湖北省鄂州市花湖实验学校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷VIP

2024-2025学年湖北省鄂州市花湖实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.关于x的一元二次方程，方程的根的情况是(

)A.没有实数根 B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根2.已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值等于(

)A.2020 B.2021 C.2022 D.20233.已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是(

)A. B. C. D.4.如图，的半径为1，AB是的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为(

)A.

B.

C.或

D.或5.如图，BD为的直径，，则的度数为(

)A.

B.

C.

D.6.若，是方程的两个根，则实数，，a，b的大小关系为(

)A. B. C. D.7.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为(

)A. B. C. D.8.如图，四边形ABDC中，是由绕顶点C旋转所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则(

)A.

B.

C.

D.9.在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为，此函数图象与x轴交于P、Q两点，且若此函致图象经过，，，四点，则实数a，b，c，d中为正数的是(

)A.a B.b C.c D.d10.已知抛物线与x轴交于、两点，且，与y轴交于，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______.12.如果关于x的方程为常数有两个相等实数根，那么______.13.已知、是方程的两根，则的值为______.14.如图，半圆O的直径AB为15，弦BC为9，弦BD平分，则BD的长是______.

15.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”.例如：如图1，已知点，，在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”.如图2，x轴上方有一等边三角形ABC，轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，则等边三角形ABC的边长为______.三、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题6分

用适当的方法解方程：

；

17.本小题7分

已知关于x的一元二次方程

Ⅰ求证：方程有两个不相等的实数根；

Ⅱ若的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当是等腰三角形时，求的周长．18.本小题8分

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上.

将绕点F顺时针旋转得到，画出

若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______.19.本小题9分

如图，在四边形ABCD中，，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN，使得MN平分

求证：四边形ANCM为菱形；

当四边形ABCD是矩形时，若，，求DM的长.20.本小题10分

某公司生产中考专用跳绳，每条需要成本50元，销售单价不低于62元，且不高于80元．根据市场调研，当每条定价为70元时，日均销量为1100条，销售单价每提高1元，则日均销售量减少50条．

求出该跳绳的日均销量y与销售单价x之间的函数关系式；

当跳绳的单价定为多少元时，公司所获的总利润最大？最大利润为多少元？

公司决定每销售一条跳绳，就捐赠n元给农村留守儿童基金会．捐款后，公司的日销售利润最少为13500元，求n的值．21.本小题9分

已知为等边三角形，点P为直线l上一动点不与点A重合，直线l，连CP，将线段CP绕点C按逆时针方向旋转得到线段

如图1，求证：≌

如图2，当时，连接PB，试判断BP与CQ的位置关系，并说明理由.22.本小题9分

跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分如图中实线部分所示，落地点在着陆坡如图中虚线部分所示上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为

若时，运动员落地点要超过K点，求b的取值范围为多少？

若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.23.本小题12分

已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点

求抛物线解析式；

如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点D，求线段PD长的最大值；

如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：，

，

方程没有实数根，

故选：

先求出，判断的正负，即可得出选项．

本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．2.【答案】B

【解析】解：由题意可知：，

由根与系数的关系可知：，

则原式

故选：

根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．

本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．3.【答案】C

【解析】解：，抛物线开口向上，对称轴，

当时，y随x的增大而减小．

故选

，抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围．

抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断．4.【答案】D

【解析】解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线；

在中，，；

，；

；

四边形ADBE是的内接四边形，

；

因此弦AB所对的圆周角有两个：或；

故选

连接OA、OB，过O作AB的垂线，通过解直角三角形，易得出的度数；由于弦AB所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧；所以弦AB所对的圆周角也有两个，因此要分类求解．

本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质；注意：弦AB所对圆周角有两个，不要漏解．5.【答案】C

【解析】【分析】

本题利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由BD为的直径，可证，又由圆周角定理知，，即可求

【解答】

解：为的直径，

，

，

故选6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，结合图象得出答案是解决问题的关键.

因为和为方程的两根，所以满足方程，再由已知条件、结合图象，可得到，，a，b的大小关系.

【解答】解：画出二次函数的图象与直线，如图所示，两图象的交点的横坐标就是方程的两个根，即，，

而a，b是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，

结合图象知

故选7.【答案】B

【解析】解：将化为顶点式，得

将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，

故选：

根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．

本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．由旋转的性质可知，，，在中，由内角和定理求，根据外角定理可求

