2025高考数学专项复习：圆锥曲线中的极点极线问题（拓展）含答案

圆锥曲线中的极点极线问题(拓展)2025

高考数学专项复习

何键曲线中的极点极线问题

考情探究

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】L理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义

2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强

化训练复习

知识讲解

1.极点极线的定义

设P是不在圆雉曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接

EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上

的点，则过P点的切线即为极线.

同理，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将LMNP称为自极三点形.

设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.

2.其他定义

对于圆锥曲线C-.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,已知点P(g,%)(非中心)及直线

l：Axox+B•侬守竺+3昭+。•告也+E•驾幺+尸=0,则称点P(g,%)是直线I关于圆

锥曲线C的极点，直线Z称为点P关于圆锥曲线C的极线。

配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共点。

3.替换原则

2xGy+yox2x+x0y+y。

XQX^X,--^-xy-,-y--y^y,

Q22

4.极点极线的几何意义（以桶圆为例）

22

已知椭圆方程：+与■=1,设点P（力0,洗）的极线I:——卜=1.

abab

（1）当点P（*o，Uo）在椭圆上时，极线I是以点P为切点的切线。（极点在极线上）

（2）当点P在椭圆外时，极线I与椭圆相交，且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。

（3）当点P在椭圆内时，极线I与椭圆相离，极线I为经过点P的弦在两端点处的切线交点的

轨迹，且极线I与以点P为中点的弦所在的直线平行。

特别地：

⑴对于椭圆与点「（&,%）对应的极线方程为否+邛=上

abab

（2）对于双曲线（一y=1,与点P（g,%）对应的极线方程为当一整=1;

dbzazbz

（3）对于抛物线y2=2px,与点P®,yo）对应的极线方程为yGy=p（xo+x）

考点一、极点极线初步学习

1.（2024.全国.一模）如图，已知椭圆r的短轴长为4,焦点与双曲线二一4=1的焦点重合.点

4——tt

P（4,0）,斜率为玄的直线。与椭圆「交于"两点.

必

⑴求常数t的取值范围,并求椭圆r的方程.

（2）（本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答）

极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式

22

阐述的.对于椭圆「3+号=1,极点P（g,%）（不是原点）对应的极线为小羊+粤=1,且若极点

aba-b

P在2轴上,则过点P作椭圆的割线交r于点，则对于lP上任意一点Q,均有kQAi+kQB=2kpQ

（当斜率均存在时）.已知点Q是直线。上的一点，且点Q的横坐标为2.连接尸Q交"轴于点E.连接

PA,分别交椭圆『于N两点.

①设直线分别交"轴于点。、点T,证明：点E为。、T的中点；

②证明直线：AW恒过定点,并求出定点的坐标.

2.（22-23高二上・贵州贵阳•期末）阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：4c2++2坳+F=0,则称点P（x0,队）和

直线I：Axox+Cyoy+。（尤+g）+E（y+yJ+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆

锥曲线方程中，以xox替换疗，以也要替换M另一变量y也是如止匕），即可得到点P（g,y0）对应的极

线方程.特别地,对于椭圆名■+¥=1,与点p（xo,y。）对应的极线方程为华+颦=1；对于双曲线

ab2ab2

22

%=1,与点P（&,%）对应的极线方程为苦—萼=1;对于抛物线娟=2pc,与点P（g，y°）

b-bab~

对应的极线方程为"四=P（g+x）.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时,其极线2是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时，其极线,是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

③当P在G内时,其极线Z是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

（1）已知椭圆C：[+W=l（a>b>0）经过点P（4,0），离心率是艰,求椭圆C的方程并写出与点

ab2

P对应的极线方程；

（2）已知Q是直线2：y=-j-x+4上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆。引两条切线，切点分别为

N,是否存在定点T恒在直线上,若存在，当说=加时,求直线MN的方程；若不存在,请说明

理由.

