新高考数学一轮复习讲练测第7章第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（练习）（解析版）

第04讲直线、平面垂直的判定与性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学校考三模）已知不重合的平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”的充分不必要条件是（

）A．SKIPIF1<0内有无数条直线与SKIPIF1<0平行 B．SKIPIF1<0内的任何直线都与SKIPIF1<0平行C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于A选项，若SKIPIF1<0内有无数条直线与SKIPIF1<0平行且这无数条直线是平行直线，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平行或相交，即“SKIPIF1<0内有无数条直线与SKIPIF1<0平行”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，A不满足；对于B选项，由面面平行的定义可知，“SKIPIF1<0内的任何直线都与SKIPIF1<0平行”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，B不满足；对于C选项，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平行或相交，则“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，C不满足；对于D选项，由线面垂直的性质可知，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，反之，若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”不一定成立，故“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件，D满足.故选：D.2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是三条不同的直线，SKIPIF1<0是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．B．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面，SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】D【解析】对选项A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．选项A正确；对选项B，在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，分别作SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0，这两条相交直线确定平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；

对选项C，设SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内任取一个不在直线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，垂足分别为点SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．故选项C正确；

对选项D，直线SKIPIF1<0的位置关系可以是任意的，比如设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则根据平行的传递性知SKIPIF1<0，故D错误.故选：D.3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为正方形，侧棱与底面垂直，点SKIPIF1<0是侧棱SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.若点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0（包括其边界）上运动，且总保持SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹长度为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】

如图，在侧棱SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以动点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0易得SKIPIF1<0.故选：D4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，给出以下三个结论：①若SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0是四棱锥SKIPIF1<0外接球的直径.则关于这三个结论叙述正确的是（

）A．①对，②③错 B．①②对，③错C．①错，②③对 D．①②③都对【答案】D【解析】

①正确，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②正确，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③正确，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，将四棱锥还原成长方体，知SKIPIF1<0为该长方体的体对角线，故SKIPIF1<0为四棱锥SKIPIF1<0外接球的直径.故选：D.5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点，将四边形SKIPIF1<0沿着直线SKIPIF1<0进行翻折，使得点SKIPIF1<0不在平面SKIPIF1<0上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（

）

A．直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】C【解析】翻折之后如图所示：

①因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故选项A成立；②连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，

又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项B成立；③因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，故选项C不成立；④因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故选项D成立.故选：C6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合【答案】A【解析】设棱SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图所示，

正方体中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故选：A.7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥SKIPIF1<0的底面半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆锥SKIPIF1<0的轴截面，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为底面圆周上的一个动点（异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点），则下列说法正确的是（

）A．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0体积最大值为SKIPIF1<0 D．三棱锥SKIPIF1<0体积最大值为SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据题意可知，如下图所示：

对于A，因为SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0是直径，所以SKIPIF1<0，假设存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是圆锥SKIPIF1<0的母线，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，所以不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即A错误；对于B，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，若存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，所以B错误；对于C，易知三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以当底面积SKIPIF1<0最大时，其体积最大，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为SKIPIF1<0，所以，C正确；对于D，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0体积最大值为SKIPIF1<0，所以，D错误.故选：C.8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一个动点，则下列说法不正确的是（

）

A．存在点SKIPIF1<0，使直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值D．平面SKIPIF1<0截正方体所得截面的最大面积为SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于A项，如图所示，取SKIPIF1<0的中点H、I，连接HI交SKIPIF1<0于G点，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由正方体的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；

对于B项，如图所示，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0的中心，则面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0和面SKIPIF1<0分别交于线PG、DH，若存在G点使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0应在SKIPIF1<0延长线上，故B错误；对于C项，随着G移动但G到面SKIPIF1<0的距离始终不变即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是定值，即C正确；

对于D项，若SKIPIF1<0点靠C远，如图一所示，过G作SKIPIF1<0，即截面为四边形SKIPIF1<0，当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，如下图，

显然当SKIPIF1<0在底面的投影为SKIPIF1<0点时，截面为四边形SKIPIF1<0面积最大，此时SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0的中心，最大值为SKIPIF1<0，

若SKIPIF1<0靠C近时（图二），G作SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0延长线于M、H，连接MK、SKIPIF1<0交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则截面为六边形SKIPIF1<0，当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，如下图，六边形SKIPIF1<0在正方体底面的投影为六边形SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值.

设则当SKIPIF1<0在底面的投影为SKIPIF1<0点时，截面为四边形SKIPIF1<0面积最大，当SKIPIF1<0为中点时取得最大值，最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正确.故选：B.9．（多选题）（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】由题意，A项,设SKIPIF1<0所在平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,只需SKIPIF1<0即满足题设,故A错误；B项，设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0，B错误；C项，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可能垂直于SKIPIF1<0，C错误；D项，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABC.10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】选项A，如图连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；选项B，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，DD1在面BDD1B1内，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然矛盾，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，故B错误；选项C，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0为中位线，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正确；选项D，由题意知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD.11．（多选题）（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，则正确的是（

）

A．存在SKIPIF1<0，在翻折过程中存在某个位置，使得SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，在翻折过程中存在某个位置，使得SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，在翻折过程中存在某个位置，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0，在翻折过程中存在某个位置，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】对A，当SKIPIF1<0时，所以此时矩形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，若使得面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故选项A正确.对B，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项B正确，对C，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折时，总有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，当将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则此时满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正确.对D，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为斜边，这SKIPIF1<0与相矛盾.故D不正确.故选：ABC12．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0问上翻折，使SKIPIF1<0点移到SKIPIF1<0点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（

）

A．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积最大值为SKIPIF1<0D．当三棱锥SKIPIF1<0的体积达到最大值时，三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不平行，即不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.故A错误；对于B，如图：

取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；对于C，在翻折过程中，令SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，因此三棱锥SKIPIF1<0的体积为：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时取等号，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积最大值为SKIPIF1<0，故C正确；对于D，当三棱锥SKIPIF1<0的体积达到最大值时，三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，故球的半径为1，则球的表面积为SKIPIF1<0.故D正确.故选：BCD.13．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要条件【解析】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，反过来，SKIPIF1<0时，包含SKIPIF1<0或是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以不一定垂直，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件14．（2023·贵州·校联考模拟预测）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】2【解析】因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<015．（2023·广东梅州·统考三模）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.

【答案】8【解析】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则在平面SKIPIF1<0上，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由于变量SKIPIF1<0不具有等量关系，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小；过点SKIPIF1<0作BD垂线，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻转到平面SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0构成矩形，

所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为8．故答案为：8．16．（2023·陕西延安·校考一模）已知在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0内（含边界）的动点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又在正方体中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0点的轨迹是线段SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0

17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D为AB的中点．

(1)求证SKIPIF1<0；(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【解析】（1）在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，即SKIPIF1<0，又因为在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，过C作SKIPIF1<0，F为垂足，

由直三棱柱SKIPIF1<0得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．18．（2023·四川广元·校考模拟预测）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为6．

(1)求三棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】（1）面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积为6，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0.（2）由题设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.19．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图SKIPIF1<0，等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，如图SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【解析】（1）证明：在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，在等腰梯形SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0.连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离即为点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离的一半.取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.

因为SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是等边三角形，边长为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．1．（2022•乙卷（文））如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0