2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题12 圆锥曲线（真题9个考点精准练+模拟练）原卷版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题12圆锥曲线（真题9个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考7、20题2024年春考8、20题抛物线的定义、抛物线的焦点与准线，双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系双曲线的定义、离心率的计算公式，直线与圆锥曲线综合问题2023秋考16、20题2023春考20题与曲线方程有关的新定义，抛物线的定义及其性质、直线与抛物线综合应用离心率的求法、椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的综合2022秋考2、20题2022春考11、20题双曲线的性质，点到直线的距离公式、椭圆方程的求解、椭圆中最值与范围等问题双曲线的性质，直线与椭圆综合、涉及椭圆方程求解、直线交点求解、基本不等式的应用2021年秋考11、20题2021年春考11、19题直线斜率的定义与计算、抛物线的定义等知识，平面向量与圆锥曲线综合题、直线与椭圆位置关系的应用椭圆的定义和性质，双曲线的方程在实际问题中的应用2020年秋考10、20题2020年春考15、20题椭圆的简单性质的应用，双曲线与圆的定义和方程、直线与圆的方程、双曲线的方程联立轨迹方程的求法与判断，点到焦点距离的求法、抛物线、直线方程等知识一．椭圆的几何特征（共2小题）1．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．2．（2020•上海）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是．二．直线与椭圆的综合（共1小题）3．（2022•上海）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．三．椭圆与平面向量（共1小题）4．（2023•上海）已知椭圆且．（1）若，求椭圆的离心率；（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．四．抛物线的焦点与准线（共2小题）5．（2024•上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为．6．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．五．直线与抛物线的综合（共2小题）7．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．8．（2020•上海）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；（2）若，，，求证：为常数；（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．六．双曲线的几何特征（共4小题）9．（2024•上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．10．（2022•上海）已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为．11．（2022•上海）双曲线的实轴长为．12．（2021•上海）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，七．曲线与方程（共1小题）13．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立八．直线与圆锥曲线的综合（共4小题）14．（2024•上海）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限．（1）当离心率时，求的值；（2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．15．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点的横坐标为2，求的长；（2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围．（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．17．（2021•上海）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．（1）若是上顶点，，求的值；（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条．九．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）18．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线一．选择题（共10小题）1．（2024•嘉定区二模）双曲线和双曲线具有相同的A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率2．（2024•金山区二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为A．2 B．3 C．4 D．83．（2024•青浦区二模）已知点是抛物线上一点，点到抛物线的准线的距离为，是轴上一点，则“点的坐标为”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024•虹口区模拟）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有A．0条 B．1条 C．2条 D．3条5．（2024•杨浦区校级三模）在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．（2024•闵行区三模）设为曲线上的任意一点，记到的准线的距离为．若关于点集和，，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立7．（2024•虹口区模拟）已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．A．①③ B．②④ C．①② D．③④8．（2024•浦东新区校级模拟）已知直线与椭圆，点，分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点，，那么“直线与椭圆相切”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．（2024•闵行区校级三模）已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误10．（2024•闵行区校级模拟）设集合，，，点的坐标为，满足“对任意，都有”的点构成的图形为，满足“存在，使得”的点构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确二．填空题（共31小题）11．（2024•松江区校级模拟）已知，2，3，，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有个．12．（2024•金山区二模）已知双曲线，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是．13．（2024•杨浦区校级三模）已知双曲线的左、右焦点为、，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则的边长为．14．（2024•嘉定区校级模拟）将抛物线关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为．15．（2024•长宁区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，，则点的横坐标为．16．（2024•徐汇区校级模拟）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数．17．（2024•松江区校级模拟）双曲线的渐近线夹角大小为．18．（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则．19．（2024•闵行区三模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为．20．（2024•浦东新区校级四模）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则的取值范围是．21．（2024•闵行区校级模拟）已知椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，△的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆的标准方程为．22．（2024•普陀区校级模拟）如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为．23．（2024•松江区校级模拟）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是．24．（2024•普陀区校级模拟）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则．25．（2024•浦东新区校级模拟）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则．26．（2024•青浦区校级模拟）已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为．27．（2024•徐汇区校级模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则的离心率是．28．（2024•宝山区三模）已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．29．（2024•普陀区校级三模）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是．30．（2024•浦东新区校级模拟）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有个．31．（2024•浦东新区三模）已知点、位于抛物线上，，点为线段的中点，记点到轴的距离为．若的最小值为7，则当取该最小值时，直线的斜率为．32．（2024•浦东新区校级三模）过抛物线的焦点的直线交于点，，交的准线于点，，点为垂足．若是的中点，且，则．33．（2024•普陀区模拟）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为．34．（2024•浦东新区二模）已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为．35．（2024•奉贤区三模）若曲线的右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称的两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是．36．