高等数学（第二版）下册课件：二重积分的计算

7.2.2直角坐标计算二重积分步骤7.2.1二重积分区域类型7.2.3利用极坐标计算二重积分

二重积分的计算及交换二次积分次序定义7.2X-型区域.7.2.1二重积分区域类型

如果积分区域，，是为上的连续函数，则称其中为X-区域..

和轴的直线所围的带状区域与上封线函数和下封线函数共同围成封闭区域，因而穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.特点：平行于为底、以为顶的曲顶柱体的体积，应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，有由几何意义知，为以积分的二次积分.此为先对积分,后对

特别地，切记在X-型区域的划分中一定要满足下限小于上限：

我们可用“穿线法”.来确定下限函数

和上限函数

，用平行轴的直线自

轴负方向穿向

轴正方向（自下

向上）,首先触碰的函数为下限函数

，次后触碰的函数自然就是上限函数

.于，如果积分区域定义7.3Y-型区域其中，是上的连续函数，则称为Y-型区域.特点：平行于轴的直线所围的带和状区域与右封线函数和左封线函数共同围成封闭区域，因而穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.类似X-型区域，如果区域为Y-型区域，则二重积分的计算公式为相应地，亦可使用”穿线法“来确定下限函数积分的二次积分.积分，后对此为先对轴负方轴的直线自，用平行于和上限函数，轴正方向（自左向右），首先触碰发函数为向穿向次后触碰的函数为.特别地，如果积分区域然后在每块积分区域上应用相应的公式，再根据二重积Y-型区域，可以将其分割成若干个X-型区域、Y-型区域，分对积分区域的可加性，就可以计算出所给的二重积分.即：既不是X-型区域也不是特殊情况下，当更为特殊地，如果积分区域是上述的矩形而被积函数时，有，的边界是与坐标轴平行的矩形时，有可以分离成两个一元函数的乘积，即（）7.2.2

直角坐标计算二重积分步骤、

交换二次积分次序(1)在直角坐标系下计算二重积分的步骤①确定积分函数，画出积分区域

，求出边界曲线的交点．④计算—把二重积分转化为二次积分．②根据

的形状和

的性质确定积分次序．③确定积分限（注意：无论

-型区域还是

-型区域，都必须满足下限

上限）．③重新写出二重积分．(2)交换二次积分次序①对于给定的二重积分，先确定积分限，画出积分区域．②根据积分区域的图形，按新的次序确定积分区域的积分限．(3)根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化二重积分①如果积分区域关于

轴对称，被积函数是

的奇函数，则二重积分为零．④如果积分区域关于

轴对称，被积函数是

的偶函数，则二重积分为半区域的两倍．③如果积分区域关于

轴对称，被积函数关于

是奇函数，则二重积分为零．②如果积分区域关于

轴对称，被积函数是

的偶函数，则二重积分为半区域的两倍．例7.2.1计算解

方法1可把分析画出积分区域所围闭区域.，及是由直线，其中X-型区域或Y-区域，带入公式.，将其写成于是，，看成是X-型区域：，方法2也可把看成是Y-型区域：，于是，，例7.2.2计算，将其写成X-型区域或Y-型区域，带入公式画出区域，其中分析解例7.2.3改变解的积分次序.分析仍需画出积分区域，辨识当前积分域型，转换为对称域型即可.由将区域转换为Y型域：例7.2.4

求

，

是由

和

所围成的闭区域．解首先画出积分区域（见图7-11）.由于

“积不出来”，只能作为“

-型区域”．===例7.2.5

计算

，其中

是由直线

及抛物线

所围成的闭区域．解首先画出积分区域.积分区域

可表示为:

于是

积分区域也可以表示为

，其中

，于是

此时计算复杂.例7.2.6

求两个底圆半径都等于

的直交圆柱面所围成的立体的体积．解设这两个圆柱面的方程分别为

及

，利用立体关于坐标平的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积

，然后再乘以8就得出立体体积.第一卦限部分是以

为底、以

为顶的曲顶柱体．于是例

7.2.7

求由

与

所围成的图形（见图）的面积（两部分都要计算）．解7.2.3利用极坐标计算二重积分1.极坐标体系下面积的确定.以从极点O出发的一簇射线及以

极点为中心的一簇同心圆构成的网格区域D分为n个小闭区域,如图所示，小闭区域

的面积为其中

表示相邻两圆弧的半径平均值.在

内取点

，设其直角坐标为

，则有

.于是即补：直角坐标与极坐标的关系（1）极点在区域D内，区域的边界为

，显然

的取值范围为

，

的取值范围为

，则2.极点和积分区域的位置关系.（2）极点在区域D

外，如果从极点作两条射线

，把区域的边界分为两个单值部分

和

，显然在区域内的点

，

，则

（3）极点在区域D边界上，从极点作两条射线与区域相切，切线为

和

，显然曲线上的点

，

，则例7.2.8计算

，其中

由中心在

原点，半径

为的圆周围成.解在极坐标系中，闭区域

可表示为

，

，于是例7.2.9设区域D为