3.（23—24高二下.广东深圳•期中）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：+

+2Dx+2坳+尸=0,则称点P（%o，g（））和直线Z：Axox+CyoyD（X+XQ）+石（g+班）+尸=0是圆锥

曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以xox替换/，以骂士替换刀；以yoy替换

「，以lk+y替换"，即可得到pQo,%）对应的极线方程.特别地，对于椭圆4+4=1，与点P（g,%）

22

2ab

对应的极线方程为管+粤=1；对于双曲线与-5=1,与点P（g,队）对应的极线方程为移-

a2b2bba2

颦=1;对于抛物线才=2的与点P（g,%）对应的极线方程为=2（g+/）.即对于确定的圆锥曲

b

线,每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质、定理:①当P在圆锥曲线G上

时，其极线Z是曲线G在点P处的切线;②当P在G外时，其极线Z是从点P向曲线G所引两条切线

的切点所在的直线（即切点弦所在直线）;③当P在G内时,其极线Z是曲线G过点P的割线两端点处

的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆G：4+!=1.

42

（1）点P是直线I：y=-yx+2上的一个动点,过点P向椭圆G引两条切线,切点分别为河，N,是否

存在定点T恒在直线上,若存在，当而=前时,求直线MN的方程;若不存在,请说明理由.

（2）点P在圆/+才=4上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为4B,求APAB面积的最大值.

4.（2024.湖南长沙.三模）已知椭圆。：4+肉=1（电>瓦>0）的左、右焦点分别为E、耳，口为上顶点，离

心率为q,直线颂与圆4/+4/—3=0相切.

（1）求椭圆C的标准方程；

22

（2）椭圆方程「:4+4=l（a>b>0）,平面上有一点P（g，u。）.定义直线方程Z：笔+萼=1是椭

abab

圆「在点P（g,队）处的极线.

①若P（g,%）在椭圆。上,证明：椭圆。在点P处的极线就是过点P的切线；

②若过点P（—4,0）分别作椭圆。的两条切线和一条割线,切点为X、V,割线交椭圆C于M、N两

点，过点河、N分别作椭圆。的两条切线，且相交于点Q.证明：Q、X、Y三点共线.

考点二、极点极线在圆锥曲线中的应用

1.(2022•全国•统考高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为力轴、"轴，且过人(0,—2),

—1)两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点P(l,-2)的直线交E于M,N两点，过又且平行于力轴的直线与线段AB交于点T,点、H

满足而=祖.证明：直线过定点.

2.(北京・高考真题)已知椭圆C：W+*=l(a>6>0)的离心率为W，点P(0,l)和点

ab2

>l(m,n)(m#0)

都在椭圆。上，直线四交比轴于点河.

(I)求椭圆。的方程,并求点M的坐标(用m,九表示)；

(II)设O为原点，点B与点A关于刀轴对称，直线尸8交多轴于点N.问：y轴上是否存在点Q,使得

NOQM=NONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

2

3.（全国•高考真题）设椭圆C:~+/=1的右焦点为F,过尸的直线。I与C交于人,口两点，点M的坐

标为（2,0）.

（1）当。Z与立轴垂直时，求直线4/的方程；

⑵设。为坐标原点，证明：=

2

4.（全国•统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：%+娟=l（a>1）的左、右顶点，3为E的上顶点，

a

AG-GB=8,P为直线比=6上的动点，R1与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

5.（24-25高三上•北京・开学考试）已知椭圆1=l（a〉b〉0）的离心率为］,左、右顶点分别

为4、8,左、右焦点分别为用、耳过右焦点区的直线2交椭圆于点河、N,且△理MV的周长为16.

⑴求椭圆。的标准方程;

⑵记直线AM.BN的斜率分别为小加证明：!为定值.

6.（2023•辽宁•二模）已知椭圆T:捻+%=1的离心率为乎，直线l:x-2y=0,左焦点尸到直线I的距

离为1口.

5

（1）求椭圆T的标准方程；

（2）直线l-.x-2y=0与椭圆T相交于A,B两点.C,D是椭圆T上异于A,B的任意两点，且直线

AC,8c,的斜率都存在.直线47,8。相交于点河,直线人。，6。相交于点".设直线

AC,的斜率为区，就.

①求自的值；

②求直线AW的斜率.

7.(2023・湖北•三模)已知区(—1,0),玛(1,0)分别为椭圆C：g+4=l(a>b>0)的左、右焦点，点

ab

人(1,彳)是椭圆C上一点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设Q(g,为)是椭圆。上且处于第一象限的动点，直线QE、QE与椭圆。分别相交于监、此两点,

直线MiB、，相父于点N,试求S△%可鸟—SM\NFI的最大值.

