高等数学（经济类-上册第2版）课件：不定积分的概念与性质

不定积分不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、基本不定积分公式四、不定积分的性质五、小结

在中，我们已经学习了求给定函数的导函数的方法，本章主要讨论其反问题，即求某一区间的一个未知函数，使其在该区间上的导函数恰好是已知函数,这种由已知导数求原来函数的逆运算称为不定积分，本章将介绍不定积分的概念及其各种计算方法.如果，则称f(x)为F(x)的导函数，那么F(x)为f(x)的什么呢？

在区间(-1,1)中一、原函数与不定积分的概念定义1设在区间I上，有或则称，F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.因此，在(-1,1)中，是的一个原函数.

是比如:的原函数.

在整个实数集，因此，在是的原函数.问题：(1)在什么条件下，一个函数存在原函数？(2)如果f(x)有原函数，原函数是唯一的吗？

若不唯一，原函数之间有什么关系？简言之：连续函数一定有原函数.如果f(x)在区间I上连续，则f(x)一定在区间I上存在原函数.

定理1（原函数存在定理）

注：由于初等函数在其定义区间上是连续的，因此，初等函数在其定义区间上都存在原函数.定理2设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F(x)+C也为f(x)在区间I上的原函数，其中C为任意常数.（2）f(x)在区间I上的任意两个原函数相差一个常数.证（1）由于F(x)为f(x)在区间I上的原函数，即成立.因而

由原函数的定义知，对任意的常数C,F(x)+C也为f(x)在区间I上的原函数.定理2设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F(x)+C也为f(x)在区间I上的原函数，其中C为任意常数.（2）f(x)在区间I上的任意两个原函数相差一个常数.证令（2）设F(x)和都为f(x)在区间I上的一原函数，则有则有因此，必有常数，不妨记为C,则

定理2说明，如果一个函数存在原函数，那么原函数将有无穷多个，并且彼此之间相差一个常数.定义2在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为

函数f(x)的不定积分，记作任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量由定义可知，若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)的不定积分可以表示为可见，一个函数的不定积分是一族函数.例1求解：因为则，是x的一个原函数，因此例2求解：因为因此二、不定积分的几何意义若F(x)为f(x)的一个原函数，则称y=

F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.显然，

f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的积分曲线族，它可由f(x)的某一条积分曲线y=F(x)沿着y轴方向上下平移而得到.曲线族中的每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行.例3设曲线通过点(0,0)

，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标2倍，求此曲线.解：设所求曲线为y=f(x),(x,y)为曲线上任意一点，由导数几何意义和题设条件有所以，将条件x=0,y=0代入，有C=0因此，所求曲线方程为三、基本不定积分公式根据求导公式可得出积分公式.K为常数；例5求解由不定积分的基本公式知，例4求解由不定积分的基本公式知，四、不定积分的性质性质1或性质2或性质3性质4微分运算(d)和不定积分()的运算是互逆的！d使函数还原，d使函数相差一个常数.例6求解例7求解例8求解例10求例9求解解例12求