2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题04 幂指对函数（真题3个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题04幂指对函数（真题3个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考1题对数函数的定义域2022春考5题幂函数的反函数2021年秋考5题2021年春考6,13题反函数指数函数、反函数2020年秋考4题2020年春考12题反函数反函数一．有理数指数幂及根式（共1小题）1．（2021•上海）若方程组无解，则0．〖祥解〗利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解答】解：对于方程组，有，根据题意，方程组无解，所以，即，故答案为：0．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．二．求对数函数的定义域（共1小题）2．（2024•上海）的定义域．〖祥解〗结合对数函数真数的性质，即可求解．【解答】解：的定义域为．故答案为：．【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题．三．反函数（共5小题）3．（2021•上海）已知，则（1）．〖祥解〗利用反函数的定义，得到，求解的值即可．【解答】解：因为，令，即，解得，故（1）．故答案为：．【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．4．（2020•上海）已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为，．〖祥解〗因为与互为反函数若与有实数根与有交点方程，有根．进而得出答案．【解答】解：因为与互为反函数，若与有实数根，则与有交点，所以，即，故答案为：，．【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．5．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则，．〖祥解〗由已知求解，然后把与互换即可求得原函数的反函数．【解答】解：由，得，把与互换，可得的反函数为．故答案为：．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．6．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是A． B． C． D．〖祥解〗根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解答】解：选项：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误，选项：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误，选项：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，正确，选项：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，错误，故选：．【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．7．（2022•上海）设函数的反函数为，则3．〖祥解〗直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数的反函数为，整理得；所以．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．一．选择题（共1小题）1．（2024•宝山区二模）已知，则A． B． C． D．〖祥解〗根据已知条件，结合不等式的性质，以及函数单调性，即可求解．【解答】解：，则，故正确；，故错误；，故错误；，故错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，以及函数单调性，属于基础题．二．填空题（共28小题）2．（2024•崇明区二模）已知幂函数的图象经过点，则（3）9．〖祥解〗设出幂函数的解析式，根据其图象经过点，求函数的解析式，再计算（3）的值．【解答】解：设幂函数，其图象经过点，，解得，；（3）．故答案为：9．【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．3．（2024•金山区二模）函数的定义域是．〖祥解〗根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：，则，解得，故函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．4．（2024•金山区二模）已知集合，3，5，7，，，则．〖祥解〗求解指数方程化简，再由交集运算的定义得答案．【解答】解：，3，5，7，，，．故答案为：．【点评】本题考查交集及其运算，考查指数方程的解法，是基础题．5．（2023秋•宝山区期末）函数的定义域为．〖祥解〗令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出的范围即为定义域．【解答】解：要使函数有意义，需即故函数的定义域为故答案为：【点评】本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，属于基础题．6．（2023秋•普陀区校级期末）已知且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．〖祥解〗在函数的解析式中，令，即时，不论取且的任意值，都可得（2），即求出函数恒过的点的坐标．【解答】解：且，令，即时，不论取且的任意值，（2）恒成立，即函数恒过定点．故答案为：．【点评】本题考查对数型函数恒过定点的求法，属于基础题．7．（2024•浦东新区三模）已知，则（用表示）．〖祥解〗利用对数的运算性质求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．8．（2024•奉贤区三模）若，则．（结果用，的代数式表示）〖祥解〗由已知结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：若，则，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．9．（2024•长宁区二模）若，则1．〖祥解〗由已知结合指数与对数的转化公式及对数的运算性质即可求解．【解答】解：若，则，，．故答案为：1．【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及对数的换底公式及运算性质的应用，属于基础题．10．（2024•静安区二模）函数的定义域为．〖祥解〗根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由题意得，，即，解得，．故答案为：．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．11．（2024•黄浦区校级模拟）已知集合，，则，．〖祥解〗先求出集合，，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．12．（2023秋•宝山区期末）设、为常数，若，，则函数的图像必定不经过第二象限．〖祥解〗根据指数函数的性质判断即可．【解答】解：时，函数过一二象限，将函数的图像向下平移个单位，则图像不过第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．13．（2023秋•宝山区校级期末）方程的解是6．〖祥解〗根据已知条件，结合真数大于0，即可求解．【解答】解：，则，解得．故答案为：6．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．14．（2023秋•虹口区期末）函数的定义域为．〖祥解〗根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得，解得，所以定义域为．故答案为：．【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．15．（2024•宝山区校级四模）已知正实数、满足，，则．