2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题01 集合与逻辑（真题5个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题01集合与逻辑（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考第1题2024春考第21题补集充要条件与函数综合2023秋考第13题2023春考第1题元素与集合关系的判断集合相等2022年秋考13题、16题2022年春考2题集合的交集、集合与直线和圆综合集合的交集2021年秋考2题2021年春考14题集合的交集集合的基本运算2020年秋考1题2020年春考1题集合的交集集合的包含关系考点一．元素与集合关系的判断1．（2023•上海）已知，，，，若，，则A． B． C． D．，2，〖祥解〗根据题意及集合的概念，即可得解．【解答】解：，，，，，，．故选：．【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．考点二．两个集合相等的应用2．（2023•上海）已知集合，，，，且，则．〖祥解〗根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，，且，则．故答案为：2．【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．考点三．集合的包含关系判断及应用3．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是A． B． C． D．〖祥解〗根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解答】解：已知集合，，，，解得或，，，，；则，，故选：．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4．（2020•上海）集合，，，2，，若，则3．〖祥解〗利用集合的包含关系即可求出的值．【解答】解：，且，，，故答案为：3．【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．考点四．交集及其运算5．（2022•上海）若集合，，，则A．，，0， B．，0， C．， D．〖祥解〗根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：，，，，0，，故选：．【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．6．（2022•上海）已知集合，，集合，，则．〖祥解〗利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，，集合，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（2021•上海）已知，，0，，则，．〖祥解〗直接根据交集的运算性质，求出即可．【解答】解：因为，，0，，所以，．故答案为：，．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．8．（2020•上海）已知集合，2，，集合，4，，则，．〖祥解〗由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为，2，，，4，，则，．故答案为：，．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．考点五．补集及其运算9．（2024•上海）设全集，2，3，4，，集合，，则，3，．〖祥解〗结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，2，3，4，，集合，，则，3，．故答案为：，3，．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．考点六．充分条件与必要条件10．（2020•上海）命题：存在且，对于任意的，使得（a）；命题单调递减且恒成立；命题单调递增，存在使得，则下列说法正确的是A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件〖祥解〗对于命题：当时，结合单调递减，可推出（a），命题是命题的充分条件．对于命题：当时，（a），结合单调递增，推出，进而（a），命题都是的充分条件．【解答】解：对于命题：当单调递减且恒成立时，当时，此时，又因为单调递减，所以又因为恒成立时，所以（a），所以（a），所以命题命题，对于命题：当单调递增，存在使得，当时，此时，（a），又因为单调递增，所以，所以（a），所以命题命题，所以，都是的充分条件，故选：．【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．一．选择题（共24小题）1．（2024•浦东新区校级模拟）函数，其中、为实数集的两个非空子集，又规定，，，．给出下列四个判断，其中正确判断有①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个〖祥解〗由函数的表达式知，可借助两个函数与图象来研究，分析可得答案．【解答】解：由题意知函数、的图象如图所示，设，，，，，，，，，则．而，，故①错误．对于②，若，，，则，，，，则，故②错误．设，，，，，则．，，，，，，故③错误．④由③的判断知，当，则是正确的．故④对．故选：．【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路．2．（2024•闵行区二模）设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖祥解〗根据已知条件，“，解出或，再根据充分必要条件的定义进行判断；【解答】解：，“，或；，可得，或；“”是“”必要不充分条件；故选：．【点评】此题主要考查充分必要条件的定义，解题的关键是能够正确求解不等式，此题是一道基础题；3．（2024•黄浦区校级三模）设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：且，则“函数在上是减函数”，所以，“函数在上是增函数”所以；显然且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．4．（2024•黄浦区校级三模）设，，则“且”是“且”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件〖祥解〗由题意看命题“且”与命题“且”否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：且，且，若已知且，可取，，也满足已知，“且”是“且”的必要不充分条件，故选：．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．5．（2024•杨浦区校级三模）已知集合，，，，或，则A． B． C． D．，2，〖祥解〗结合元素与集合的关系，即可求解．【解答】解：、，、，或，故正确；故选：．【点评】本题以定义理解为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题．6．（2024•徐汇区校级模拟）已知集合，，则下列结论中正确的是A． B． C． D．〖祥解〗先求出集合，再根据交集和补集的定义结合集合间的关系逐一判断即可．【解答】解：或，则集合，不具有包含关系，故错误；，故错误；，，则，不具有包含关系，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题主要考查集合的交集和补集的运算，属于基础题．7．（2024•浦东新区三模）“”，是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗可看出充分性成立，而举个反例说明必要性不成立即可，最后即可得出正确的选项．【解答】解：时，，即成立，充分性成立；时，不等式成立，得不出，必要性不成立，“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义及判断方法，是基础题．8．（2024•长宁区校级三模）已知角，是的内角，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗利用三角形的边角关系和正弦定理，即可得出“”是“”的充要条件．【解答】解：中，“”等价于““，也等价于““，也等价于“”，其中为外接圆的半径；所以“”是“”的充要条件．故选：．【点评】本题考查了三角形的边角关系判断问题，是基础题．9．（2024•宝山区三模）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件〖祥解〗根据已知条件，推得，，，再对分类讨论，即可判断充分性；结合等比数列的前项和公式，即可判断必要性．【解答】解：若，且，则，，，故，当或时，，，则，当时，“，总有”，当时，，，即，综上所述，恒成立，故充分性成立，“，总有”，则，且，故必要性成立，综上所述，“，且”是“，总有”的充分必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．10．（2024•浦东新区校级模拟）设正数，，不全相等，，函数．关于说法①对任意，，，都为偶函数，②对任意，，，在，上严格单调增，以下判断正确的是A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误〖祥解〗根据题意，由函数奇偶性和单调性的判断方法分析2个命题，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析2个命题：对于①，，其定义域为，有，则为偶函数，①正确；对于②，可将展开表示为．考虑．若，其为常值；若，则当在上逐渐变大时，在上逐渐变大，由在上严格单调增，可知严格增；若，则将视为，类似知严格增．对与亦有类似结论．鉴于，，不全为1，故在上严格增，②正确．故选：．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．11．（2024•松江区二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是．那么A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，①是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题〖祥解〗根据题意，由等差数列和等差数列前项和的性质分析①的真假，由等比数列和等比数列前项和的性质分析②的真假，综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列，若，则在、、、中，至少有一项为0，假设，，，必有，反之，在等差数列中，若，则，，有，则成立，但不成立，故是的必要非充分条件，①正确；对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时，有，则，则、中，至少有一项为0，假设，则有，必有，又由，必有为偶数且，故，反之，若，则，必有，则有，，则，故若是等比数列且，，则的充要条件是，②正确．故选：．【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．12．（2024•闵行区校级二模）存在，使得的否定形式是A．存在，使得 B．不存在，使得 C．对任意的， D．对任意的，〖祥解〗根据特称命题的否定为全称命题判断即可．【解答】解：“存在，使得”的否定形式是“对任意的，”．故选：．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．13．（2024•虹口区模拟）以下四个命题：①函数最小值为3；②方程没有整数解；③若，则；④不等式的解集为．其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗根据题意，结合二次函数的性质分析的最小值，可得①错误，分析函数的零点情况，可得②正确，由对数的运算性质可得，设，结合的单调性分析可得③正确，举出反例可得④错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，由于，则，即函数最小值为4，①错误；对于②，设，易得在上为增函数，而（4），（5），则在上有且仅有一个零点，且零点在区间上，故方程，即程没有整数解，②正确；对于③，由于，则有，设，易得在上为增函数，必有，③正确；对于④，当时，，即在不等式的解集内，④错误；4个命题中正确的有2个．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及指数、对数函数的性质，属于基础题．14．（2024•嘉定区校级模拟）“”是“”的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要〖祥解〗分别判断充分性和必要性是否成立即可．【解答】解：时，，，所以，充分性成立；时，或，解得或，此时都满足题意，所以必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了组合数公式应用问题，是基础题．15．（2024•长宁区校级三模）设，集合，，，集合，对于集合有下列两个结论：①存在和，使得集合中恰有5个元素；②存在和，使得集合中恰有4个元素．则下列判断正确的是A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误〖祥解〗由题意可知，，，对于①举例分析判断即可，对于②，若，则，然后构造函数，利用导数结合零点存在定理可确定出，从而可进行判断．【解答】解：当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，因为，所以，，当，时，，，，，，，所以，，，，，有5个元素，所以①正确，若，则，得，令，则，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以当时，（2），所以在上单调递增，因为（2），（4），所以存在，使（b），即存在，成立，此时，所以存在和，使得集合中恰有4个元素，所以②正确．故选：．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．16．（2024•黄浦区校级三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解．【解答】解：因为，，，，，因为集合恰有8个子集，所以中含有3个元素且，结合诱导公式可知，或．故选：．【点评】本题主要考查了集合元素个数与集合子集个数的规律的应用，属于基础题．17．（2024•松江区二模）已知集合，，，则A．， B．， C．，1， D．，2，〖祥解〗利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合，，，，2，．故选：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．18．（2024•闵行区校级二模）已知集合，，，，，，若，则、之间的关系是A． B． C． D．〖祥解〗先设出复数，利用复数相等的定义得到集合看成复平面上直线上的点，集合可看成复平面上圆的点集，若即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【解答】解：设，则化简整理得，即，集合可看成复平面上直线上的点，集合可看成复平面上圆的点集，若即直线与圆没有交点，，即故选：．【点评】本题属于以复数为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．19．（2024•宝山区校级四模）设无穷等比数列的公比为，则“，”是“为严格增数列”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗举出反例分别判断充分性及必要性即可判断．【解答】解：无穷等比数列的公比为，则，时，不一定为严格增数列，例如，即充分性不成立；当为严格增数列时，不一定满足，，例如，即必要性不成立．故选：．【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列单调性的判断，属于基础题．20．（2024•浦东新区校级模拟）已知，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，当时，有，充分性成立；当时，可能，不一定有，可知必要性不成立．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．21．（2024•闵行区三模）已知，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖祥解〗“”“”，“”“或”，由此能求出结果．【解答】解：，则“”“”，“”“或”，“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22．（2024•黄浦区校级三模）在区间上，是函数在该区间严格增的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗根据题意利用导数研究函数的单调性，对两个条件进行正反推理论证，可得它们之间的充分和必要关系，进而得出正确答案．【解答】解：当在区间上成立时，函数在该区间单调递增；当在该区间单调递增时，可能，此时不成立，比如函数，在区间上单调递增，但，而不是．综上所述，是函数在该区间严格增的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．23．（2024•杨浦区校级三模）已知非空集合，满足以下两个条件：（ⅰ），2，3，4，5，，；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为A．10 B．12 C．14 D．16〖祥解〗分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．【解答】解：若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，，此时有1个，若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，，此时有，若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则，，不满足题意，若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，，即，，此时有，若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，，即，，此时有，故有序集合对的个数是，故选：．【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．24．（2024•青浦区校级模拟）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记△．下列命题中正确的是A．已知，，，，且△△，则 B．已知，，，若△，则对任意，，都有 C．已知，，，则存在实数，使得△ D．已知，，，，则对任意的实数，总存在实数，使得△〖祥解〗直接利用信息的应用和赋值法的应用利用函数的恒成立问题和存在性问题的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：已知，，，，且△△，则，故错误；对于：由于△知：，，则（1）（1）且但是不一定成立，比如，，故错误；对于：由题意知：，，当或时，（a），当时，（a），当时，，综上所述，△，故错误；对于：取，易知△，对于任意的实数，总存在使之成立，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：信息题，赋值法的应用，恒成立问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．二．填空题（共27小题）25．（2024•青浦区校级模拟）若集合，，，则实数2．〖祥解〗由已知结合集合的并集运算即可求解．【解答】解：因为集合，，，所以．故答案为：2．【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．26．（2024•松江区校级模拟）已知集合，，则．〖祥解〗根据交集的定义，解方程组即可得出．【解答】解：解得，．