江苏省南京市江宁区东山外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

第页2024-2025学年江苏省南京市江宁区东山外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可．【详解】解：A、未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；B、只有当时，才是一元二次方程，不符合题意；C、是一元二次方程，符合题意；D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：C．2.关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（）A.−3或1 B.1 C.−3 D.【答案】B【解析】【分析】把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴+2k-3=0，且k+3≠0,∴k=1或k=-3,且k+3≠0,∴k=1,故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键．3.某服装店一月份营业额为万元，一季度的营业额共万元，若平均每月营业额的增长率为，则根据题意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出方程．【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：，第三个月的营业额为：则由题意列方程为：故选D．【点睛】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．4.如图，∠C＝15°，且，则∠E的度数为（）A.30° B.35° C.40° D.45°【答案】C【解析】【分析】连接OA、OB、OC和OD，根据圆心角定理求出∠AOD的度数，又知，即可求出∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，进而求出∠BAC＝55°，再根据∠BAC＝∠C+∠E，即可求出∠E的度数．【详解】连接OA、OB、OC和OD，∵∠C＝15°，∴∠AOD＝30°∵，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，∴∠BAC＝∠BOC＝55°，∵∠BAC＝∠C+∠E，∴∠E＝40°．故选：C．【点睛】本题主要按考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系的知识点，解答本题的关键是求出∠BAC的度数，本题比较简单．5.如图，在中，直径与弦相交于点M，F为中点．若，，则的半径长为（）A.4 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，设的半径长为，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，连接，F为中点，为直径，，，设的半径长为，则，在中，则，解得，故选：C．【点睛】本题考查了圆的对称性、垂径定理、勾股定理等知，根据勾股定理列方程是解题关键．6.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（）A. B.当时，C.当时， D.当时，【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用图象判断即可．【详解】解：如图，当时，当时，；A、，本选项不符合题意；B、当时，，本选项不符合题意；C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意；D、当时，，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题7.方程的解是____________．【答案】【解析】【分析】把方程两边开方得到即可求解．【详解】解：，开方得：，故答案为：．【点睛】本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解．8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】利用平方的非负性即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式是解题的关键．9.已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是___________．【答案】点M在⊙O外【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∵点M到圆心O的距离为4，∴4＞3，∴点M⊙O外．故答案为点M在⊙O外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．10.一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为______cm2．【答案】【解析】【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积=也可以．【详解】解：设扇形圆心角度数为，则，解得，扇形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．11.如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=_____°．【答案】67.5【解析】【详解】试题分析：∵图中是正八边形，∴各内角度数和=（8﹣2）×180°=1080°，∴∠HAB=1080°÷8=135°，∴∠BAE=135°÷2=67.5°．故答案为67.5．考点：多边形的内角12.若实数a、b满足，则_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．将看作一个整体，然后用换元法解方程即可．【详解】解：设，则有：，解得，；，故．故答案为：2．13.如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________．【答案】##40度【解析】【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而得到，即可求解．【详解】解：∵C是弧的中点，∴弧弧，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．14.如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______度．【答案】125【解析】【分析】先由已知求得的大小，进而由圆的内接四边形的性质可直接求得答案．【详解】解：∵AB是半圆O的直径∴∵∠ABD＝35°∴∴故答案为：125．【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．15.已知半径为10的⊙O中，弦，弦AC=10，则∠BAC的度数是为________【答案】15°或105°【解析】【分析】根据点O与∠BAC的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理的逆定理和等边三角形的性质分别求出∠OAB和∠OAC，即可求出∠BAC的度数．【详解】解：若点O在∠BAC的内部，如下图所示，连接OB、OA和OC∴OA=OB=OC=10∵弦，弦AC=10，∴OB2＋OA2=200=AB2，OA=AC=OC∴△OAB为等腰直角三角形，△OAC为等边三角形∴∠OAB=45°，∠OAC=60°∴∠BAC=∠OAB＋∠OAC=105°；若点O不在∠BAC的内部，如下图所示，连接OB、OA和OC∴OA=OB=OC=10∵弦，弦AC=10，∴OB2＋OA2=200=AB2，OA=AC=OC∴△OAB为等腰直角三角形，△OAC为等边三角形∴∠OAB=45°，∠OAC=60°∴∠BAC=∠OAC－∠OAB=15°；综上所述：∠BAC=15°或105°故答案为：15°或105°．【点睛】此题考查的是圆的基本性质、等边三角形的判定及性质和直角三角形的判定，掌握同圆的半径相等、等边三角形的判定及性质和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键．16.如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为_____．【答案】1【解析】【分析】由，得出，可知点D应在以为弦的，为的圆的弧上，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，根据两点之间线段最短，当在一条直线上时最短，证明是直角三角形，从而得出，，即可得出答案．