2024-2025学年新教材高中数学第12章复数12.3复数的几何意义课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价二十一复数的几何意义(20分钟35分)1.(2024·周口高二检测)已知复数z1=2+i,z2=1+i,则QUOTE在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第三象限C.其次象限 D.第四象限【解析】选D.因为z1=2+i,z2=1+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,所以QUOTE在复平面内对应的点为QUOTE,位于第四象限.【补偿训练】已知i是虚数单位,复数z满意(1+i)z=2i,则复平面内与z对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.因为(1+i)z=2i,所以z=QUOTE=QUOTE=1+i,所以复平面内与z对应的点在第一象限.2.(2024·全国Ⅰ卷)设复数z满意|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 ()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1【解析】选C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|=QUOTE=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数z2=1-i,则|+|为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选A.因为向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|=QUOTE.4.若|4+2QUOTEi|+x+(3-2x)i=3+(y+5)i(i为虚数单位),其中x,y是实数,则|x+yi|= ()A.5 B.QUOTE C.2QUOTE D.2【解析】选A.由已知,得6+x+(3-2x)i=3+(y+5)i,所以QUOTE解得QUOTE所以|x+yi|=|-3+4i|=5.5.(2024·福州高二检测)在复平面中,复数z1,z2对应的点分别为Z1QUOTE,Z2QUOTE.设z1的共轭复数为QUOTE,则QUOTE·z2=________.

【解析】由题意,得z1=1+2i,z2=2-i,所以QUOTE=1-2i,故QUOTE·z2=QUOTE·QUOTE=-5i.答案:-5i6.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b),(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若QUOTE=2,z1-z2为实数,求a,b的值.【解析】(1)因为=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),所以z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i,又z1+z2=1+i,所以QUOTE所以QUOTE所以z1=4-i,z2=-3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,因为QUOTE=2,z1-z2为实数,所以QUOTE所以QUOTE(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·南昌高二检测)若复数z=QUOTE在复平面内对应的点(x,y)满意x+y=0,则QUOTE= ()A.2 B.QUOTE C.1 D.2QUOTE【解析】选B.因为复数z=QUOTE=QUOTE-i,所以复数z=QUOTE在复平面内对应的点的坐标为QUOTE,由复数z=QUOTE在复平面内对应的点(x,y)满意x+y=0可得QUOTE-1=0⇒a=2,z=1-i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.(2024·绵阳高二检测)定义运算QUOTE=ad-bc,若复数z满意QUOTE=0(i为虚数单位),则z的共轭复数QUOTE在复平面内对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.由题意QUOTE=-2iz+iQUOTE=0,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,则QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE在复平面内对应的点的坐标为QUOTE在第一象限.3.(2024·无锡高二检测)已知复数z满意:QUOTE=1,则QUOTE的最大值为 ()A.2 B.QUOTE+1 C.QUOTE-1 D.3【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),由|z-2|=1得圆的方程QUOTE+y2=1,又|z-1+i|=QUOTE表示定点(1,-1)与圆上任一点(x,y)间的距离.则由几何意义得|z-1+i|max=QUOTE+1=QUOTE+1.【补偿训练】(2024·临泽高二检测)已知复数z满意|z-1+i|=1,则|z+2-3i|的最小值为________.

【解析】由|z-1+i|=1得复数z对应的点是圆心为QUOTE,半径为1的圆上的动点,|z+2-3i|表示的是圆上的点与点QUOTE的距离,所以其最小值为点QUOTE到圆心QUOTE的距离减去半径即QUOTE-1=4.答案:44.设复数z满意QUOTE=QUOTE+1,z在复平面内对应的点的坐标为QUOTE,则 ()A.x2=2y+1 B.y2=2x+1C.x2=2y-1 D.y2=2x-1【解析】选B.z在复平面内对应的点的坐标为QUOTE,则z=x+yi,QUOTE=x-yi,因为QUOTE=QUOTE+1,代入可得QUOTE=x+1,解得y2=2x+1.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2QUOTE,|z2|=QUOTE,则z2的可取值为 ()A.4+5i B.5+4iC.QUOTE+QUOTEi D.QUOTE+QUOTEi【解析】选BD.设z2=x+yi(x,y∈R),由条件得,QUOTE所以QUOTE或QUOTE所以z2=5+4i或QUOTE+QUOTEi.【光速解题】将选项代入条件|AB|=2QUOTE,可以干脆解除A,C,再将选项B,D代入条件|z2|=QUOTE验证知BD正确.6.(2024·苏州高二检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是 ()A.若复数z满意|z-i|=QUOTE,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,QUOTE为半径的圆上B.若复数z满意z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若QUOTE=QUOTE,则⊥【解析】选CD.满意|z-i|=QUOTE的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,QUOTE为半径的圆上,A错误;在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=QUOTE.由z+|z|=2+8i,得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由QUOTE=QUOTE的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.若复数z满意QUOTE·z=7+i,则z对应的点位于第________象限,|z|=________.

【解析】z=QUOTE=1-i,则z对应的点位于第四象限;|z|=QUOTE.答案:四QUOTE8.(2024·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满意|z1|=|z2|=2,z1+z2=QUOTE+i,则|z1-z2|=__________.

【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=QUOTE+i,所以QUOTE,两式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化简得cosθcosα+sinθsinα=-QUOTE,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·连云港高二检测)已知复数z=QUOTE(m∈R,i是虚数单位).(1)若z是纯虚数,求实数m的值;(2)设QUOTE是z的共轭复数,复数QUOTE-2z在复平面上对应的点位于其次象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)z=QUOTE=3-2m-QUOTEi,因为z为纯虚数,所以QUOTE解得m=QUOTE.(2)因为QUOTE是z的共轭复数,所以QUOTE=3-2m+QUOTEi,所以QUOTE-2z=2m-3+QUOTEi.因为复数QUOTE-2z在复平面上对应的点位于其次象限,所以QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE.10.(2024·济南高二检测)在①QUOTE<0,②z2+QUOTE=-2.这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,求出满意条件的复数z,以及QUOTE.已知复数z1=1+i,z2=a+2i,QUOTE,________.若QUOTE=QUOTE+QUOTE,求复数z,以及QUOTE.

【解析】方案一:选条件①,因为z1=1+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于QUOTE<0,所以QUOTE解得a=-1.所以z2=-1+2i,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,从而z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.方案二:选条件②.因为z2=a+2i,所以QUOTE=a-2i,由z2+QUOTE=2a=-2,得a=-1,所以z2=-1+2i,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,从而z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,求实数c的取值范围.【解析】在