故答案为：．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．27．（2024•黄浦区校级三模）已知集合，2，3，，，则，．〖祥解〗由集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，2，3，，，则，．故答案为：，．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．28．（2024•崇明区二模）若集合，0，，或，则，．〖祥解〗利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，0，，或，，．故答案为：，．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．29．（2024•闵行区校级三模）已知集合，，则．〖祥解〗求出集合、，再根据交集的定义可得．【解答】解：由题意，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．30．（2024•徐汇区模拟）已知集合，集合，那么，．〖祥解〗先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合，，集合或，那么，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．31．（2024•杨浦区校级三模）已知集合，，则．〖祥解〗先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，或，故．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．32．（2024•闵行区校级模拟）已知集合，3，，，，若，则3．〖祥解〗利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，3，，，，，，解得．故答案为：3．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33．（2024•浦东新区校级三模）集合，集合，则，．〖祥解〗可求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，；，．故答案为：，．【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．34．（2024•普陀区模拟）已知，设集合，，，集合，，若，则2．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，集合，，，当时，等式不成立，舍去，当时，解得，此时，2，，，，满足题意，故．故答案为：2．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．35．（2024•闵行区二模）集合，，，，则，．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，，，．故答案为：，．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．36．（2024•杨浦区二模）已知集合，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．37．（2024•宝山区二模）已知集合，，，且，则实数的值为0．〖祥解〗由已知结合元素与集合的关系即可求解．【解答】解：因为集合，，，且，所以或，所以或，当时，，1，，符合题意，当时，，1，，与集合元素的互异性矛盾．故答案为：0．【点评】本题主要考查了元素与集合关系及集合元素的性质的应用，属于基础题．38．（2024•静安区二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为红，黄．〖祥解〗结合集合的表示法，即可求解．【解答】解：中国国旗上所有颜色组成的集合为红，黄．故答案为：红，黄．【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．39．（2024•黄浦区二模）集合，，，则，．〖祥解〗由并集运算可得．【解答】解：由集合，，，得，．故答案为：，．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．40．（2024•嘉定区二模）设集合，，，则，．〖祥解〗直接根据补集的运算求解即可．【解答】解：集合，，，，．故答案为：，．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．41．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，，则．〖祥解〗直接利用交集运算的定义求解．【解答】解：集合，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．42．（2024•嘉定区校级模拟）已知集合，，则〖祥解〗可求出集合，然后进行交集的运算即可．【解答】解：；．故答案为：．【点评】考查描述法、区间的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．43．（2024•宝山区校级四模）已知集合，且，则实数的取值范围是，．〖祥解〗由集合，且，可得，用区间表示可得的取值范围．【解答】解：集合，且，，实数的取值范围是：，，故答案为：，【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据子集的定义，得到，是解答的关键．44．（2024•宝山区三模）若集合，2，，，2，，则，1，2，3，．〖祥解〗利用并集定义直接求解．【解答】解：集合，2，，，2，，则，1，2，3，．故答案为：，1，2，3，．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．45．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，，，则．〖祥解〗根据指数、对数函数的性质可解集合、，再利用集合的交集运算可解．【解答】解：因为集合，，，则，故答案为：．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．46．（2024•长宁区二模）已知集合，，，3，，若，则2．〖祥解〗由已知结合集合的包含关系即可求解．【解答】解：因为集合，，，3，，若，则．故答案为：2．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．47．（2024•徐汇区校级模拟）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值的集合为，．