高等数学（经济类-上册第2版）课件：函数最大值和最小值及其在经济学中的应用

1微分中值定理与导数应用函数最大值和最小值及其在经济学中的应用一、函数的最大值与最小值二、经济应用问题举例三、小结2

3一、函数的最大值与最小值1、闭区间上的连续函数闭区间上连续函数的性质必存在最大值、最小值极值可导点不可导点驻点函数求最值步骤计算函数在区间端点、驻点、不可导点处的函数值；第一步令寻找驻点和导数不存在的点；第二步比较这些函数值的大小，第三步最大者为最大值，最小者为最小值.4则驻点为和.求在上的最大值与最小值．例1解：在上连续，故必存在最大值与最小值．令在取得最大值10，因为所以，在取得最小值-22．5是在内唯一的极小值点，2、开区间内的连续函数在内连续是最大值点唯一的极大值点（小）（小）（1）唯一的极值点是最值点则唯一驻点为.求函数在内的最大值与最小值．例2解：在内连续，可导.令因为所以，即为最小值点．从而，6求函数在内的最大值与最小值．例2解：并且内在取得最小值故，没有最大值.

（2）实际应用问题求最大（小）值实际意义最大（小）值的存在性目标函数可导可疑点只有驻点唯一驻点唯一驻点即为所求7

制作一容积为1000ml的圆柱形油桶，例3解：如何设计最省材料？设油桶底面半径为，高为，表面积为

，则目标函数由油桶容积，可得则从而，目标函数令得唯一驻点由实际意义，该问题必存在最大值，处取得.从而必在唯一的驻点8底面半径，制作出的1000ml油桶最节省材料.此时因此，高度是底面半径的两倍，即等于底面直径时，

制作一容积为1000ml的圆柱形油桶，例3解：如何设计最省材料？9边际收益的变化率要小于边际成本的变化率.边际收益等于边际成本.这说明，取得最大利润的必要条件是，而取得最大利润的充分条件是，这表明，二、经济应用问题举例1、最大利润问题产量总利润总收入总成本则令10例4某工厂每批生产某产品件，成本（万元）收入为（万元），问每批产品生产多少件才能使利润最大？解：由题意，设利润为，则令则而因此，每批产品生产50件会获得最大利润40万元.又即是唯一的极大值点.112、最大收益问题例5该商品的需求函数为收益函数和边际收益，求该商品的最大需求量为6，其中表示需求量，为价格，如何定价可以使收益最大，多少？此时的产量应为多少？最大收益是解：由题意，设收益函数为，则故定价为时，边际收益令又而则有最大收益，此时产量为2.得唯一驻点.某工厂生产一批商品，123、经济批量问题假设某商品的全年需求量为，使库存费用和采购费用之和最小.经济批量问题：确定合理的采购进货批次和每批数量，批量即为最大库存量，全年分批采购，批量为

则

用表示每采购一批商品所需的采购费用，的采购费用为

从而，总费用为假设商品则平均库存量为.用表示单位商品库存一年则全年的库存费用为匀速消耗，所需费用，则全年13令即此时，全年库存费用与采购费用相等.可得，唯一驻点又从而，为最小值点.最小总费用为批量费用经济采购费用库存费用采购费用总费用这是从批量入手，也可以从采购批数入手.14例6某工厂生产某种产品，因此，而每件的年库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的，一批需要花费准备费1000元，年销售量为100万件，每生产且上批售完后立即生产下批，问应分为几批生产，能使采购费用及库存之和最小？平均库存数为批量的一半，解：由题意，设批数为，则一年的准备费为，批量为，平均库存数为，库存费为从而总费用为令得唯一驻点而即，是最小值点.能使总费用最小.应分为5批生产，154、定价问题例7时门票收入取得最大值某公园举办一次六一儿童节游园活动，据估计，若增加60人.观众将门票为每人8元，观众将有300人，且门票每降低1元，并求相应的门票收入.试确定当门票定价多少时可使门票收入最大，解：由题意，设门票为每人元，则观众数为，从而门票收入令则而即其相应的门票收入为2535元.当门票定价为6.5元时，因此，可使门票收入最