江苏省无锡市江阴市周庄中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

第页2023-2024学年第一学期初三数学限时作业一、选择题（共30分）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2.方程的解是（）A.2 B.，1C. D.2，1【答案】D【解析】【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，由左边提取公因式，得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】解：∵∴即∴或或∴方程的解是2，1．故选D．3.已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝55°，∠B1＝95°，则∠C等于（）A.30° B.55° C.95° D.40°【答案】A【解析】【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠B=∠B1＝95°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-95°=30°．故选A．4.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是A.m＜﹣4 B.m＞﹣4 C.m＜4 D.m＞4【答案】D【解析】【详解】试题分析：由方程没有实数根，得到根判别式的值小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围：∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m＜0，∴m＞4．故选D．5.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质将转化为，进而求解即可，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】∵∴∴∴．故选：C．6.在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式可知弧长．【详解】解：l=.故选B．7.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A.20% B.25% C.50% D.62.5%【答案】C【解析】【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），答即该店销售额平均每月的增长率为50%；故选C．8.在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是()A.r>4 B.0<r<6 C.4≤r<6 D.4<r<6【答案】D【解析】【分析】根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=-1，进而可确定该圆与直线y=-1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，进一步即可求出答案【详解】解：根据题意可知：到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=-1，若以点（3，-5）为圆心，r为半径圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，那么该圆与直线y=-1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，所以r的取值范围是|-5|-|-1|＜r＜|-5|+1，即4＜r＜6．故选D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．9.如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连接，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，由圆周角定理得：，∵与、分别相切于点、，∴，∴，，，，，，，，，，故选：A．10.如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（）A.9 B.4.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，在直角△MON中，，∴，∴当PM最大时，OP最大，又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，所以OP的最大值是：.故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.二、填空题（共24分）11.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是_____千米．【答案】【解析】【分析】根据地图上距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．【详解】解：设A、B两地的实际距离为则：解得千米A、B两地的实际距离为千米故答案为：【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题关键．12.关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0的一个根是x＝﹣1，则k的值是_____．【答案】1【解析】【分析】把x＝−1代入方程2x2＋x−k＝0得2−1−k＝0，然后解关于k的方程即可．【详解】解：把x＝﹣1代入方程2x2+x﹣k＝0得2﹣1﹣k＝0，解得k＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13.在中，，，，则的值为___________【答案】##【解析】【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可．【详解】如图∵中，，，，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．14.已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可．【详解】解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为，它的面积为．故答案为：．15.如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为___________【答案】24㎝【解析】【分析】过O点作OC⊥AB于C，连OA，根据垂线段最短得到OC=5cm，根据垂径定理得到AC=BC，再利用勾股定理计算出AC，即可得到AB．【详解】过O点作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴OC=5cm，AC=BC，在Rt△OAC中，OA=13cm，∴AC=（cm），∴AB=2AC=24cm．故答案为24cm．16.如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的面积之比是_______．【答案】【解析】【分析】根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，∴与的面积之比是，故答案为：．【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．17.如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，连接，由勾股定理先求出的长，再利用，得出，可解得的长，由求解即可得出答案．解答此题的关键是掌握相似三角形的判定和性质定理，得出．【详解】解：连接，如图所示，为的直径，，，弦平分，∴，，又∵，，，即，解得，，故答案为：．18.