〖祥解〗由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解．【解答】解：因为，，，，，因为集合恰有8个子集，所以中含有3个元素且，结合诱导公式可知，或，则的可能值的集合为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了集合元素个数与集合子集个数的规律的应用，属于基础题．48．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，，则．〖祥解〗利用交集定义、不等式性质直接求解．【解答】解：集合，，则．故答案为：．【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．49．（2024•浦东新区校级模拟）能够使得命题“曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为或的任意实数．〖祥解〗由题意可设，，由对称性可得，，，可得，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【解答】解：曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形，可设，，由对称性可得，，，则，即，即，由曲线的方程可得，即有解，即有，可得，解得或，故答案为：或的任意实数．【点评】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于基础题．50．（2024•嘉定区二模）若规定集合，1，2，，的子集，，，，为的第个子集，其中，则的第211个子集是，1，4，6，．〖祥解〗由可求解．【解答】解：因为，所以的第211个子集是，1，4，6，．故答案为：，1，4，6，．【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，属于中档题．51．（2024•宝山区校级四模）考虑，的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，，6，8，就满足此条件．则这样的子集共有144个．〖祥解〗列举出集合，的所有元素，根据中元素个数等于中的最小元素，确定集合的组成．即可得到满足条件集合的个数．【解答】解：由题意：集合，，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，，非空子集，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，，且中元素个数等于中的最小元素，满足条件的集合有：含有元素1的集合就1个，含有元素2的集合除2以外，再在3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，10个数中取1个数，有种，含有元素3的集合除3以外，再在4，5，6，7，8，9，10，11，12，9个数中取2个数，有种，含有元素4的集合除4以外，再在5，6，7，8，9，10，11，12，8个数中取3个数，有种，含有元素5的集合除5以外，再在6，7，8，9，10，11，12，7个数中取4个数，有种，含有元素6的集合除6以外，再在7，8，9，10，11，12，6个数中取5个数，有种，含有元素7，8，9，10，11，12的集合都不符合要求，共种．故答案为：144．【点评】本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用．属于基础题．专题01集合与逻辑（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考第1题2024春考第21题补集充要条件与函数综合2023秋考第13题2023春考第1题元素与集合关系的判断集合相等2022年秋考13题、16题2022年春考2题集合的交集、集合与直线和圆综合集合的交集2021年秋考2题2021年春考14题集合的交集集合的基本运算2020年秋考1题2020年春考1题集合的交集集合的包含关系考点一．元素与集合关系的判断1．（2023•上海）已知，，，，若，，则A． B． C． D．，2，〖祥解〗根据题意及集合的概念，即可得解．【解答】解：，，，，，，．故选：．【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．考点二．两个集合相等的应用2．（2023•上海）已知集合，，，，且，则．〖祥解〗根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，，且，则．故答案为：2．【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．考点三．集合的包含关系判断及应用3．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是A． B． C． D．〖祥解〗根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解答】解：已知集合，，，，解得或，，，，；则，，故选：．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4．（2020•上海）集合，，，2，，若，则3．〖祥解〗利用集合的包含关系即可求出的值．【解答】解：，且，，，故答案为：3．【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．考点四．交集及其运算5．（2022•上海）若集合，，，则A．，，0， B．，0， C．， D．〖祥解〗根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：，，，，0，，故选：．【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．6．（2022•上海）已知集合，，集合，，则．〖祥解〗利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，，集合，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（2021•上海）已知，，0，，则，．〖祥解〗直接根据交集的运算性质，求出即可．【解答】解：因为，，0，，所以，．故答案为：，．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．8．（2020•上海）已知集合，2，，集合，4，，则，．〖祥解〗由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为，2，，，4，，则，．故答案为：，．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．考点五．补集及其运算9．