高等数学（第二版）下册课件：函数的幂级数展开

函数的幂级数展开8.4.1泰勒级数8.4.2函数展开为幂级数1.函数

在处的阶泰勒展开式：泰勒系数;2.阶导数公式：拉格朗日余项

，预备知识

介于与之间8.4.1泰勒级数假设函数在的某邻域内能展成幂级数,则有邻域内具有任意阶导数,对上式求n阶导数,得

根据幂级数的和函数的性质知,和函数的这个在那么幂级数的系数由上式确定,该幂级数变为则有这就表明如果函数

能展成幂级数,幂级数(1)叫作函数在处的泰勒级数，展开式(2)叫作函数在点处的泰勒展开式．在由以上讨论可知,函数内能展开成幂级数的充要条件是泰勒展开式(2)成立,也就是泰勒级数(1)在内收敛,且收敛到.而

的展开式为定理8.10如果函数在点的某个领域内具有各阶导数,则在这个邻域内能展成泰勒级数的充分必要条件为在该邻域内的任一点,的泰勒公式中的拉格朗日余项证明：

函数的阶泰勒公式为其中是拉格朗日余项,满足：.是介于和x之间的某个数．而叫作函数的次泰勒多项式,则有必要性：若函数能展成泰勒级数,根据级数收敛的定义有充分性：设,由泰勒公式则可见泰勒多项式即为泰勒展开式的前项部分和．即的泰勒级数在这个邻域内收敛,并且收敛到不难看出，如果函数在某个邻域内能展成的幂级数的话,那么这个幂级数就一定是泰勒级数,即函数的幂级数展开式是唯一的．如果函数能在某个区间上展开成幂级数,那么它在这个区间上必须具有任意阶导数,换句话说,如果一个函数没有任意阶导数，那它是不可能展成幂级数的．特别地,如果,则级数(1)为级数(3)称为麦克劳林级数,如果函数在原点的一个邻域内展成的幂级数,即我们把展开式(4)称为函数的麦克劳林展开式．8.4.2函数展开为幂级数把函数展成的幂级数的主要方法有直接展开法和间接展开法．1．直接展开法利用泰勒公式或者麦克劳林公式,把函数展开成x的幂级数的步骤如下．第一步：求出函数的各阶导数,如果在处,某阶导数不存在,则停止进行,例如在处,的一阶导数不存在,它就不能展成为幂级数．第二步：求出及其各阶导数在处的值：第三步：写出对应的幂级数并求出收敛半径．第四步：在收敛区间内,计算如果极限为零,则函数在收敛域区间内的幂级数展开式为如果极限不为零,则幂级数虽然收敛,可是它的收敛和不是．例8.4.1把函数展成麦克劳林级数．分析

利用直接展开法的一般步骤.解所以则得到级数它的收敛半径为,收敛区间为．对于,,其中是一个有限的数,而级数是正项级数,且因为这个正项级数收敛,则利用收敛级数收敛的必要条件知．当时,有,即,因此展开式为在点附近,可以用多项式来近似代替函数,并且项数越增加,多项式就越接近函数．

例8.4.2

把函数展成x的幂级数．分析

利用直接展开法步骤.解则得到级数,收敛区间为它的收敛半径为．．对于,,其中,当时,有,即,因此的展开式为*例8.4.3把函数展成的幂级数,其中为任意实数．解

因为所以,则得到级数.它的收敛半径为,收敛区间为,可以证明对于,因此的展开式为：在端点处级数的敛散性取决于实数m的值．上述展开式叫作函数的二项展开式,当m是整数的时,级数就变成

x的有限项多项式,即是代数学中的二次多项式展开式．当时有2.间接展开法.前面已经求得的函数的幂级数展开式有利用这几个幂级数展开式可以求许多函数的幂级数展开式．.

例8.4.4把函数展成的幂数．

解

因将上式逐项求导得分析：利用的幂级数展开式及关系式：分析利用的幂级数展开式及关系式:解将上式逐项求积分得,.所以

例8.4.5把函数展成的幂级数．当时,级数收敛,时,级数发散．.分析利用的幂级数展开式得到的幂级数展开式,并利用关系式：解将上式逐项求积分得.当时,对应的级数均为收敛的级数．所以

例8.4.6把函数展成

的幂级数．

例8.4.7把函数展成

的幂级数．分析利用的幂级数展开式及关系式：解由得...*例8.4.8把函数展成的幂级数．分析将的幂级数展开式直接代入,并整理同类项.解所以

例8.4.9把函数展成的幂级数．分析将写成含有的形式：,展开后，利用的幂级数展开式.解因且所以有

例8.4.10把函数展成的幂级数．分析将函数拆成两部分：