新高考数学一轮复习讲练测第8章第01讲 直线的方程（练习）（解析版）

第01讲直线的方程（模拟精练+真题演练）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线SKIPIF1<0恒过点A，点A也在直线SKIPIF1<0上，其中SKIPIF1<0均为正数，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0.又因为点A也在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的斜率不存在时，此时直线方程为SKIPIF1<0，与圆SKIPIF1<0相交，不合题意，当SKIPIF1<0的斜率存在时，设切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0.故选：D3．（2023·广西·统考一模）直线SKIPIF1<0绕原点顺时针旋转45°得到直线SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得SKIPIF1<0的值．由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．4．（2023·河北衡水·校考一模）直线SKIPIF1<0的倾斜角是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意得SKIPIF1<0，故倾斜角为SKIPIF1<0.故选B.5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的顶点，则：“SKIPIF1<0的欧拉线的方程为SKIPIF1<0”是“点C的坐标为SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必要性：当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，根据三线合一知：SKIPIF1<0的欧拉线的方程为SKIPIF1<0；充分性：由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的欧拉线的方程为SKIPIF1<0设重心SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0,外接圆圆心为SKIPIF1<0,因为重心为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或2，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以“SKIPIF1<0的欧拉线的方程为SKIPIF1<0”是“点C的坐标为SKIPIF1<0”的必要不充分条件，故选：B6．（2023·山东·校联考二模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中元素的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，表示直线SKIPIF1<0上的点，又因为SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0表示如图所示的正方形SKIPIF1<0边上的点，所以SKIPIF1<0中元素的个数即为直线SKIPIF1<0与正方形SKIPIF1<0的边的交点个数，由图可知直线SKIPIF1<0与正方形SKIPIF1<0的边有2个交点，即SKIPIF1<0中元素的个数为2.故选：C.7．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的射影为点B，则点B到点SKIPIF1<0距离的最大值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】将直线l整理得到SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线l恒过点SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的射影为点B，所以SKIPIF1<0，则点B在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上，该圆的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径大小为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以点B到点SKIPIF1<0距离的最大值为SKIPIF1<0，故选：C．8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，若在直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】对于直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，根据二次函数的性质可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点SKIPIF1<0的直线都可以用方程SKIPIF1<0表示．【答案】ABC【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；当直线的斜率为SKIPIF1<0，倾斜角为SKIPIF1<0，故选项B不正确；当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；根据直线的两点式方程可知选项D正确，故选：ABC10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直B．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其斜率为1，而直线SKIPIF1<0的斜率为－1，所以当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，所以A正确；对于B，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0无关，故直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则下列满足直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交的斜率SKIPIF1<0取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出SKIPIF1<0点，如图，当直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，斜率SKIPIF1<0取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：AB12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（

）A．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有交点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0垂直的充分不必要条件C．经过点SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上的截距都相等的直线的方程为SKIPIF1<0D．已知直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，和两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.【答案】ABD【解析】对于A，∵直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如图可知若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有交点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故A正确；对于B，由直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0垂直得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0垂直的充分不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为SKIPIF1<0，当直线不过原点时，可设直线为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0，故经过点SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上的截距都相等的直线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故C错误；对于D，∵直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以两直线垂直，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故D正确.故选：ABD13．（2023·全国·高三专题练习）经过点SKIPIF1<0，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为；【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】由题意，可知所求直线的斜率为SKIPIF1<0．又过点SKIPIF1<0，由点斜式得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<014．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0在x轴上的截距的取值范围是SKIPIF1<0，则其斜率的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】由直线SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线l过点SKIPIF1<0，由题知，在x轴上的截距取值范围是SKIPIF1<0，如图：所以端点处直线的斜率分别为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.15．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为不同的两点，直线l的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．有下列三个说法：①存在实数SKIPIF1<0，使点N在直线l上；②若SKIPIF1<0，则过MN两点的直线与直线l平行；③若SKIPIF1<0，则直线l经过线段MN的中点．上述所有正确说法的序号是．【答案】②③【解析】对于①，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0不可能在直线l上，错误．对于②，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不合题意，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线MN的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以过M、N两点的直线与直线l平行，正确．对于③，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以直线l经过线段MN的中点SKIPIF1<0，正确．综上所述，正确的有②③，故答案为：②③16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的正半轴分别相交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点．当SKIPIF1<0取得最小值时，直线SKIPIF1<0的方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意知直线SKIPIF1<0的斜率存在．设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<017．（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－SKIPIF1<0），且它的倾斜角等于直线x－SKIPIF1<0y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；【答案】SKIPIF1<0x－y－3SKIPIF1<0＝0【解析】由已知得直线x－SKIPIF1<0y＝0的斜率为SKIPIF1<0，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为SKIPIF1<0，故所求直线的方程为y-(－SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0x－y－3SKIPIF1<0＝0．故答案为：SKIPIF1<0x－y－3SKIPIF1<0＝018．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴上截距相等的直线方程为.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】由题知，若在SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴上截距均为SKIPIF1<0，即直线过原点，又过SKIPIF1<0，则直线方程为SKIPIF1<0；若截距不为SKIPIF1<0，设在SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，则直线方程为SKIPIF1<0，又直线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此时直线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<019．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0．求证：无论m为何实数，直线SKIPIF1<0恒过一定点M．【解析】将直线SKIPIF1<0的方程化为SKIPIF1<0，解方程组SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故直线l1恒过定点SKIPIF1<0．20．（2023·全国·高三对口高考）过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的正半轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．

(1)求SKIPIF1<0面积的最小值及相应的直线SKIPIF1<0的方程；(2)当SKIPIF1<0取最小值时，求直线SKIPIF1<0的方程；(3)当SKIPIF1<0取最小值时，求直线SKIPIF1<0的方程．【解析】（1）依题意设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时取等号，从而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时取等号，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）依题意直线SKIPIF1<0的斜率存在且SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．21．（2023·高三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为SKIPIF1<0.(1)若折痕的斜率为SKIPIF1<0，求折痕所在的直线方程；(2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点SKIPIF1<0的坐标，并求折痕所在的直线方程.【解析】（1）设SKIPIF1<0，由于折痕的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，所以折痕所在的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，折痕所在直线方程为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，所以折痕所在的直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，折痕SKIPIF1<0也符合上式，综上所述，折痕所在的直线方程为SKIPIF1<0.1．（1991·全国·高考真题）如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么直线SKIPIF1<0不通过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均不为零，由直线方程SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．故选：C.2．（1995·全国·高考真题）图中的直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由图象可得，SKIPIF1<0，故选：C3．（20