2024-2025学年新教材高中数学第六章立体几何初步6.3.2刻画空间点线面位置关系的公理二课时作业含解析北师大版必修第二册

PAGE课时分层作业(四十三)刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于()A．60° B．120°C．30° D．60°或120°D[由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.]2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．肯定平行 B．肯定相交C．肯定异面 D．相交或异面D[可能相交也可能异面，但肯定不平行(否则与条件冲突)．]3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行C[如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，明显直线AA1与A1D14．空间四边形的对角线相互垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A．梯形 B．矩形C．平行四边形 D．正方形D[如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG
EHeq\f(1,2)BD，HGEF
eq\f(1,2)AC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．]5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交D[若c与a，b都不相交，∵c与a都在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本领实4，可知a∥b，与已知条件冲突．如图，只有以下三种状况．]二、填空题6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC160°[连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]7．一个正方体纸盒绽开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论正确的为________．(填序号)①③[把正方体的平面绽开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]8．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．60°[连接BC1，AD1(图略)，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC三、解答题9．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B[证明]设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ
A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1∴EQ
B1C1(基本领实4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E
C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD
C1F∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q
DF.∴B1E
DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10．如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2eq\r(3)，AE＝2.(1)求直线BC和EG所成的角；(2)求直线AE和BG所成的角．[解](1)连接AC(图略)．∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角．∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2eq\r(3)，AE＝2，∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，∴直线BC和EG所成的角是45°.(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角．易知tan∠FBG＝eq\r(3)，∴∠FBG＝60°，∴直线AE和BG所成的角是60°.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EFA．相交 B．异面C．平行 D．垂直A[如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A．]12．在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是()A．菱形 B．矩形C．梯形 D．正方形B[如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HEeq\f(1,2)BD，同理GF
BD，所以HE
GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B．]13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．5[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.]14．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．②④[①中，∵G，M是中点，∴AG
BM，∴GM
AB
HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M明显不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；③中，∵G，M是中点，∴GM
eq\f(1,2)CD，∴GM
eq\f(1,2)HN，∴H，G，M，N四点共面；④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．]15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1[解]如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos30°＝eq\r(3)a.又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝eq