高等数学（经济类-上册第2版）课件：定积分

定积分定积分的概念与性质一、引例二、定积分的概念三、定积分的性质四、小结一、引例设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)为连续函数，且求该物体从时刻a到时刻b这段时间内所经过的路程.1、变速直线运动的路程解决思路：把整段时间分割成若干小段，在每个小时间段上，变速直线运动可以近似地看成匀速直线运动.求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值.最后通过对时间的无限细分，求得路程的精确值．

速度是随时间变化的变量，不能直接利用：

计算变速直线运动的路程.路程=速度*时间（1）分割用分点将[a,b]任意分成n个小区间：（2）近似任取作乘积则物体在这段时间内走过的路程（3）求和（4）取极限变速直线运动路程s的近似值为即当令时，取极限即得到路程的精确值.第i个小区间的的长度记为一、引例2、曲边梯形的面积解决思路：曲边梯形的高时变化的，与引例1类似，可以把曲边梯形分成若干个小曲边梯形，每个小曲边梯形的高可以近似是固定的，这样曲边梯形的面积就近似于若干个小矩形面积的和，最后通过对区间的无限细分，求得曲边梯形面积的精确值．曲边梯形：由连续曲线直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形.我们能否利用矩形面积来研究曲边梯形的面积？y0xaby=f(x)（1）分割用分点将[a,b]任意分成n个小区间：第i个小区间的长度记为（2）近似过作垂直于x轴的直线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形.小矩形面积为底，以为高的任取近似代替第i个曲边梯形的面积，即y0xaby=f(x)（3）求和将n个小矩形的面积求和，即得曲边梯形面积的近似值为（4）取极限当令时，取极限即得到曲边梯形面积的精确值.y0xaby=f(x)一、引例3、收益问题解决思路：曲边梯形的高时变化的，与引例1类似，可以把曲边梯形分成若干个小曲边梯形，每个小曲边梯形的高可以近似是固定的，这样曲边梯形的面积就近似于若干个小矩形面积的和，最后通过对区间的无限细分，求得曲边梯形面积的精确值．设某商品的价格p是销量x(连续变量)的函数p=p(x),当销售量从a增长到b时的收益R是多少？

由于价格随销售量的变化而变化，因此不能直接用销售量乘价格的方法计算收益！（1）分割用分点将[a,b]任意分成n个小区间，每个销售量段的销售量为（2）近似（3）求和（4）取极限把n段的收益相加，得收益的近似值为当令时，取极限即所求收益的精确值.则在这段的近似收益为任取把作为这段内的近似价格,二、定积分的概念定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界，(1)分割在[a,b]中插入n-1个分点把[a,b]分成n个小区间第i个小区间的长度记为(2)近似在每个小区间作乘积上任取一点(3)求和

将(2)所得的各近似值加起来，得(4)取极限如果无论[a,b]怎么分割记及点在区间上怎样选取，1、定积分的定义极限的值都为同一常数，则称f(x)在区间[a,b]上可积，并称此的极限值为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为即积分和积分号被积函数积分变量积分上限积分下限被积表达式[a,b]称为积分区间.注意：(1)定义中和式的极限存在是指，无论区间[a,b]怎么分割，点怎么选取，当时，和式的极限都存在且为同一个数.无关，即（2）定积分的值只与f(x)及[a,b]有关，与积分变量的字母（3）为了以后研究方便，补充规定：当时，当时，有了定积分的定义后，我们就可以用定积分把引例中所求的量用定积分表示出来：（1）变速直线运动的路程：（2）曲边梯形的面积：（3）收益问题：2、定积分存在的条件定理2若函数

f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理1若函数

f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上可积.注：（1）若函数可积，则函数一定有界；若函数有界，未必可积；无界函数一定不可积分.（2）定理2中的有限个间断点，一般为可去间断点.例1利用定义计算定积分解：由于定积分的值与区间的分法无关，我们将区间[0,1]n等分，每个区间的长度为分点为取于是有当时，必有则即3、定积分的几何意义当时，定积分表示曲边梯形的面积.当时，定积分表示曲边梯形的面积的负值.AA3、定积分的几何意义＋＋－－几何意义：函数f(x)与x轴所围图形面积的代数和，图形在x