〖祥解〗由已知结合对数的运算性质可得，的关系，然后结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为正实数、满足，解得，或，所以或，当时，，所以，即，，，当时，，即，，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．16．（2024•浦东新区校级模拟）函数的最小值为．〖祥解〗利用对数的运算性质化简，换元后再由二次函数求最值．【解答】解：函数的定义域为，，令，则，原函数化为，则当时，有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查导数的运算性质，训练了利用换元法及二次函数求最值，是基础题．17．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数则（3）1．〖祥解〗结合分段函数解析式，由内向外计算即可．【解答】解：由题意得，．所以（3），故答案为：1．【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．18．（2024•长宁区校级三模）已知，，则（用、表示）．〖祥解〗由已知结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：因为，，即，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．19．（2024•浦东新区校级四模）设，，若直线过曲线的定点，则的最小值为2．〖祥解〗根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：因为曲线过定点，所以，即，则，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题．20．（2024•闵行区三模）方程的解集为．〖祥解〗依题意得到，解得即可．【解答】解：因为，则，解得，所以方程的解集为．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数运算性质的简单应用，属于基础题．21．（2024•宝山区二模）将化为有理数指数幂的形式为．〖祥解〗利用根式与分数指数幂的互化求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题．22．（2024•青浦区二模）已知，，若，则满足条件的的取值范围是，，．〖祥解〗由题意可得，，然后结合对数函数的性质即可求解．【解答】解：因为，，若，则，即，所以或，解得或．故答案为：，，．【点评】本题主要考查了对数函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础题．23．（2024•闵行区校级二模）方程的解是．〖祥解〗由已知可得，等价转化为，由此解得的值．【解答】解：由方程，可得，，解得，故答案为．【点评】本题主要考查对数方程的解法，注意对数函数的定义域，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．24．（2023秋•静安区期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是②（请填入全部正确的序号）．①；②；③；④．〖祥解〗由题意，利用函数的单调性以及函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除①；由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故②满足条件；由于函数的定义域为，且为偶函数，故它的图像关于轴对称，故排除③；由于函数在上单调递减，故排除④．故答案为：②．【点评】本题主要考查函数的单调性以及函数的奇偶性，属于基础题．25．（2023秋•闵行区校级期末）函数的图象过定点，则点的坐标是．〖祥解〗利用指数函数的性质即可得解．【解答】解：因为的图象过定点，令，则，，所以点的坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题．26．（2023秋•松江区期末）已知，则的最小值为．〖祥解〗根据对数运算求得，的关系，利用基本不等式求得正确答案．【解答】解：依题意，，且，，，当时等号成立．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．27．（2023秋•长宁区期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．其值（单位：定义为．其中为声场中某点的声强度，其单位为，为基准值．若，则其相应的声强级为130．〖祥解〗将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解．【解答】解：因为，，所以其相应的声强级为．故答案为：130．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．28．（2024•杨浦区校级三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像，则．〖祥解〗由已知结合方程的根与系数关系可求出，然后结合函数图象的平移及偶函数的对称性即可求．【解答】解：因为函数的两个不同的零点、，所以的两根为、，则，，因为，所以，因为，所以，，若将该函数图像向右平移个单位后得到为偶函数，则为偶函数，图象关于轴对称，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数图象的变换及偶函数对称性的应用，属于中档题．29．（2024•浦东新区三模）已知实数、、、满足，，，则1．〖祥解〗由题意结合三角换元和三角恒等变换即可求解．【解答】解：实数、、、满足，，可令，，，，则，可得，则．故答案为：1．【点评】本题考查了三角换元的运用，三角恒等变换，是中档题．专题04幂指对函数（真题3个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考1题对数函数的定义域2022春考5题幂函数的反函数2021年秋考5题2021年春考6,13题反函数指数函数、反函数2020年秋考4题2020年春考12题反函数反函数一．有理数指数幂及根式（共1小题）1．（2021•上海）若方程组无解，则0．〖祥解〗利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解答】解：对于方程组，有，根据题意，方程组无解，所以，即，故答案为：0．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．二．求对数函数的定义域（共1小题）2．（2024•上海）的定义域．〖祥解〗结合对数函数真数的性质，即可求解．【解答】解：的定义域为．故答案为：．【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题．三．反函数（共5小题）3．（2021•上海）已知，则（1）．〖祥解〗利用反函数的定义，得到，求解的值即可．【解答】解：因为，令，即，解得，故（1）．故答案为：．【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．4．（2020•上海）已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为，．〖祥解〗因为与互为反函数若与有实数根与有交点方程，有根．进而得出答案．【解答】解：因为与互为反函数，若与有实数根，则与有交点，所以，即，故答案为：，．【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．5．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则，．〖祥解〗由已知求解，然后把与互换即可求得原函数的反函数．【解答】解：由，得，把与互换，可得的反函数为．故答案为：．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．6．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是A． B． C． D．〖祥解〗根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解答】解：选项：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误，选项：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误，选项：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，正确，选项：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，错误，故选：．