（2024•浦东新区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于，两点在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为．37．（2024•闵行区校级二模）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是．38．（2024•虹口区二模）从某个角度观察篮球（如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为．39．（2024•松江区二模）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为．40．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则．41．（2024•嘉定区校级模拟）若曲线的图象上任意不同的两点，，，，坐标都满足关系，则在①；②；③；④中，不可能是曲线的方程的序号为（填上所有正确答案的序号）．三．解答题（共19小题）42．（2024•徐汇区模拟）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点．（1）若为椭圆上（除、外）任意一点，求直线和的斜率之积；（2）若，求直线的方程；（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点．43．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆（常数的左顶点，点，，为坐标原点；（1）若是椭圆上任意一点，，求的值；（2）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围；（3）设，，，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．44．（2024•浦东新区二模）已知相圆，点、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点满足，求的值；（2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；（3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求的最大值．45．（2024•普陀区模拟）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点，且，，求的值；（3）设直线的方程为，且，求的取值范围．46．（2024•普陀区校级模拟）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆的方程及其“伴椭圆”方程；（2）若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴椭圆”相交于、两点，求弦的长；（3）在椭圆的“伴椭圆”上任取一点，过点作两条直线，，使得，与椭圆都只有一个公共点，且，分别与椭圆的“伴椭圆”交于，两点．证明：直线过原点．47．（2024•闵行区校级三模）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为．（1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，求证：的垂心必在椭圆上．48．（2024•闵行区二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围．49．（2024•嘉定区校级模拟）已知曲线．（1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；（2）若曲线为椭圆，且在曲线上．过原点且斜率存在的直线和直线与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积．（3）若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值．50．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．51．（2024•长宁区二模）已知椭圆为坐标原点．（1）求的离心率；（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于，两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．52．（2024•长宁区校级三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点．设在点、处的切线分别为，，与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为．（1）设点横坐标为，求切线的斜率，并证明；（2）证明：点必在直线上；（3）若、、、四点共圆，求点的坐标．53．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上．（1）求线段的长；（2）若线段的中点在轴上，求△的面积；（3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由．54．（2024•普陀区校级三模）已知抛物线：，焦点为，，为上的一个动点，是在点处的切线，点在上且与点不重合．直线与交于、两点，且平分直线和直线的夹角．（1）求的方程（用，表示）；（2）若从点发出的光线经过点反射，证明：反射光线平行于轴；（3）若点坐标为，求点坐标．55．（2024•杨浦区校级三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点．（1）设，若经过的焦点，求与的准线的交点坐标；（2）设，已知与轴负半轴有交点，与有、两个交点，若将这三个交点从左至右重新命名为、、，有，求出所有满足条件的的方程；（3）设，，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，求出关于的表达式，并求的最小值．56．（2024•宝山区校级四模）已知点在双曲线的一条渐近线上，、为双曲线的左、右焦点且．（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；（3）过点的直线与双曲线左右两支分别交于点、，求证：．57．（2024•杨浦区校级三模）设，是双曲线上的两点．直线与双曲线的交点为，两点．（1）若双曲线的离心率是，且点在双曲线上，求双曲线的方程；（2）设、分别是双曲线的左、右顶点，直线平行于轴．求直线与斜率的乘积，并求直线与的交点的轨迹方程；（3）设双曲线，其中，，点是抛物线上不同于点、的动点，且直线与双曲线相交于另一点，直线与双曲线相交于另一点，问：直线是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．58．（2024•奉贤区三模）如图1：已知椭圆的方程为和椭圆，其中，分别是椭圆的左右顶点．（1）若，恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程；（2）如图2，若椭圆的方程为．是椭圆上一点，射线，分别交椭圆于，，连接，，，均在轴上方），求证：，斜率之积为定值，求出这个定值；（3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值．59．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．（1）求△的周长；（2）求△面积的取值范围；（3）求的最大值．60．（2024•杨浦区二模）已知椭圆的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、．（1）求椭圆的方程；（2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；（3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．（其中、分别表示、的面积）专题12圆锥曲线（真题9个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考7、20题2024年春考8、20题抛物线的定义、抛物线的焦点与准线，双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系双曲线的定义、离心率的计算公式，直线与圆锥曲线综合问题2023秋考16、20题2023春考20题与曲线方程有关的新定义，抛物线的定义及其性质、直线与抛物线综合应用离心率的求法、椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的综合2022秋考2、20题2022春考11、20题双曲线的性质，点到直线的距离公式、椭圆方程的求解、椭圆中最值与范围等问题双曲线的性质，直线与椭圆综合、涉及椭圆方程求解、直线交点求解、基本不等式的应用2021年秋考11、20题2021年春考11、19题直线斜率的定义与计算、抛物线的定义等知识，平面向量与圆锥曲线综合题、直线与椭圆位置关系的应用椭圆的定义和性质，双曲线的方程在实际问题中的应用2020年秋考10、20题2020年春考15、20题椭圆的简单性质的应用，双曲线与圆的定义和方程、直线与圆的方程、双曲线的方程联立轨迹方程的求法与判断，点到焦点距离的求法、抛物线、直线方程等知识一．椭圆的几何特征（共2小题）1．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．2．（2020•上海）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是．二．直线与椭圆的综合（共1小题）3．（2022•上海）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．三．椭圆与平面向量（共1小题）4．（2023•上海）已知椭圆且．（1）若，求椭圆的离心率；（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值；（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．四．抛物线的焦点与准线（共2小题）5．（2024•上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为．6．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为．五．直线与抛物线的综合（共2小题）7．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．8．（2020•上海）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；（2）若，，，求证：为常数；（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．六．双曲线的几何特征（共4小题）9．（2024•上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．10．（2022•上海）已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为．11．（2022•上海）双曲线的实轴长为．12．（2021•上海）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，七．曲线与方程（共1小题）13．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立八．直线与圆锥曲线的综合（共4小题）14．