新高考数学一轮复习讲练测第6章第05讲 数列求和（练习）（解析版）

第05讲数列求和（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建宁德·校考二模）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是公差为1的等差数列，则SKIPIF1<0（

）A．366 B．367 C．368 D．369【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意得：数列SKIPIF1<0为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0…①，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故选：A.4．（2023·江西南昌·统考三模）已知SKIPIF1<0，将数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0的公共项从小到大排列得到新数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】若数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0的公共项，则设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶数，所以SKIPIF1<0也为偶数，所以令数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0的公共项为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B.5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第SKIPIF1<0个正方形的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1011 B．SKIPIF1<0 C．1012 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】第一个正方形的边长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，第二个正方形的边长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，第三个正方形的边长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，……,进而可知：SKIPIF1<0是以公比为2，首项为1的等比数列，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列SKIPIF1<0满足各项均为正数，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】等比数列SKIPIF1<0满足各项均为正数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，综上，则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A.7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0（

）A．656 B．660 C．672 D．674【答案】D【解析】由题意知数列SKIPIF1<0是一个周期为SKIPIF1<0的数列.穷举法找规律，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0易发现SKIPIF1<0从第SKIPIF1<0项开始，每SKIPIF1<0项重复出现，故只需要分段计算即可.SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个分段，每段的和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D.8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则正确的选项是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，显然可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此选项A不正确，选项B正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0适合上式，SKIPIF1<0，因此选项D不正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此选项C正确，故选：BC9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着SKIPIF1<0趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割SKIPIF1<0，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故C正确；SKIPIF1<0，故D正确答案：ACD.10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，已知其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0等比数列，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BC【解析】对于A，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，①由SKIPIF1<0等比数列得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；对于B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，故C正确；对于D，SKIPIF1<0，所以所以SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若存在正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】由题意数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0都大于3，所以SKIPIF1<0只能是SKIPIF1<0其中之一，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，无解；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：AB12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中所有元素的和为.【答案】2520【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇数时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0都是集合SKIPIF1<0中的元素.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶数时SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以2，4，6，8是集合SKIPIF1<0中的元素，则集合SKIPIF1<0中所有元素的和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：2520.14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列SKIPIF1<0是等和数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则这个数列的前2022项的和为．【答案】6066【解析】设等和数列的公和为m．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：606615．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前50项和为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，由此可得SKIPIF1<0进而可得SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前50项和为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为等差的等差数列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若使得SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.18．（2023·河南·校联考模拟预测）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项，___________.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）选条件①：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.选条件②：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.选条件③：因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{SKIPIF1<0}的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{SKIPIF1<0}，{SKIPIF1<0}的一个通项公式；(2)若数列{SKIPIF1<0}单调递增，设SKIPIF1<0，数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意，取SKIPIF1<0，可得公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0，可得公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0，可得公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0，可得公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）由{SKIPIF1<0}单调递增，若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0.20．（2023·福建宁德·校考二模）已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前15项和SKIPIF1<0．【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的前15项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是公比为q的等比数列．对于给定的SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的第i项为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．【解析】（1）依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.1．（2023•甲卷（理））已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0适合上式，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2023•乙卷（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】（1）在等差数列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．3．（2023•新高考Ⅱ）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）证明：由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故原式得证．4．（2023•天津）已知SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的通项公式和SKIPIF1<0；（Ⅱ）已知SKIPIF1<0为等比数列，对于任意SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通项公式及其前SKIPIF1<0项和．【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的首项为SKIPIF1<0，项数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立．SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0设公比为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0为等差数列，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根据等差数列的通项公式的特点，可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；或设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0无解，SKIPIF1<0综合可得SKIPIF1<0．6．（2022•甲卷）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．已知SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0是等差数列；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）证明：由已知有：SKIPIF1<0①，把SKIPIF1<0换成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由等差数列定义有SKIPIF1<0为等差数列；（2）由已知有SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，由（1）有其公差为1，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0时取最小值，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0