8.(23-24高三上•湖南长沙•阶段练习)已知椭圆C:—+g=l(a>6>0)过(l,y)和小，平)两点.

(1)求椭圆。的方程;

(2)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为A,B,当动点“在定直线x=4上运动时，直线4W,BM分

别交椭圆于两点P和Q.

⑴证明：点口在以PQ为直径的圆内;

⑻求四边形APBQ面积的最大值.

2

9.（24-25高三上•上海嘉定•阶段练习）如图，椭圆C：号+/=1的左右焦点分别为E、月，设P（g,%）

是第一象限内椭圆。上的一点，P&PF,的延长线分别交椭圆C于点Qi①,%），统）

⑴若PEL4轴，求△及PE的面积;

（2）若丽=4幅,求点P的坐标；

（3）求%-%的最小值.

能力提升

1.（23—24高二上•山东日照•期中）已知椭圆。:与+*=l（a>b>0）的左、右焦点分别为百，鸟，上、下

cTb一

顶点分别为A，4,且四边形AE4鸟是面积为8的正方形.

（1）求C的标准方程；

（2）M,N为。上且在多轴上方的两点，儿阴〃N微儿圾与N片的交点为P,试问\PF,\+庐月是否为定

值？若是,求出该定值;若不是，请说明理由.

•M

2.(23-24高二上•湖北武汉•期中)如图所示，椭圆E£+4=l(a>b>0)的上顶点和右顶点分别是

ab

4(0,1)和离心率e=乎，是椭圆上的两个动点，且CD〃AB.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求四边形面积的最大值；

(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值;若不是，请说明理由.

3.(2024•云南•模拟预测)抛物线r：y2=2PMp>0)的图象经过点河(1,—2),焦点为过点F且倾斜角

为。的直线，与抛物线「交于点4,8,如图.

(1)求抛物线:T的标准方程；

⑵当昨看时，求弦的长;

(3)已知点P(2,0),直线AP,BP分别与抛物线「交于点C,0.证明:直线①过定点.

①22

4.(23-24高二下•四川成都•期末)已知椭圆E%+1y多=l(a>b>0)的左、右焦点别为E，鸟,离心率

(16

为好，过点E的动直线力交后于人，8两点，点人在立轴上方，且Z不与①轴垂直，△人四的周长为

泵攵，直线A片与E交于另一点C,直线8不与E交于另一点。，点P为椭圆E的下顶点,如图.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

5.(24-25高三上•辽宁鞍山•开学考试)已知椭圆。:三+%=l(a>b>0),右焦点为F(2,0)且离心率

ab

为差，直线Z：T=6,椭圆。的左右顶点分别为4、4,P为z上任意一点，且不在比轴上，241与椭圆c

O

的另一个交点为双,弘2与椭圆。的另一个交点为N.

(1)直线MA,和直线MA2的斜率分别记为%&、kMAi,求证：kMAi-kMA2为定值；

(2)求证:直线AW过定点.

6.(22-23高三上•四川绵阳•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆司+4=l(a>b>0)的

ab

右顶点为(2,0),离心率为率，P是直线x=4上任一点,过点M(l,0)且与垂直的直线交椭圆于

4,8两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为瓦，自，底，问：是否存在常数九使得自+自=及2?若存在，求

出义的值;若不存在，说明理由.

7.(2023高三・全国•专题练习)已知圆心为H的圆/+/+24—15=0和定点4(1,0),B是圆上任意一

点，线段AB的中垂线I和直线相交于点河，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.

(1)求。的方程.

⑵如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线。相交于P，Q和瓦F，求屈•方的取值

范围

&（23-24高二上.湖北.期中）已知椭圆。的方程为5+。出〉6〉。），其离心率为*此片为

椭圆的左右焦点，过E作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于人，口两点，ZVIB用的周长为8代.

⑴求椭圆。的方程；

（2）过B作2轴的垂线交椭圆于点D.

①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

②求△AOD面积的最大值.