（2024•上海）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限．（1）当离心率时，求的值；（2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．15．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点的横坐标为2，求的长；（2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围．（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．17．（2021•上海）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．（1）若是上顶点，，求的值；（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条．九．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）18．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线一．选择题（共10小题）1．（2024•嘉定区二模）双曲线和双曲线具有相同的A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率2．（2024•金山区二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为A．2 B．3 C．4 D．83．（2024•青浦区二模）已知点是抛物线上一点，点到抛物线的准线的距离为，是轴上一点，则“点的坐标为”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024•虹口区模拟）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有A．0条 B．1条 C．2条 D．3条5．（2024•杨浦区校级三模）在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．（2024•闵行区三模）设为曲线上的任意一点，记到的准线的距离为．若关于点集和，，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立7．（2024•虹口区模拟）已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．A．①③ B．②④ C．①② D．③④8．（2024•浦东新区校级模拟）已知直线与椭圆，点，分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点，，那么“直线与椭圆相切”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．（2024•闵行区校级三模）已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误10．（2024•闵行区校级模拟）设集合，，，点的坐标为，满足“对任意，都有”的点构成的图形为，满足“存在，使得”的点构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确二．填空题（共31小题）11．（2024•松江区校级模拟）已知，2，3，，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有个．12．（2024•金山区二模）已知双曲线，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是．13．（2024•杨浦区校级三模）已知双曲线的左、右焦点为、，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则的边长为．14．（2024•嘉定区校级模拟）将抛物线关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为．15．（2024•长宁区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，，则点的横坐标为．16．（2024•徐汇区校级模拟）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数．17．（2024•松江区校级模拟）双曲线的渐近线夹角大小为．18．（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则．19．（2024•闵行区三模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为．20．（2024•浦东新区校级四模）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则的取值范围是．21．（2024•闵行区校级模拟）已知椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，△的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆的标准方程为．22．（2024•普陀区校级模拟）如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为．23．（2024•松江区校级模拟）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是．24．（2024•普陀区校级模拟）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则．25．（2024•浦东新区校级模拟）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则．26．（2024•青浦区校级模拟）已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为．27．（2024•徐汇区校级模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则的离心率是．28．（2024•宝山区三模）已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．29．（2024•普陀区校级三模）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是．30．（2024•浦东新区校级模拟）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有个．31．（2024•浦东新区三模）已知点、位于抛物线上，，点为线段的中点，记点到轴的距离为．若的最小值为7，则当取该最小值时，直线的斜率为．32．（2024•浦东新区校级三模）过抛物线的焦点的直线交于点，，交的准线于点，，点为垂足．若是的中点，且，则．33．（2024•普陀区模拟）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为．34．（2024•浦东新区二模）已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为．35．（2024•奉贤区三模）若曲线的右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称的两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是．36．（2024•浦东新区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于，两点在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为．37．（2024•闵行区校级二模）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是．38．（2024•虹口区二模）从某个角度观察篮球（如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为．39．（2024•松江区二模）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为．40．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则．41．（2024•嘉定区校级模拟）若曲线的图象上任意不同的两点，，，，坐标都满足关系，则在①；②；③；④中，不可能是曲线的方程的序号为（填上所有正确答案的序号）．三．解答题（共19小题）42．（2024•徐汇区模拟）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点．（1）若为椭圆上（除、外）任意一点，求直线和的斜率之积；（2）若，求直线的方程；（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点．43．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆（常数的左顶点，点，，为坐标原点；（1）若是椭圆上任意一点，，求的值；（2）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围；（3）设，，，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．44．（2024•浦东新区二模）已知相圆，点、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点满足，求的值；（2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；（3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求的最大值．45．（2024•普陀区模拟）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过的右焦点，且，，求的值；（3）设直线的方程为，且，求的取值范围．46．（2024•普陀区校级模拟）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆的方程及其“伴椭圆”方程；（2）若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴椭圆”相交于、两点，求弦的长；（3）在椭圆的“伴椭圆”上任取一点，过点作两条直线，，使得，与椭圆都只有一个公共点，且，分别与椭圆的“伴椭圆”交于，两点．证明：直线过原点．47．（2024•闵行区校级三模）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为．（1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，求证：的垂心必在椭圆上．48．（2024•闵行区二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围．49．（2024•嘉定区校级模拟）已知曲线．（1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；（2）若曲线为椭圆，且在曲线上．过原点且斜率存在的直线和直线与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离