新高考数学一轮复习讲练测第8章第06讲 双曲线及其性质（练习）（解析版）

第06讲双曲线及其性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根据点到直线的距离公式可得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．故选：B.2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，SKIPIF1<0的面积为2，则E的焦距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可得，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线平行，所以SKIPIF1<0，则可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则E的焦距SKIPIF1<0.故选：D3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知A，B分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且SKIPIF1<0轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】C【解析】由题意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的横坐标为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．即双曲线的离心率为2．故选：C．4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线与该双曲线的左支交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时，该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0代入双曲线的方程可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，上式化简可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0双曲线离心率SKIPIF1<0．故选：A．5．（2023·四川成都·模拟预测）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示：由题意SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内心，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0内切圆半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由双曲线定义可知SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0；注意到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，联立并化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去，因为SKIPIF1<0）故选：C6．（2023·四川南充·统考三模）已知点F是双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若SKIPIF1<0是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意可知SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为等腰三角形，故SKIPIF1<0是锐角三角形，只需SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简整理，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B.7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0不是顶点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0与y轴交于Q点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故P点在双曲线右支上，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且三角形内角和为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故选：A8．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0为左焦点，SKIPIF1<0分别为左､左顶点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0右支上的点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）.若直线SKIPIF1<0与以线段SKIPIF1<0为直径的圆相交，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0右支上的点，取SKIPIF1<0的中点为B，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0与以线段SKIPIF1<0为直径的圆相交，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则需使SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即双曲线离心率的范围为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的离心率的取值范围为SKIPIF1<0，故选：D9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0与双曲线的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则此双曲线的离心率为（

）

A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形，又因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0是直角SKIPIF1<0斜边中线，因此SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0是等腰三角形，因此SKIPIF1<0，由双曲线渐近线的对称性可知中：SKIPIF1<0，于是有：SKIPIF1<0，因为双曲线渐近线的方程为：SKIPIF1<0，因此有：SKIPIF1<0，故选：B.10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左焦点.经过原点的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左、右两支分别交于A，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一条渐近线的倾斜角可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知结合双曲线的对称性可得，四边形SKIPIF1<0为长方形.所以，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线的定义可得，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由正弦定理可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0.所以，倾斜角为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.11．（多选题）（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（

）A．可以是圆的方程 B．一定不能是抛物线的方程C．可以是椭圆的标准方程 D．一定不能是双曲线的标准方程【答案】ACD【解析】因为方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是圆的方程，故方程可以是圆的方程，故A正确；当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程，故B错误；当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程，故C正确；若方程为双曲线的标准方程，则有SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程，故D正确.故选：ACD.12．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0 B．点SKIPIF1<0的横坐标为2或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0 D．以线段SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0【答案】AB【解析】由双曲线方程知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，故C错误；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直径的圆方程为SKIPIF1<0，故D错误；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的横坐标为2或SKIPIF1<0，故B正确；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确．故选：AB．13．（多选题）（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0作一条切线SKIPIF1<0与渐近线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，下列结论正确的是（

）

A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．当点SKIPIF1<0在第一象限时，SKIPIF1<0D．当点SKIPIF1<0在第三象限时，SKIPIF1<0【答案】BC【解析】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，切点SKIPIF1<0不在双曲线上，SKIPIF1<0不正确，SKIPIF1<0正确；若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0分别在一二象限时（如图1），SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0分别在二､三象限时（如图2），设SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确，SKIPIF1<0错误.故选：SKIPIF1<014．（多选题）（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上、下焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，虚轴长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线上支上任意一点，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与E的上支交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.下列说法中正确的是（

）A．双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．以SKIPIF1<0为直径的圆经过SKIPIF1<0点 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴【答案】ACD【解析】由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0，A正确；由A知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B错；由上述知，直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因点SKIPIF1<0是异于SKIPIF1<0的上支点，所以SKIPIF1<0，代入直线SKIPIF1<0方程得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因点SKIPIF1<0是异于SKIPIF1<0的上支点，所以SKIPIF1<0，代入直线SKIPIF1<0方程得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆经过SKIPIF1<0点，C正确；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以代入SKIPIF1<0坐标得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，D正确.故选：ACD15．（多选题）（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线的左､右焦点，从SKIPIF1<0发出的光线SKIPIF1<0射在双曲线右支上一点SKIPIF1<0，经点SKIPIF1<0反射后，反射光线的反向延长线过SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0异于双曲线顶点时，双曲线在点SKIPIF1<0处的切线平分SKIPIF1<0.若双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）

A．射线SKIPIF1<0所在直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，光线由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0再到SKIPIF1<0所经过的路程为13D．若点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】因为双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，选项A，因为直线SKIPIF1<0与双曲线有两个交点，所以SKIPIF1<0，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即B正确；选项C：SKIPIF1<0，即C错误；选项D，因为SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，由角分线定理知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即D正确.故选：ABD.16．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的下、上焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0B．双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0C．若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的另一个交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0D．点SKIPIF1<0到两条渐近线的距离之积为SKIPIF1<0【答案】AD【解析】不妨设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的下支上一点，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，如图，因为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰三角形，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，根据双曲线的定义得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，所以A正确，B不正确；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①②并整理得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以C不正确.由SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到两条渐近线的距离之积为SKIPIF1<0，所以D正确；故选：AD.17．（多选题）（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公共焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的离心率，且P是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的一个公共点，满足SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】BD【解析】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故SKIPIF1<0，故A错误；对选项B：SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0为第一象限的点，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；对选项C：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以对勾函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0没有最小值，故C错误，对选项D：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，成立，故D正确；故选：BD18．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，存在过点SKIPIF1<0的直线与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线SKIPIF1<0的方程：．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，符合题意即可）【解析】如图，取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0x轴，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正三角形，符合题意，此时双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.19．（2023·福建三明·统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线C上关于原点对称的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及双曲线上关于原点对称的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，又SKIPIF1<0及托勒密定理，可得四边形SKIPIF1<0为矩形．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0双曲线的离心率为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．20．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右顶点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左焦点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题设知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），综上，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则离心率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<021．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，点Q为线段PF的中点，SKIPIF1<0，O为坐标原点，且点E在双曲线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨设点P在渐近线SKIPIF1<0上，令SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点Q为线段PF的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为点E在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<022．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C：SKIPIF1<0，过双曲线C的右焦点F作直线SKIPIF1<0交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】双曲线C：SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②又SKIPIF1<0分别在渐近线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0代入②可得：SKIPIF1<0，再代入①得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.23．（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为：SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，过C的右支上一点SKIPIF1<0，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且SKIPIF1<0．过点P作SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0在角平分线上的投影为点H，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两渐近线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为右支上一点，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图，因为SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<01．（2021•甲卷）点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合对称性，不妨考虑点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则点SKIPIF1<0到双曲线的一条渐近线的距离SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．2．（2021•天津）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，交双曲线的渐近线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】SKIPIF1<0【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，渐近线的方程为：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以双曲线的离心率SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．（2021•北京）双曲线SKIPIF1<0的离心率为2，且过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因为双曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0①，又离心率为2，则SKIPIF1<0②，由①②可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线的标准方程为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．4．（多选题）（2022•乙卷）双曲线SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0的实轴为直径的圆记为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为SKIPIF1<0，设过SKIPIF1<0的切线与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由双曲线的定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确．故选：SKIPIF1<0．5．（2023•北京）已知双曲线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】根据题意可设所求方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．6．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为．（法一）如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，代SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0．（法二）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由对称性可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0