9.（23-24高三上.江苏镇江.期末）已知椭噂+?l（a>b>。）的右焦点F（l,。），离心率为夸，过

斤作两条互相垂直的弦ABCD,设48,CD的中点分别为河,N.

⑴求椭圆的方程；

（2）证明：直线1W必过定点,并求出此定点坐标；

（3）若弦AB,CD的斜率均存在，求△7WN面积的最大值.

2

10.(23-24高二上•陕西渭南•期末)如图，过点0(0,1)的椭圆索+率=l(a>b>0)的离心率为号,

椭圆与无轴交于点A(a,0),8(—a,0),过点C的直线I与椭圆交于另一点。，并与C轴交于点P,直线

/C与直线交于点Q；

(1)当直线Z过椭圆右焦点时，求。点的坐标；

(2)当点P异于点口时，求证：而・丽为定值.

•M

真题调练

11.（2021•全国•统考高考真题）（多选）已知直线hax+如—r=0与圆C-.x2+才=产,点人色⑼，则下列说

法正确的是（）

A.若点4在圆。上,则直线I与圆。相切B.若点人在圆。内，则直线Z与圆。相离

C.若点A在圆。外,则直线，与圆。相离D.若点人在直线，上,则直线，与圆。相切

12.（北京•高考真题）已知抛物线C：才=2年过点过点（0,专）作直线I与抛物线。交于不同的

两点M,N,过点双作必轴的垂线分别与直线OP,ON交于点4B,其中。为原点.

（1）求抛物线。的方程,并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：4为线段的中点.

13.(四川・高考真题)椭圆有两顶点4(—1,0)、8(1,0),过其焦点斤(0,1)的直线2与椭圆交于。、。两点,

并与①轴交于点P.直线AC与直线8。交于点Q.

⑴当\CD\=j-V2时,求直线I的方程；

(II)当点P异于4、8两点时，求证：方•函为定值.

14.(北京・高考真题)已知椭圆+4=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(O,l).

a2b2

(I)求椭圆。的方程；

(II)设O为原点，直线l\y=kx+t{t^±l)与椭圆。交于两个不同点P,。，直线4P与力轴交于点

河,直线ZQ与力轴交于点N,若|OM|♦|ON|=2,求证:直线Z经过定点.

15.(全国•高考真题)在直角坐标系数为中，曲线C：呼与与直线y=kx+a,(a>0)交与M,N两点,

(I)当k=0时,分别求。在点河和N处的切线方程；

(II加轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有AOPM=/OPN?说明理由.

16.(北京・高考真题)已知椭圆+V=l(a〉b>0)的离心率为手,焦距为讨i.斜率为k的直线I

与椭圆双有两个不同的交点人、B.

(I)求椭圆M的方程；

(II)若卜=1,求以目的最大值；

(III)设尸(一2,0)，直线04与椭圆河的另一个交点为。，直线尸B与椭圆河的另一个交点为D.若C、

0和点Q(—■?，!)共线，求k.

17.(北京・统考高考真题)已知椭圆+£=1过点4(—2,—1),且a=2b.

ab~

(I)求椭圆。的方程:

(II)过点B(-4,0)的直线I交椭圆。于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q.求

\PB\_

的值.

\BQ\

(四川・高考真题)如图，椭圆E/+V=1(Q>9。)的离心率是春，过点尸(。,1)的动直线，与椭

圆相交于A,B两点，当直线I平行于x轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为2V2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得=%恒成立？若存在,

求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

圆锥曲线中的极点极线问题

考情探究

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】L理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义

2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算

【命题琬I】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强

化训练复习

知识讲解

1.极点极线的定义

设P是不在圆雉曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接

EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上

的点，则过P点的切线即为极线.

同理，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将LMNP称为自极三点形.

设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.