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴点D应在以为弦的，为的圆的弧上，设圆弧所在圆的圆心为，如图，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴由勾股定理得，根据两点之间线段最短，当在一条直线上时，AD最短，∵∴∴是直角三角形，∵，∴∵∴的最小值为1故答案为：1．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确找到的最小值是解题的关键．三、解答题17.解方程：（1）（2）【答案】（1），，（2），，【解析】【分析】本题主要解一元二次方程：（1）二次系数为1，一次项系数为偶数，利用配方法解方程容易；（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，即可解方程．【小问1详解】解：，，∴，∴，，【小问2详解】，，∴，∴，，18.已知关于x的方程．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为整数，求m的值．【答案】（1）证明见详解；（2）或1．【解析】【分析】（1）先求判别式，再证明即得证；（2）根据一元二次方程根据与系数关系，得，再根据为整数，求出的值，进而求出的值即可．【小问1详解】解：根据题意，可知：，，无论m取何值，恒成立，无论m取何值，恒成立，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：方程的两个不相等的实数根，均为整数，或，或，或，的值为或1．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握运用根的判别式判别根据的情况，运用根与系数的关系是解答此题的关键．19.如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？【答案】，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明，由此得到．【详解】解：相等，理由如下：∵，∴，∴，即∴，20.如图，是的弦，，，垂足分别为M、N，且．（1）与相等吗？为什么？（2）判断与是否相等，并说明理由．【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到，再由可证明，由此可得；（2）如图所示，连接，证明得到，同理得到，由此即可得到结论．【小问1详解】解：，理由如下：∵，，∴，∵，∴，即，∴；【小问2详解】解：，理由如下：如图所示，连接，在和中，，∴，∴，同理可证，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的基本形状，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．21.如图，直角坐标系中，有一条圆心角为的圆弧，且该圆弧经过网格点，，．（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为__________．（2）求扇形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．【小问1详解】解：如图，由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，由网格可得该点M(-2，0)，故答案为：M(-2，0)；【小问2详解】解：扇形的半径，∵AM2=22+42=20，CM2=22+42=20，AC2=22+62=40，∴AM2+CM2=AC2，∴∠AMC=90°，∴．【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标，求出扇形所在圆的半径和相应圆心角度数是求扇形面积的前提．22.超市以每件10元的价格购进了一批玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个．经调查发现，玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润为1400元？【答案】定价为16元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．分降价和涨价两种情形，分别设每件降价元和涨价元，建立方程，解方程即可．【详解】解：由题意，需分降价和涨价两种情形：（1）在降价的情况下，设每件降价元，则解得：，则定价为元，故当定价为16元时，利润为1440元，（2）在涨价的情况下，设每件涨价元，则整理得：，此时，方程无实数根，综上，当定价为16元时，利润为1440元．答：当定价为16元时，利润为1440元．23.如图，在平行四边形中，是上一点，延长到点，使．（1）若，______；（2）用直尺和圆规在上作出一点，使（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）（2）作外接圆与交于点．【解析】【分析】本题考查了作图—基本作图、平行四边形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行四边形的性质可得，可得，再根据，，可得，即可得解；（2）作外接圆与交于点，点即为所求．【小问1详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，故答案为：；【小问2详解】解：如图：点即为所作，由圆周角定理可得：，由（1）可得，．24.如果关于x一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．根据上述定义，判断方程______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值；若关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．【答案】（1）是；（2）或；（3）t的最大值为16【解析】【分析】（1）利用公式法解出一元二次方程的两个根，在判断两个根的差是否为“1”，从而确定是否为“邻根方程”；

（2）利用因式分解解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可解出，注意两种情况．

（3）利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可列出a与b的关系式，再由t=12a−b2可列出t与a的关系式，改为顶点式即可求出最大值．【详解】解：（1），解得，∴是“邻根方程”；解方程得：，或，方程是常数是“邻根方程”，或，或；解方程得，关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，，，，，，时，t的最大值为16．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，二次函数的最值问题．正确理解“邻根方程”的定义是解题的关键．25.如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）连接，先证出，再证明即可；（2）由平行线分线段成比例定理可求，由直角三角形斜边中线的性质可求，由勾股定理求出的长，然后证明即可求解．【小问1详解】解：连接，∵是斜边上的中线，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，又是的半径，∴是切线．【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，∵是斜边上的中线．∴，∴，在中，，∵，∴，∴又∵，∴∴，∴，∴．26.关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：变形504316227回答下列问题：（1）表格中t的值为______；（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；（3）记的两个变形为和，则的值______．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键．（1）把展开得到，据此得到，解方程即可得到答案；（2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案；（3）由（2）的结论可得：，，从而得到，代入进行计算即可得到答案．【小问1详解】解：∵，∴，∴，又∵是变形得到的，∴，∴，故答案为：；【小问2详解】解：，，，，为一次项系数的相