）2的值;

11

（3）若。。的半径为1,设=xFEFN--------1-----=--y，试求y关于％的函数解析式，并写出

BCBNAEAC

自变量工的取值范围.

【答案】（1）5。是。。的切线，证明见解析

（2）1±2^

2

（3）y=x（0<%<l）

【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出NACB=90。，从而NC4B+NABC=90。，然后根据

/DBC=NCAB,可以得解；

（2）由题意，据S「S=（S2『得CD（CD+AC）=AC2,再由1皿/£>=萼=1311442。=空，进而进行变形

CDBC

利用方程的思想可以得解;

（3）依据题意，连接OM,分别在RaORW、RMAFE、RMBTW中，找出边之间的关系，进而由

1__1

FE-FN-BCBN+AEAC=y,可以得解.

【详解】（1）解：8。是。。的切线.

证明：如图，在AABC中，AB2=BC2+AC2,

：.ZACB=90°.

又点A,B,C在。。上,

AB是。。的直径.

•/ZACB=90°,

ZCAB+ZABC=90°.

又NDBC=NCAB,

：.ZDBC+ZABC=90°.

?ABD90?.

二3。是。。的切线.

(2)由题意得，S.=-BCCD,S=-BCAC,S=-ADBC.

2222

：S「S=(S2)2,

：.-BCCD-ADBC=(-BCAc].

22(2J

CD»AD=AC2.

：.CD(CD+AC)=AC1.

XVZD+ZDBC=90°,ZABC+ZA=90°,NDBC=ZA,

：.ZD=ZABC.

tanZD==tanZABC=.

CDBC

CD隼

y.CD(CD+AC)=AC2,

4

.BC22

"AC7+BC=AC.

/.BC4+AC2-BC2=AC4.

由题意，TS(tanZ))2=m,

l+tn=m2■

.1土下

••m=-------

2

*.*m>0,

.1+石

••m=------.

2

(tanD)2=",.

(3)设NA=a,

NA+NABC=NABC+ZD5C=NABC+NN=90。,

：.ZA=ZDBC=ZN=a.

如图，连接ON.

'BF=BO+OF=\+11"，AF=OA-OF=l-yll-x1•

l-Jl-V

.•.在RtAAFE中,EF=AFtanor=AE=—

cosacosa

在RtZVIBC中，BC=AB-sina=2sincr.(*.*r=1,AB=2)

AC=ABcosa=2cos。.

2尸二旦

在Rt^BTW中，8N=空1+71-xNJk

sinasinatanatana

11

y=FEFN,BCBN+AEAC

1।1

2+211-炉2-2V1-X2

=x

即尸了.

•.*FM±AB,

・・・FN最大值为尸与。重合时，即为1.

0<A：<1.

综上，y=x(O<x<l).

【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用.

6.(2023・湖南•统考中考真题)我们约定：若关于x的二次函数尤+9与%=//+打工+。2同时满

足)出—《+屹+4)2+卜2—旬=。，4-。;侬中。，则称函数为与函数%互为“美美与共''函数.根据该约定,

解答下列问题：

⑴若关于尤的二次函数％=2苫2+区+3与%=mx2+x+〃互为“美美与共”函数，求左，加，w的值；

(2)对于任意非零实数r,s,点尸(厂，。与点Q(s,。(厂Ws)始终在关于尤的函数％=Y+2rx+s的图像上运动，

函数%与上互为“美美与共”函数.

①求函数内的图像的对称轴;

②函数上的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数%=依2+汝+，与它的“美美与共，，函数上的图像顶点分

别为点4点8,函数为的图像与无轴交于不同两点C,，函数力的图像与x轴交于不同两点£，凡当CO=EF

时，以A,B,C,。为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理

由.

【答案】（1）4的值为-1,m的值为3,”的值为2

⑵①函数V的图像的对称轴为x=-g；②函数内的图像过两个定点（。，1），理由见解析

（3）能构成正方形，此时S>2

【分析】（1）根据题意得到%=c2,bx=*0即可解答；

（2）①求出外的对称轴，得到s=-3r，表示出必的解析式即可求解;②％=-3。2-2/%+1=-（3/+2x）r+l,

令3f+2x=0求解即可；

（3）由题意可知必=加+法+。，为=c/一"得至|JA、5的坐标，表示出CD,EF,根据C£>=£F且

4QC>0,得到|4=卜|,分。=-。和〃两种情况求解即可.

【详解】（1）解：由题意可知：〃2=。2，q=G，a=%wU,

・•tn—3,IT=2,k——1.

答：无的值为-1,根的值为3,〃的值为2.

（2）解：①•・•点尸。与点。（s,始终在关于％的函数%=X2+2仁+5的图像上运动，

丁・对称轴为x----—,

22

s=-3r,

2

y2=sx-2rx+l,

对称轴为》=-—?2F=£F=—1.

2ss3

答：函数上的图像的对称轴为x=-g.

22

@y2=-3rr-2rr+l=-（3x+2x）r+l,令3尤?+2x=0,解得％=0,无2=—1，

.••过定点f-pl'j.

答：函数>2的图像过定点@1）,

2

(3)解：由题意可知%=R(：2+8X+C,y2=cx-bx+a,

.(b4ac-b2(b4ac-b2

：.A\----,---------，B—

I2a4a2c?4c

y/b2-4ac\lb2-4ac

：.CD=EF=

lcl

,/CD=EFS.b2-4ac>0,

l«l=lch

①若〃=-C,则％=加+。%一”2=-〃必-Ox+Q,

要使以A,B,C,。为顶点的四边形能构成正方形,

则ACADACBD为等腰直角三角形，

：.CD=2\yA\,

.yjb2+4a2_.-4a2-b1.

・・-------------=2--------------,

\a\4。

2\Jb2+4a2=b2+4a2

"2+4/=4,

222

.c1「八21b-4ac1b+4a2

・,3正一~CD——2_72__~2，

22a2aa

：户=4一4/>0,...o/vi,，”>2；

②若a=c,则43关于y轴对称，以A,B,C,。为顶点的四边形不能构成正方形，

综上，以A,B,C,。为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思

想解决问题.

7.（2023•江苏无锡・统考中考真题）如图，四边形是边长为4的菱形，NA=60。，点。为C。的中点，

P为线段上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q.

(1)当NQPB=45。时，求四边形3H