2.其他定义

对于圆锥曲线C-.Aa?+Bxy+Cy1+Dx+Ey+F=0,已知点P（x°,枷）（非中心）及直线

xyyx

l:Axox+B-°^°+Cyoy+D•+E-^^~+F=0,则称点P（x0,y0）是直线l关于圆

锥曲线C的极点，直线Z称为点P关于圆锥曲线C的极线。

配极原则：共线点的极线必共点，共点线的极点必共点。

3.替换原则

2xGy+yox2x+x0y+y。

XQX^X,--^-xy-,-y--y^y,

Q22

4.极点极线的几何意义（以椭圆为例）

22

已知椭圆方程：其■+与~=1,设点_P（g,g°）的极线I:——1=1.

abab

（1）当点P（*o，Uo）在椭圆上时，极线I是以点P为切点的切线。（极点在极线上）

（2）当点P在椭圆外时，极线I与椭圆相交，且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。

（3）当点P在椭圆内时，极线I与椭圆相离，极线I为经过点P的弦在两端点处的切线交点的

轨迹，且极线I与以点P为中点的弦所在的直线平行。

特别地：

⑴对于椭圆与点「（&,%）对应的极线方程为否+邛=上

abab

（2）对于双曲线4-4=1，与点P（%%）对应的极线方程为笔一等=1；

azbzazbz

1

（3）对于抛物线y=2px,与点P（6o,jo）对应的极线方程为yoy=p（xo+x）

考点一、极点极线初步学习

1.（2024•全国•一模）如图，已知椭圆r的短轴长为4,焦点与双曲线舌—'=1的焦点重合.点

P（4,0）,斜率为］的直线。与椭圆「交于两点.

（i）求常数t的取值范围，并求椭圆「的方程.

（2）（本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答）

极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式

阐述的.对于椭圆「：4+£=1,极点P（g,y。）（不是原点）对应的极线为Ip：警+等=1,且若极点

a-bab-

p在刀轴上,则过点P作椭圆的割线交r于点,则对于iP上任意一点Q,均有kQAi+kQBi=2kPQ

（当斜率均存在时）.已知点Q是直线。上的一点,且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接

PA,PB分别交椭圆「于Al,N两点.

①设直线分别交夕轴于点。、点T,证明：点E为。、T的中点;

②证明直线：MN恒过定点,并求出定点的坐标.

【答案】（1）（0,4）,4+与=1

o4

（2）①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为（3,—方）

【分析】（1）由椭圆焦点在c轴上面，列出不等式组即可得土的范围，由a,6,c的关系以及短轴长列出方程组

即可得a,6,由此即可得椭圆方程.

（2）为了说明结论的验证性，首先证明一下题述引理（用解析几何方法），即联立直线方程与椭圆方程，由韦

达定理以及斜率公式证明％Q*+=2A>Q即可，从而对于①由结论法说明Q是儿W和的交点，且%以

+kNM=2kPQ,结合由此即可进一步得证；对于②由结论法可表示出AW的方程y=（T—（8一2）+t,由

此整理即可得解.

【详解】⑴由题意焦点在。轴上，所以，解得0VCV4,即力的范围为（0,4）,

且c=V4—t+t=2,2b=4,Q?="+,解得/=g,/=4,

所以椭圆方程为巧—F乌-=1.

84

（2）我们首先给出题目给出的引理的证明：

设P（p,0）,Q（手工），则Q在P的极线上，

现在如果经过P的直线力=my+p交椭圆于4（如（劣2,纺）:

那么，代入椭圆就得到(a2+fe2m2)?/2+2b2mpy+b2p2—a2/=0,

所以A=4b4m2p2—4b2(p2—a2)(a2+fe2m2)=4b4m2p2—462(p2a2+p2b2m—CL—a2fe2m2)

=4a2b2(a2+62m2—p2)>0a2+b2rri>p2,

由韦达定理有%+%=—选黑以%=62p2-a262

a2+62m2

此时要证明的是：kQA+kQB=2kPQf

也就是一里一力丁+m2=y,

Wi+p-yW2+P—yp-y

mTF口yi-t,y2T2t„

也就走----------------H-------------H-------=0,

Wi+p-yW2+p-yp-y

也就是(p—邑)[(%一±)(机加+0一2)+(y2-^)(wi+p--)"!+2t(myl+p--}(my2+p--]=0,

-y)+2m2t]+[(p-y)2+im(p-y)

也就是2m[pW2=0,

——j+2m2t]•b2p2-a2b2r/a2]2,.(a22b2mp

也就是而P菽+[(「—万)+,巩P~T^y~a2+b2m2=0,

也就是[m(p一2)+m2t],62(p2—a2)+——J+tm(^p——^^—b2mp)=0,

也就是—+mi],&2(p2—a2)-b2P[(p-2)—=0,

也就是[(p一2)+mj],(p2—a2)=0,

也就是[(p-y)+^«]-(p-y)-l(p~~j+trri(p--]]=o>

也就是[(p-y)+^]-(p-y)=(P-y)2+Mp-^)，

这显然成立，所以结论得证.