（2024•上海）设全集，2，3，4，，集合，，则，3，．〖祥解〗结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，2，3，4，，集合，，则，3，．故答案为：，3，．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．考点六．充分条件与必要条件10．（2020•上海）命题：存在且，对于任意的，使得（a）；命题单调递减且恒成立；命题单调递增，存在使得，则下列说法正确的是A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件〖祥解〗对于命题：当时，结合单调递减，可推出（a），命题是命题的充分条件．对于命题：当时，（a），结合单调递增，推出，进而（a），命题都是的充分条件．【解答】解：对于命题：当单调递减且恒成立时，当时，此时，又因为单调递减，所以又因为恒成立时，所以（a），所以（a），所以命题命题，对于命题：当单调递增，存在使得，当时，此时，（a），又因为单调递增，所以，所以（a），所以命题命题，所以，都是的充分条件，故选：．【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．一．选择题（共24小题）1．（2024•浦东新区校级模拟）函数，其中、为实数集的两个非空子集，又规定，，，．给出下列四个判断，其中正确判断有①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个〖祥解〗由函数的表达式知，可借助两个函数与图象来研究，分析可得答案．【解答】解：由题意知函数、的图象如图所示，设，，，，，，，，，则．而，，故①错误．对于②，若，，，则，，，，则，故②错误．设，，，，，则．，，，，，，故③错误．④由③的判断知，当，则是正确的．故④对．故选：．【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路．2．（2024•闵行区二模）设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖祥解〗根据已知条件，“，解出或，再根据充分必要条件的定义进行判断；【解答】解：，“，或；，可得，或；“”是“”必要不充分条件；故选：．【点评】此题主要考查充分必要条件的定义，解题的关键是能够正确求解不等式，此题是一道基础题；3．（2024•黄浦区校级三模）设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：且，则“函数在上是减函数”，所以，“函数在上是增函数”所以；显然且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．4．（2024•黄浦区校级三模）设，，则“且”是“且”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件〖祥解〗由题意看命题“且”与命题“且”否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：且，且，若已知且，可取，，也满足已知，“且”是“且”的必要不充分条件，故选：．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．5．（2024•杨浦区校级三模）已知集合，，，，或，则A． B． C． D．，2，〖祥解〗结合元素与集合的关系，即可求解．【解答】解：、，、，或，故正确；故选：．【点评】本题以定义理解为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题．6．（2024•徐汇区校级模拟）已知集合，，则下列结论中正确的是A． B． C． D．〖祥解〗先求出集合，再根据交集和补集的定义结合集合间的关系逐一判断即可．【解答】解：或，则集合，不具有包含关系，故错误；，故错误；，，则，不具有包含关系，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题主要考查集合的交集和补集的运算，属于基础题．7．（2024•浦东新区三模）“”，是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗可看出充分性成立，而举个反例说明必要性不成立即可，最后即可得出正确的选项．【解答】解：时，，即成立，充分性成立；时，不等式成立，得不出，必要性不成立，“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义及判断方法，是基础题．8．（2024•长宁区校级三模）已知角，是的内角，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗利用三角形的边角关系和正弦定理，即可得出“”是“”的充要条件．【解答】解：中，“”等价于““，也等价于““，也等价于“”，其中为外接圆的半径；所以“”是“”的充要条件．故选：．【点评】本题考查了三角形的边角关系判断问题，是基础题．9．（2024•宝山区三模）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件〖祥解〗根据已知条件，推得，，，再对分类讨论，即可判断充分性；结合等比数列的前项和公式，即可判断必要性．【解答】解：若，且，则，，，故，当或时，，，则，当时，“，总有”，当时，，，即，综上所述，恒成立，故充分性成立，“，总有”，则，且，故必要性成立，综上所述，“，且”是“，总有”的充分必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．10．（2024•浦东新区校级模拟）设正数，，不全相等，，函数．关于说法①对任意，，，都为偶函数，②对任意，，，在，上严格单调增，以下判断正确的是A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误〖祥解〗根据题意，由函数奇偶性和单调性的判断方法分析2个命题，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析2个命题：对于①，，其定义域为，有，则为偶函数，①正确；对于②，可将展开表示为．考虑．若，其为常值；若，则当在上逐渐变大时，在上逐渐变大，由在上严格单调增，可知严格增；若，则将视为，类似知严格增．对与亦有类似结论．鉴于，，不全为1，故在上严格增，②正确．故选：．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．11．（2024•松江区二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是．