高等数学（经济类-上册第2版）课件：定积分的概念与性质

定积分定积分的概念与性质一、引例二、定积分的概念三、定积分的性质四、小结一、引例设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)为连续函数，且求该物体从时刻a到时刻b这段时间内所经过的路程.1、变速直线运动的路程解决思路：把整段时间分割成若干小段，在每个小时间段上，变速直线运动可以近似地看成匀速直线运动.求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值.最后通过对时间的无限细分，求得路程的精确值．

速度是随时间变化的变量，不能直接利用：

计算变速直线运动的路程.路程=速度*时间（1）分割用分点将[a,b]任意分成n个小区间：（2）近似任取作乘积则物体在这段时间内走过的路程（3）求和（4）取极限变速直线运动路程s的近似值为即当令时，取极限即得到路程的精确值.第i个小区间的的长度记为一、引例2、曲边梯形的面积解决思路：曲边梯形的高时变化的，与引例1类似，可以把曲边梯形分成若干个小曲边梯形，每个小曲边梯形的高可以近似是固定的，这样曲边梯形的面积就近似于若干个小矩形面积的和，最后通过对区间的无限细分，求得曲边梯形面积的精确值．曲边梯形：由连续曲线直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形.我们能否利用矩形面积来研究曲边梯形的面积？y0xaby=f(x)（1）分割用分点将[a,b]任意分成n个小区间：第i个小区间的长度记为（2）近似过作垂直于x轴的直线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形.小矩形面积为底，以为高的任取近似代替第i个曲边梯形的面积，即y0xaby=f(x)（3）求和将n个小矩形的面积求和，即得曲边梯形面积的近似值为（4）取极限当令时，取极限即得到曲边梯形面积的精确值.y0xaby=f(x)一、引例3、收益问题解决思路：曲边梯形的高时变化的，与引例1类似，可以把曲边梯形分成若干个小曲边梯形，每个小曲边梯形的高可以近似是固定的，这样曲边梯形的面积就近似于若干个小矩形面积的和，最后通过对区间的无限细分，求得曲边梯形面积的精确值．设某商品的价格p是销量x(连续变量)的函数p=p(x),当销售量从a增长到b时的收益R是多少？

由于价格随销售量的变化而变化，因此不能直接用销售量乘价格的方法计算收益！（1）分割用分点将[a,b]任意分成n个小区间，每个销售量段的销售量为（2）近似（3）求和（4）取极限把n段的收益相加，得收益的近似值为当令时，取极限即所求收益的精确值.则在这段的近似收益为任取把作为这段内的近似价格,二、定积分的概念定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界，(1)分割在[a,b]中插入n-1个分点把[a,b]分成n个小区间第i个小区间的长度记为(2)近似在每个小区间作乘积上任取一点(3)求和

将(2)所得的各近似值加起来，得(4)取极限如果无论[a,b]怎么分割记及点在区间上怎样选取，1、定积分的定义极限的值都为同一常数，则称f(x)在区间[a,b]上可积，并称此的极限值为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为即积分和积分号被积函数积分变量积分上限积分下限被积表达式[a,b]称为积分区间.注意：(1)定义中和式的极限存在是指，无论区间[a,b]怎么分割，点怎么选取，当时，和式的极限都存在且为同一个数.无关，即（2）定积分的值只与f(x)及[a,b]有关，与积分变量的字母（3）为了以后研究方便，补充规定：当时，当时，有了定积分的定义后，我们就可以用定积分把引例中所求的量用定积分表示出来：（1）变速直线运动的路程：（2）曲边梯形的面积：（3）收益问题：2、定积分存在的条件定理2若函数

f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理1若函数

f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上可积.注：（1）若函数可积，则函数一定有界；若函数有界，未必可积；无界函数一定不可积分.（2）定理2中的有限个间断点，一般为可去间断点.例1利用定义计算定积分解：由于定积分的值与区间的分法无关，我们将区间[0,1]n等分，每个区间的长度为分点为取于是有当时，必有则即3、定积分的几何意义当时，定积分表示曲边梯形的面积.当时，定积分表示曲边梯形的面积的负值.AA3、定积分的几何意义＋＋－－几何意义：函数f(x)与x轴所围图形面积的代数和，图形在x

轴上方取正，下方取负.例2利用定积分几何意义，写出的值.解：该定积分即为所围三角形的面积，即为三、定积分的性质性质1性质2（函数线性可加性）证明：由定积分的定义，有性质3（区间可加性）设a,b,c为三个实数，则有取时的极限，则有证明：时，由于函数

f(x)在区间[a,b]上可积，故定积分的值与区间的分法无关，取c作为分点,则当时，由上面证明，有当无论a,b,c的相对位置如何，总有这个等式成立！则有性质4（比较定理）当时，证明：由假设知且故上式极限值非负，从而有推论1（保号性）当时，推论2证明：因为由性质2和4，有即性质5（估值定理）设M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有证明：已知由性质4，得即性质6（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点使得证明：因为函数

f(x)在区间[a,b]上连续，故在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m，由估值定理即由连续函数的介值定理可知，存在使得即性质6（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点使得几何意义：在区间[a,b]上至少存在一点使得以区间[a,b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积的矩形等于同一底边而高为面积.称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值.yx0aby=f(x)例3估计定积分值的范围.解：先求函数在区间[-1,2]上的最值.由得又故有最大值M=1,最小值由估值定理，得例4比较定积分的大小.解：