接下来我们回到原题,

①首先由于Q在P的极线力=2上，故由引理有kQN+kQB=2kpQ,kQA+kQM=2kPQf

工771

而kQA=kQB=3,

所以厩加=%”,这表明。是儿W和AB的交点,

又由于+kQM=2kpQ,故kBA+kNM=2kPQ,

t-VE

设。（2,力），而，kpQ~^QE—

%D=2

所以如+比=2yE，也就是E是DT的中点；

②设。（2,大），那么kPQ―—kAB=],所以kMN=-t—

这表明MN的方程是y=（—力一：）（力一2）+力，即力（3—6）+1—，力_y=U,

4

所以上W恒过点（3,一5）.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键是用解析几何证明题述引理的正确性，由此即可利用结论法进一步求解.

2.（22-23高二上・贵州贵阳•期末）阅读材料：

22

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax+Cy+2Dx+2Ey+尸=0,则称点P（%,y0）和

直线I：Axox+Cyoy+DQ+g）+E（y+yJ+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆

锥曲线方程中，以xox替换/，以耳差替换必另一变量y也是如止匕），即可得到点P（g,y°）对应的极

线方程.特别地，对于椭圆耳+4=1,与点P（g,%）对应的极线方程为笔+颦=1;对于双曲线

a2b2a2b2

三—£=1,与点P（g，%）对应的极线方程为笔—颦=1;对于抛物线姬=2m，与点P（g,加

b~ba

对应的极线方程为UM=P（g+c）.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时，其极线，是曲线G从点尸所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

③当P在G内时，其极线，是曲线G过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

（1）已知椭圆C：4+彳=l（a>b>0）经过点P（4,0）,离心率是容,求椭圆C的方程并写出与点

ab2

P对应的极线方程；

（2）已知Q是直线2：y=-j-x+4上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆。引两条切线，切点分别为V,

N,是否存在定点T恒在直线上,若存在，当说=病时,求直线MN的方程；若不存在,请说明

理由.

【答案】（1）4+?=1,劣—4=0

164

（2）存在，a:+2v-4=0

【分析】⑴根据题意和离心率求出a、6,即可求解；

（2）利用代数法证明点Q在椭圆。外,则点Q和直线是椭圆C的一对极点和极线.

根据题意中的概念求出点Q对应的极线方程，可得该直线恒过定点7⑵1）,利用点差法求出直线的斜

率，即可求解.

【详解】⑴因为椭圆£■+为=l（a>6>0）过点P（4,0）,

ab

则=■+%=1，得。=4,又e=9="^,

a2b2a2

所以C=2V3，所以/=/—=4,

所以椭圆。的方程为桑+乡=1.

164

根据阅读材料，与点P对应的极线方程为多~+=1,即力一4二0;

164

（2）由题意，设点Q的坐标为（g，v））,

因为点Q在直线y=—^-x+4上运动，所以为=—去g+4,

g+支=1一一

联立《164，得/―8±+24=0,

,=一紧+4

△=64—4义24=-32<0,该方程无实数根，

所以直线夕=—^-x+4与椭圆。相离，即点Q在椭圆。外，

又QM,QN都与椭圆。相切，

所以点。和直线是椭圆。的一对极点和极线.

对于椭圆4+多=1,与点Q（g,y0）对应的极线方程为整+翠=1,

164164

将Vo+4代入*■+=1,整理得x0（x-2y）+16y-16=0,

又因为定点T的坐标与g的取值无关，

所以依Ml解得FU，

[16g—16=0U/=l

所以存在定点T（2,l）恒在直线MN上.