定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______；如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”；如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由,由勾股定理可得即可解答．【详解】解：如图①，延长交于点H，∵四边形与四边形都为正方形，∴．∴．∴．∴．∵，∴，即，∴．∴．又∵，∴四边形是“等垂四边形”；如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接∴∴．∴∴,∴．延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，则，∴故答案为：，．【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．三、解答题19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值运算以及特殊三角函数值的运算，解答本题的关键在于熟练掌握相应的运算法则即可求解．【小问1详解】解：原式．【小问2详解】原式．20.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法，（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．【小问1详解】∴解得，；【小问2详解】∴∴或解得，．21.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【答案】（1）m＜1；（2）0【解析】【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．【详解】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1，即实数m的取值范围是m＜1；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，即，解得：x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=2×0=0．【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．22.如图，正方形的外接圆为，点在劣弧上（不与点重合）．（1）求的度数；（2）若的半径为，求正方形的边长．【答案】（1）45°；（2）．【解析】【分析】（1）先连接OB、OC,根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，得到就可得到答案；（2）从点O向BC边作垂线OE将BC平分,利用勾股定理求出BE即可得到BC.【详解】解：（1）连接，，∵四边形为正方形，∴，∴；（2）过点作于点，∵，，∴，∴，∵，∴∴．【点睛】此题考查圆周角的性质及垂径定理，（2）中垂径定理在运用时与勾股定理同时运用，注意构建对应的直角三角形23.某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒，已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？【答案】（1）（2）盒【解析】【分析】（1）根据题意列y与x之间的函数关系式即可；（2）根据题意列方程求解即可；【小问1详解】解：根据题意得，．【小问2详解】根据题意得，，解得：（舍去），∴（盒），∴该网店这星期销售该款口罩盒．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、一次函数解析式，正确列出方程是解题的关键．24.如图，在中，．（1）在图1中求作，使经过B、C两点，且与直线、相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）已知，则的半径为______．（如需画草图，请使用图2）【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）分别以B、C为圆心，以适当半径作弧，交直线与M、N，直线于E、F，分别作、的垂直平分线交点O，以点O为圆心，为半径作即可；（2）先根据切线的性质得到，再根据证出是等边三角形，即可得解.【小问1详解】解：如图所示，；【小问2详解】解：∵是圆O的切线，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，切线的性质；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．25.如图，在中，，以上一点O为圆心，的长为半径作，交分别于，两点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）添加辅助线，通过证补角为来证明为直角（2）通过证明，得到对应线段成比例，从而得出对应边的长度．【小问1详解】如图，连接，∴，又且，∴，∴，∴是⊙O的切线；【小问2详解】∵，，∴，∴，∴，∴∴．【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握判定方法是关键．26.如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝.求：（1）△ABC的面积；（2）sin∠ACD的值．【答案】（1）6；（2）【解析】【分析】（1）作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ACH中，利用正切的定义得到tan∠ACE==3，则设CH=x，AH=3x，根据勾股定理得AC=x，利用x=，解得x=1，再在Rt△ABH中，利用∠B=45°得到BH=AH=3，然后根据三角形面积公式求解；（2）作DF⊥BC于F，作DE⊥AC于E，如图，由于CD是AB边上的中线，根据三角形面积公式得到S△ACD=S△ABC=6，再证明DF为△ABH的中位线，则DF=AH=，易得BF=DF=，接着根据勾股定理计算出CD=，然后利用锐角三角函数得出sin∠ACD的值．【详解】如图，作AH⊥BC于H，在Rt△ACH中，∵tan∠ACB=3，AC=，设CH=x，AH=3x，根据勾股定理得AC=x，∴CH=1，AH=3，在Rt△ABH中，∠B=45°，∴BH=AH=3，∴S△ABC=×4×3=6；（2）作DF⊥BC于F，作DE垂直AC于E∵S△ACD=××DE=3，∴DE=，∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，∴DF=AH=，∴BF=DF=，在Rt△CDF中，CD=，∴在Rt△CDE中，sin∠ACD=．考点：1．勾股定理；2．解直角三角形．27.如图，矩形中，是边上一点，将沿直线对折，得到．（1）当平分时，求的长；（2）连接，当时，求的面积：（3）当射线交线段于点时，则的最大值为______．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由折叠可知：，由平分，得到，进一步有．由四边形是矩形，得到，由得到的长；（2）如图1，延长交延长线于点Q，由四边形是矩形，得到．由折叠可知：，得到，故．设，则．在中，由，得到．故，由，即可得到结论；（3）如图2，过点A作于点H，则，故，由，，故当点N、H重合（即）时，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3），而，故可求出的最大值．【小问1详解】解：由折叠可知：，∴，∵平分，，，∵四边形是矩形，，，；【小问2详解】解：如图1，延长交延长线于点Q，∵四边形是矩形，，，由折叠可知：，，，，设，则．在中，，∴，解得：，，，∴．【小问3详解】解：如图2，过点A作于点H，四边形是矩形，，，，，，，∴，，，∴当点N、H重合（即）时，最大，最小，最小，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3），由折叠性质得：，，，在和中，，，∴，的最大值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了