那么A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，①是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题〖祥解〗根据题意，由等差数列和等差数列前项和的性质分析①的真假，由等比数列和等比数列前项和的性质分析②的真假，综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列，若，则在、、、中，至少有一项为0，假设，，，必有，反之，在等差数列中，若，则，，有，则成立，但不成立，故是的必要非充分条件，①正确；对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时，有，则，则、中，至少有一项为0，假设，则有，必有，又由，必有为偶数且，故，反之，若，则，必有，则有，，则，故若是等比数列且，，则的充要条件是，②正确．故选：．【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．12．（2024•闵行区校级二模）存在，使得的否定形式是A．存在，使得 B．不存在，使得 C．对任意的， D．对任意的，〖祥解〗根据特称命题的否定为全称命题判断即可．【解答】解：“存在，使得”的否定形式是“对任意的，”．故选：．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．13．（2024•虹口区模拟）以下四个命题：①函数最小值为3；②方程没有整数解；③若，则；④不等式的解集为．其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗根据题意，结合二次函数的性质分析的最小值，可得①错误，分析函数的零点情况，可得②正确，由对数的运算性质可得，设，结合的单调性分析可得③正确，举出反例可得④错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，由于，则，即函数最小值为4，①错误；对于②，设，易得在上为增函数，而（4），（5），则在上有且仅有一个零点，且零点在区间上，故方程，即程没有整数解，②正确；对于③，由于，则有，设，易得在上为增函数，必有，③正确；对于④，当时，，即在不等式的解集内，④错误；4个命题中正确的有2个．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及指数、对数函数的性质，属于基础题．14．（2024•嘉定区校级模拟）“”是“”的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要〖祥解〗分别判断充分性和必要性是否成立即可．【解答】解：时，，，所以，充分性成立；时，或，解得或，此时都满足题意，所以必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了组合数公式应用问题，是基础题．15．（2024•长宁区校级三模）设，集合，，，集合，对于集合有下列两个结论：①存在和，使得集合中恰有5个元素；②存在和，使得集合中恰有4个元素．则下列判断正确的是A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误〖祥解〗由题意可知，，，对于①举例分析判断即可，对于②，若，则，然后构造函数，利用导数结合零点存在定理可确定出，从而可进行判断．【解答】解：当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，因为，所以，，当，时，，，，，，，所以，，，，，有5个元素，所以①正确，若，则，得，令，则，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以当时，（2），所以在上单调递增，因为（2），（4），所以存在，使（b），即存在，成立，此时，所以存在和，使得集合中恰有4个元素，所以②正确．故选：．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．16．（2024•黄浦区校级三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解．【解答】解：因为，，，，，因为集合恰有8个子集，所以中含有3个元素且，结合诱导公式可知，或．故选：．【点评】本题主要考查了集合元素个数与集合子集个数的规律的应用，属于基础题．17．（2024•松江区二模）已知集合，，，则A．， B．， C．，1， D．，2，〖祥解〗利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合，，，，2，．故选：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．18．（2024•闵行区校级二模）已知集合，，，，，，若，则、之间的关系是A． B． C． D．〖祥解〗先设出复数，利用复数相等的定义得到集合看成复平面上直线上的点，集合可看成复平面上圆的点集，若即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【解答】解：设，则化简整理得，即，集合可看成复平面上直线上的点，集合可看成复平面上圆的点集，若即直线与圆没有交点，，即故选：．【点评】本题属于以复数为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．19．（2024•宝山区校级四模）设无穷等比数列的公比为，则“，”是“为严格增数列”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗举出反例分别判断充分性及必要性即可判断．【解答】解：无穷等比数列的公比为，则，时，不一定为严格增数列，例如，即充分性不成立；当为严格增数列时，不一定满足，，例如，即必要性不成立．故选：．【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列单调性的判断，属于基础题．20．（2024•浦东新区校级模拟）已知，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，当时，有，充分性成立；当时，可能，不一定有，可知必要性不成立．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．21．（2024•闵行区三模）已知，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖祥解〗“”“”，“”“或”，由此能求出结果．【解答】解：，则“”“”，“”“或”，“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22．（2024•黄浦区校级三模）在区间上，是函数在该区间严格增的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗根据题意利用导数研究函数的单调性，对两个条件进行正反推理论证，可得它们之间的充分和必要关系，进而得出正确答案．