当府=市时，T是线段上GV的中点，

设河（如明），"但,"），直线AW的斜率为％,

则[用+力-1,两式相减，整理得®^如=—/•咒四=—/.若=—4，即k=—1

[丝+改=]劣2-16yi+y?162x122

所以当面=乖时，直线AW的方程为g——+-

3.（23—24高二下•广东深圳•期中）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2

+2Dx+2Ey+F=0,则称点P（g,g（））和直线Z：AxQx+CyQy+D（x+x0）+E（y+yo）+F—0是圆锥

曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以xox替换，2,以号士替换庄以yoy替换

靖，以则‘替换",即可得到PQ。,为）对应的极线方程.特别地，对于椭圆5+K=1,与点P（g,%）

对应的极线方程为等+等=1；对于双曲线三—4=1,与点P（g，n°）对应的极线方程为等-

abbba

2

萼=1；对于抛物线y=2pc,与点P（g,%）对应的极线方程为yoy=p（g+c）.即对于确定的圆锥曲

b

线,每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质、定理:①当P在圆锥曲线G上

时，其极线Z是曲线G在点P处的切线;②当P在G夕卜时，其极线Z是从点P向曲线G所引两条切线

的切点所在的直线（即切点弦所在直线）;③当尸在G内时,其极线Z是曲线G过点尸的割线两端点处

的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆G：（+¥=L

⑴点P是直线/：y=—方力+2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M,N,是否

存在定点T恒在直线MN上,若存在，当面=前时,求直线MN的方程;若不存在,请说明理由.

（2）点P在圆疗+才=4上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为人，口,求ARAB面积的最大值.

【答案】⑴存在，x+2y-3=0

⑵嚣

【分析】⑴根据给定条件，判断直线Z与椭圆G的位置关系，求得点P对应的极线方程,进而求出定点T,再

利用点差法求解即得.

（2）求出极线方程，并与椭圆方程联立求出弦长AB及点P到直线AB的距离，进而求得三角形面积的函数

关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】⑴设点P（g,y（））,由点P在直线y=—"9"2上运动，得加=—^-x0+2,

®=_/+2

由V消去V并整理得3/—8，+8=0,显然A=82—4X3X8<0,

因+昔=i

即此方程组无实数解，于是直线V=—春2+2与椭圆G相离，即点P在椭圆G外，

又PM,PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线，

对于椭圆手+5=1，与点P（，o,%）对应的极线方程为等+等=1,

将Vo=一"；&+2代入+=1,整理得xo（x-y'）+4夕―4=0,

显然定点T的坐标与g的取值无关温口有（彳一，解得,所以存在定点7（1,1）恒在直线AW上，

当而=赤时，T是线段AW的中点有在椭圆G内，设”（的,纳），直线1CV的斜率为k,

则［胃+可—1,两式相减并整理得®笆1:一,.,"—!，即％=_）,

］至+短=1x2-Xi4%+纺4222

（4丁2T

所以当而=俞时，直线MN的方程为v-l=-］（a;—1）,即立+2^—3=0.

（2）由（1）知直线AB的方程为竽+等=1,由题意知为片0,

XQX|W--£

2

22消去"并整理得：（屑+2%）1—82（遇+16—8/=0,

生+幺=1

{4十21

而/+*=4,则&=64xo-4（琉+2%）（16-8谕=32宿,0,

16—8•

设,3（24,阴），则均+弱=-----鼠=f~xx=

3+2%%+434加+4

/4+3*32,2|为了2（4+3陶

所以|4B|=［（西+瑞丫―423&］=（）

V4**+42%+4

国+2%一4|_yo

点P到直线的距离为：d=

J局+4若J4+3需

因此△B4B面积S=-^-\AB\d=年，环。），当。＜犷2时，令抽）=含'

求导得/'（%）="|里萼■＞（）,即/（%）在（0,2]单调递增，则/（泱）的最大值为八2）=，2,

（若+4

由对称性可知当一24为＜0时，/（%）的最大值也为四，

所以APAB面积的最大值为V2.

【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端

点坐标，代入曲线方程作差求解.

4.（2024.湖南长沙.三模）已知椭圆。:4+4=1（电＞仇＞0）的左、右焦点分别为为上顶点，离

心率为，直线阚与圆4/+47—3=0相切.

（1）求椭圆C的标准方程；

22

（2）椭圆方程「:%+与=1缶＞6＞0）,平面上有一点P（g,%）.定义