轴上方取正，下方取负.例2利用定积分几何意义，写出的值.解：该定积分即为所围三角形的面积，即为三、定积分的性质性质1性质2（函数线性可加性）证明：由定积分的定义，有性质3（区间可加性）设a,b,c为三个实数，则有取时的极限，则有证明：时，由于函数

f(x)在区间[a,b]上可积，故定积分的值与区间的分法无关，取c作为分点,则当时，由上面证明，有当无论a,b,c的相对位置如何，总有这个等式成立！则有性质4（比较定理）当时，证明：由假设知且故上式极限值非负，从而有推论1（保号性）当时，推论2证明：因为由性质2和4，有即性质5（估值定理）设M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有证明：已知由性质4，得即性质6（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点使得证明：因为函数

f(x)在区间[a,b]上连续，故在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m，由估值定理即由连续函数的介值定理可知，存在使得即性质6（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点使得几何意义：在区间[a,b]上至少存在一点使得以区间[a,b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积的矩形等于同一底边而高为面积.称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值.yx0aby=f(x)例3估计定积分值的范围.解：先求函数在区间[-1,2]上的最值.由得又故有最大值M=1,最小值由估值定理，得例4比较定积分的大小.解：在区间[1,2]上则故由比较定理，有例5求函数在区间[-1,1]上的平均值.解：由定积分的几何意义知故有例6证明不等式证明：由于得故由比较定理，有即四、小结1.三个引例：物理、几何、经济2.定积分的概念定积分的几何意义：曲边梯形的面积3.定积分的性质解决思路：分割、近似、求和、取极限定积分微积分基本定理一、积分上限的函数二、微积分基本定理三、小结一、积分上限的函数若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于区间内的任意一点x，1、变速直线运动的路程这个函数的自变量是积分上限x，因此称为积分上限的函数，一的定积分值与之对应，从而确定了一个以[a,b]为定义的新函

数.都有定积分存在，即对于每一个取定的x值，都有唯记为yx0xab定理1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在区间[a,b]上可导，且有证明：(1)当时，设则由积分中值定理，得其中，在x与之间，且当时，定理1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在区间[a,b]上可导，且有证明：于是，利用导数的定义及f(x)的连续性，得在(a,b)内的每一点都可导，且有由x的任意性知，(2)当x为端点时,若x=b，取同理可证同理可证若x=a，取推论设函数f(x)为连续函数，且存在复合函数和其中皆为可导函数，则证明：令a为f(x)的连续区间内取定的点，则由链式法则，有定理2（原函数存在定理）设函数f(x)为连续函数，那么函数是f(x)在区间[a,b]上的原函数.(2)定理2揭示了定积分与原函数之间的联系.注：(1)定理2说明：连续函数一定存在原函数.在引例变速直线运动的路程中,物体从a时刻到b时刻走过的路程为若物体位置函数为s(t),则从a时刻到b时刻走过的路程为从而有s(t)是v(t)的原函数，即定积分的值为原函数在积分区间上的增量，这对其他可积的函数也适用吗？设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数，则有二、微积分基本定理定理3（微积分基本定理）证明：由于F(x)和都是f(x)的原函数，则C为常数即令则由上式，令得微积分基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式.当a>b时，微积分基本公式仍成立.例1计算定积分解：例2计算定积分解：例3计算定积分解：的一个原函是则例4计算定积分例5设求解：利用区间可加性，有解：利用区间可加性，去掉绝对值，有被积函数带绝对值时，要根据积分区间去掉绝对值再积分.例6证明改进的积分中值定理：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)内至少存在一点使得证明：因为函数f(x)在[a,b]上连续，故存在原函数F(x)，则有对函数F(x)，由微分中值定理，有即解：求例7设例8设求解：解：求例9设熟记变限积分求导公式熟记变限积分求导公式例10求极限解：这是一个型的未定式，利用洛必达法则，有极限表达式中含变限积分时，不需要求出积分，而是先判断极限是否为的未定式，然后利用洛必达法则求极限.

三、小结1.积分上限的函数2.微积分基本定理变限积分的导数公式：微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）：定积分定积分的基本积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法三、小结一、定积分的换元法满足定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函（1）（2）函数在以为端点的区间上有连续的导数，且其值域为[a,b].则有定积分的换元公式证明：由题意知f(x)和都可积，且原函数都存在，设是的一个原函数，由牛-莱公式，有由于故是的一个原函数，由牛-莱公式，有故有注：（1）用换元法计算定积分时，应注意同时改变积分限，