【解答】解：当在区间上成立时，函数在该区间单调递增；当在该区间单调递增时，可能，此时不成立，比如函数，在区间上单调递增，但，而不是．综上所述，是函数在该区间严格增的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．23．（2024•杨浦区校级三模）已知非空集合，满足以下两个条件：（ⅰ），2，3，4，5，，；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为A．10 B．12 C．14 D．16〖祥解〗分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．【解答】解：若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，，此时有1个，若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，，此时有，若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则，，不满足题意，若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，，即，，此时有，若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，，即，，此时有，故有序集合对的个数是，故选：．【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．24．（2024•青浦区校级模拟）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记△．下列命题中正确的是A．已知，，，，且△△，则 B．已知，，，若△，则对任意，，都有 C．已知，，，则存在实数，使得△ D．已知，，，，则对任意的实数，总存在实数，使得△〖祥解〗直接利用信息的应用和赋值法的应用利用函数的恒成立问题和存在性问题的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：已知，，，，且△△，则，故错误；对于：由于△知：，，则（1）（1）且但是不一定成立，比如，，故错误；对于：由题意知：，，当或时，（a），当时，（a），当时，，综上所述，△，故错误；对于：取，易知△，对于任意的实数，总存在使之成立，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：信息题，赋值法的应用，恒成立问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．二．填空题（共27小题）25．（2024•青浦区校级模拟）若集合，，，则实数2．〖祥解〗由已知结合集合的并集运算即可求解．【解答】解：因为集合，，，所以．故答案为：2．【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．26．（2024•松江区校级模拟）已知集合，，则．〖祥解〗根据交集的定义，解方程组即可得出．【解答】解：解得，．故答案为：．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．27．（2024•黄浦区校级三模）已知集合，2，3，，，则，．〖祥解〗由集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，2，3，，，则，．故答案为：，．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．28．（2024•崇明区二模）若集合，0，，或，则，．〖祥解〗利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，0，，或，，．故答案为：，．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．29．（2024•闵行区校级三模）已知集合，，则．〖祥解〗求出集合、，再根据交集的定义可得．【解答】解：由题意，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．30．（2024•徐汇区模拟）已知集合，集合，那么，．〖祥解〗先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合，，集合或，那么，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．31．（2024•杨浦区校级三模）已知集合，，则．〖祥解〗先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，或，故．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．32．（2024•闵行区校级模拟）已知集合，3，，，，若，则3．〖祥解〗利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，3，，，，，，解得．故答案为：3．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33．（2024•浦东新区校级三模）集合，集合，则，．〖祥解〗可求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，；，．故答案为：，．【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．34．（2024•普陀区模拟）已知，设集合，，，集合，，若，则2．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，集合，，，当时，等式不成立，舍去，当时，解得，此时，2，，，，满足题意，故．故答案为：2．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．35．（2024•闵行区二模）集合，，，，则，．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，，，，．故答案为：，．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．36．（2024•杨浦区二模）已知集合，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．37．（2024•宝山区二模）已知集合，，，且，则实数的值为0．〖祥解〗由已知结合元素与集合的关系即可求解．【解答】解：因为集合，，，且，所以或，所以或，当时，，1，，符合题意，当时，，1，，与集合元素