【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．7．（2022•上海）设函数的反函数为，则3．〖祥解〗直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数的反函数为，整理得；所以．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．一．选择题（共1小题）1．（2024•宝山区二模）已知，则A． B． C． D．〖祥解〗根据已知条件，结合不等式的性质，以及函数单调性，即可求解．【解答】解：，则，故正确；，故错误；，故错误；，故错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，以及函数单调性，属于基础题．二．填空题（共28小题）2．（2024•崇明区二模）已知幂函数的图象经过点，则（3）9．〖祥解〗设出幂函数的解析式，根据其图象经过点，求函数的解析式，再计算（3）的值．【解答】解：设幂函数，其图象经过点，，解得，；（3）．故答案为：9．【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．3．（2024•金山区二模）函数的定义域是．〖祥解〗根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：，则，解得，故函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．4．（2024•金山区二模）已知集合，3，5，7，，，则．〖祥解〗求解指数方程化简，再由交集运算的定义得答案．【解答】解：，3，5，7，，，．故答案为：．【点评】本题考查交集及其运算，考查指数方程的解法，是基础题．5．（2023秋•宝山区期末）函数的定义域为．〖祥解〗令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出的范围即为定义域．【解答】解：要使函数有意义，需即故函数的定义域为故答案为：【点评】本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，属于基础题．6．（2023秋•普陀区校级期末）已知且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．〖祥解〗在函数的解析式中，令，即时，不论取且的任意值，都可得（2），即求出函数恒过的点的坐标．【解答】解：且，令，即时，不论取且的任意值，（2）恒成立，即函数恒过定点．故答案为：．【点评】本题考查对数型函数恒过定点的求法，属于基础题．7．（2024•浦东新区三模）已知，则（用表示）．〖祥解〗利用对数的运算性质求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．8．（2024•奉贤区三模）若，则．（结果用，的代数式表示）〖祥解〗由已知结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：若，则，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．9．（2024•长宁区二模）若，则1．〖祥解〗由已知结合指数与对数的转化公式及对数的运算性质即可求解．【解答】解：若，则，，．故答案为：1．【点评】本题主要考查了指数与对数的转化及对数的换底公式及运算性质的应用，属于基础题．10．（2024•静安区二模）函数的定义域为．〖祥解〗根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由题意得，，即，解得，．故答案为：．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．11．（2024•黄浦区校级模拟）已知集合，，则，．〖祥解〗先求出集合，，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．12．（2023秋•宝山区期末）设、为常数，若，，则函数的图像必定不经过第二象限．〖祥解〗根据指数函数的性质判断即可．【解答】解：时，函数过一二象限，将函数的图像向下平移个单位，则图像不过第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．13．（2023秋•宝山区校级期末）方程的解是6．〖祥解〗根据已知条件，结合真数大于0，即可求解．【解答】解：，则，解得．故答案为：6．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．14．（2023秋•虹口区期末）函数的定义域为．〖祥解〗根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得，解得，所以定义域为．故答案为：．【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．15．（2024•宝山区校级四模）已知正实数、满足，，则．〖祥解〗由已知结合对数的运算性质可得，的关系，然后结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为正实数、满足，解得，或，所以或，当时，，所以，即，，，当时，，即，，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．16．（2024•浦东新区校级模拟）函数的最小值为．〖祥解〗利用对数的运算性质化简，换元后再由二次函数求最值．【解答】解：函数的定义域为，，令，则，原函数化为，则当时，有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查导数的运算性质，训练了利用换元法及二次函数求最值，是基础题．17．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数则（3）1．〖祥解〗结合分段函数解析式，由内向外计算即可．【解答】解：由题意得，．所以（3），故答案为：1．【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．18．（2024•长宁区校级三模）已知，，则（用、表示）．〖祥解〗由已知结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：因为，，即，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．19．（2024•浦东新区校级四模）设，，若直线过曲线的定点，则的最小值为2．〖祥解〗根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：因为曲线过定点，所以，即，则，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题．20．（2024•闵行区三模）方程的解集为．〖祥解〗依题意得到，解得即可．【解答】解：因为，则，解得，所以方程的解集为．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数运算性质的简单应用，属于基础题．21．（2024•宝山区二模）将化为有理数指数幂的形式为．〖祥解〗利用根式与分数指数幂的互化求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题．22．（2024•青浦区二模）已知，，若，则满足条件的的取值范围是，，．〖祥解〗由题意可得，，然后结合对数函数的性质即可求解．【解答】解：因为，，若，则，即，所以或，解得或．故答案为：，，．【点评】本题主要考查了对数函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础题．23．（2024•闵行区校级二模）方程的解是．〖祥解〗由已知可得，等价转化为，由此解得的值．【解答】解：由方程，可得，，解得，故答案为．【点评】本题主要考查对数方程的解法，注意对数函数的定义域，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．24．（2023秋•静安区期末）下