即：换元要换限，不换元则不换限.积分限要对应；（2）当找到新变量的原函数后不必代回原变量，直接

用牛顿-莱布尼兹公式即可；（3）求定积分时，代换的选取原则与用换元法求相应的不定积分的方法完全相同；（4）定积分的换元法也可以反过来使用，即例1计算定积分解：令则当x=0时，t=0；当x=2时，于是还能用什么方法计算？例2计算定积分解：令则当x=0时，t=0；当时，t=1，于是也可以不写换元过程，直接积分，有可以直接凑微分牢记：换元则必换限，不换元则不换限！例3计算定积分解：令则当x=1时，t=0；当时，于是定积分的根式

换元法.例4设函数解：令则当x=0时，

t=1;当x=2时，t=1；求定积分分段函数求定积分，要先换元，再利用区间可加性计算.于是例5计算定积分解：由于故有例6(奇偶函数的积分)设函数f(x)在区间[-a,a]上连续，证明证明：(2)

当f(x)为区间[-a,a]上的奇函数时，(1)

当f(x)为区间[-a,a]上的偶函数时，由区间可加性，有对于右端第一个积分，令x=-t,则dx=-dt，x=-a时，t=a;x=0时，t=0,由此得于是有例6(奇偶函数的积分)设函数f(x)在区间[-a,a]上连续，证明证明：(2)

当f(x)为区间[-a,a]上的奇函数时，(1)

当f(x)为区间[-a,a]上的偶函数时，(1)

当f(x)为偶函数时，则有(2)

当f(x)为偶函数时，则有注：例7计算定积分(1)奇函数在对称区间上的积分等于0；解：故由例6的结论有函数在对称区间[-1,1]上是连续的奇函数，(2)偶函数在对称区间上的积分等于在y轴一侧区域

上积分的2倍.例8若函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明并由此计算证明：令则当x=0时，t=;当x=时，t=0；于是有故移项整理得利用这一结论，我们来计算显然故有上式可作为公式使用，例如可直接写出二、定积分的分部积分法定理2

设函数，在上有连续的导函数，则有证明：因为故是在区间[a,b]上的一个原函数，由牛-莱公式，得移项，即得可简记为定积分的分部积分

公式.例9计算定积分解：由分部积分公式，得例10计算定积分解：令则当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.于是证明：例11证明其中n为正整数.并求令则当x=0时，当时，t=0故例11证明其中n为正整数.并求证明：移项并整理可得递推公式：易得当n为正奇数时，当n为正偶数时，综上，我们有：例12计算定积分解：华里士公式.三、小结1.定积分的换元法2.定积分的分部积分法注意：积分要对应；换元要换限，不换元则不换限对称区间上奇偶函数的定积分华里士公式定积分反常积分与函数一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分（瑕积分）三、函数四、小结一、无穷限的反常积分定义1(1)设函数

f(x)在区间上连续，任取b>a，存在，则称此极限值为函数f(x)在区间上的反常积分，记作即若极限此时也称反常积分收敛，如果极限则称反常积分发散.不存在，(2)设函数

f(x)在区间上连续，若极限类似地，可定义存在，则称此极限值为函数f(x)在区间上的反常积分，即记作此时也称反常积分收敛，如果极限则称反常积分发散.不存在，(3)设函数f(x)在区间上连续，若极限同时收敛，则称反常积分收敛.即上述2个反常积分之和为函数f(x)在区间上的反常积分，否则称反常积分发散.上述定义的反常积分统称为无穷限的反常积分.设函数

F(x)为f(x)在区间上的原函数，如果记当不存在时，反常积分发散.其他情形类似.无穷限的广义积分的计算则当存在时，此时，反常积分收敛.例1计算反常积分解：下方，几何意义:表示位于函数x轴上方图形的面积.能应用对称区间上奇偶函数的定积分的结论吗？例2判断反常积分的敛散性，若收敛求其值.解：的原函数为由于不存在，故反常积分发散.例3计算反常积分解：例4计算反常积分解：解：例5证明反常积分当p>1时收敛，当时发散.当p=1时,当

时,收敛发散发散所以，反常积分当p>1时收敛，当时发散.二、无界函数的反常积分（瑕积分）如果函数f(x)在点a的任意邻域内都无界，则a称为f(x)的瑕点.例如点x=2是函数的瑕点；点x=0是函数的瑕点.定义2(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续，a为其瑕点.若对任意t:a<t<b，极限存在，则称此极限值为函数f(x)

在区间(a,b]上的反常积分，又称为瑕积分，记作即此时，称瑕积分收敛，如果极限不存在，就称瑕积分发散.类似地，可定义

(2)设函数f(x)在区间[a,b)上连续，b为其瑕点.若对任意t:a<t<b，极限存在，则称此极限值为函数f(x)

在区间[a,b)上的反常积分，记作即此时，称瑕积分