【解答】解：在中，，，

为等腰三角形，

，

为的外角，

，而与为对应角，

，

，

故选9.【答案】D

【解析】解：二次函数图象的顶点坐标为，此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且，

该函数图象开口向上，对称轴为直线，与x轴的交点坐标为，，

已知图形通过、、三点，

如图，

由图形可知：，，

故选：

根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．

本替考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.【答案】B

【解析】解：如图：，，并且图象与y轴相交于点，

可知该抛物线开口向下即，，

①当时，，即；

，

，

，

故①错误；

②当时，，

，

，

，

故②错误；

③，，

，

又，

，

，

故③正确；

④，，

又，

故④正确．

故选：

由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．11.【答案】

【解析】解：对于一元二次方程，

设，

所以，

而关于x的一元二次方程有一根为，

所以有一个根为，

则，

解得，

所以必有一根为

故答案为：

对于一元二次方程，设，则，利用有一个根为，所以，从而可判断一元二次方程必有一根为

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】1

【解析】【分析】

本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．

本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．

【解答】

解：的方程为常数有两个相等实数根

故答案为：113.【答案】10

【解析】解：根据题意得，，

，

故答案为：

根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，进行计算即可．

本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：如图，连接AD、AC、OD，AC与OD相交于H点，

，

为直径，

，

在中，，

弦BD平分，

，

，

，

，

，

，

在中，，

在中，，

故答案为：

连接AD、AC、OD，AC与OD相交于H点，根据圆周角定理得到，利用勾股定理计算出，再利用垂径定理得出，则，，，再利用勾股定理计算出AD，再计算出BD即可．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾股定理．15.【答案】2

【解析】解：当P到x轴的距离最小时，

点P在线段BC上，

设的边长为a，以C为圆心a为半径作圆，当与x轴相切时，如图所示，切点为H，此时点P是直线EF：x轴的“伴随点”．且点P到x轴的距离最小，

则C的纵坐标为a，即，

是等边三角形，且轴，设BC交于点D，则，

，

，

，

，

解得：或舍去，

等边三角形ABC的边长为2；

故答案为：

当P到x轴的距离最小时，点P在线段BC上，设的边长为a，以C为圆心a为半径作圆，当与x轴相切时，如图所示，切点为H，此时点P是直线EF：x轴的“伴随点”．且点P到x轴的距离最小，则C的纵坐标为a，即，是等边三角形，且轴，设BC交于点D，则，得出，根据即可求解．

本题考查了坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键．16.【答案】解：原方程变形为：，

，

或，

，

，

，

，

，

，

或；

解得：，

【解析】先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可；

先计算，然后再移项，最后根据十字相乘法解方程，即可．

本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法十字相乘法、因式分解法．17.【答案】Ⅰ证明：，

，

无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

Ⅱ﹚解：是等腰三角形；

当时，，

，

解得k不存在；

当或时，则方程的一个根为5，代入方程可得：

，

整理得：，

解得或4，

当时，原方程为，解得：或，

等腰三角形的底边长为4，

此时，等腰三角形的周长为；

当时，原方程为，解得：或，

等腰三角形的底边长为6，

此时，等腰三角形的周长为，

的周长为14或

【解析】【试题解析】

本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解法．

要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明，而，所以；

根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①，②，③；后两种情况可放在一起分析.18.【答案】

【解析】解：如图所示，即为所求．

如图所示，点P即为所求，其坐标为

分别作出点D、E绕绕点F顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可；

根据旋转变换的性质可确定旋转中心．

本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．19.【答案】证明：，O为对角线AC的中点，，

，，

在和中，

，

≌，

，

，

四边形ANCM为平行四边形；

平分，

，

，

，

，

，

平行四边形ANCM为菱形；

解：四边形ABCD是矩形，

，，

，

，

在中，根据勾股定理得：，

，

解得

故DM的长为

【解析】根据全等三角形的性质得到，可得平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形ANCM为菱形；

根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到即可得到结论．

本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌20.【答案】解：根据题意得，，

即日均销量y与销售单价x之间的函数关系式为；

设跳绳的单价定为x元时，公司所获的利润为w元，

根据题意得，，

，

当跳绳的单价定为71元时，公司所获的总利润最大，最大利润为22050元；

根据题意可得，利润，

的对称轴为直线，

且，

当时，最小，即，

解得

综上，n的值为

【解析】根据“销售单价每提高1元，则日均销售量减少50条”可得出y与x的关系；

设跳绳的单价定为x元时，公司所获的利润为w元，根据“日利润=单件利润日销量”可得出w与x之间的关系；再根据二次函数的性质可得出结论；

利润，结合二次函数的性质可得出当时，利润最小，列出关于n的方程，解之即可．

本题考查一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．21.【答案】证明：将线段CP绕点C按逆时针方向旋转得到线段CQ，

，，

是等边三角形，

，，

，

在和中，

，

≌；

解：且平分理由如下：

延长PB交CQ于点D，如图，

由知：≌，

，

，是等边三角形，

，

点B在CQ的垂直平分线上，

线段CP绕点C按逆时针方向旋转得到线段CQ，

，，

是等边三角形，

，

点P在CQ的垂直平分线上，

在CQ的垂直平分线上，

且平分

【解析】根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，利用SAS即可得证；

延长PB交CQ于点D，连接PQ，证明点B在CQ的垂直平分线上、点P在CQ的垂直平分线上，则PB在CQ的垂直平分线上，即可得出结论．

本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．22.【答案】解：，

，

运动员落地点要超过K点，

当时，，

即，

解得；

他的落地点能超过K点，理由如下：

运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，

抛物线的顶点为，

设抛物线解析式为，

把代入得：

，

解得，

抛物线解析式为，