高等数学（第二版）下册课件：二重积分的概念与性质

二重积分

§7.1二重积分的概念与性质§7.2二重积分的计算§7.3二重积分的应用7.1.2二重积分的性质7.1.1二重积分的概念

二重积分的概念与性质7.1.1二重积分的概念

引例1曲顶柱体的体积现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积..上连续,这种立体叫作曲顶柱体.设有一立体，它的底是面上的闭区域,它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面,这里且在它的顶是曲面第一步分割些小闭区域的边界曲线为准线,作母线第二步近似分成个小区域用一组曲线网把分别以这轴的柱平行于面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体．的平顶柱体的体积为在每个中任取一点,以为高而底为第三步求和第四步取极限整个曲顶柱体体积的近似值．为求得曲顶柱体体积的精确值，将分割加密只需取极限，即其中是每个小区域的直径中的最大值．这个平顶柱体体积之和可以认为是

引例2平面薄片的质量且在上连续．现在要计算该薄片的质量它在点处的面密度为，这里面上的闭区域设有一平面薄片占有第一步分割第二步近似把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：用一组曲线网把分成个小区域第三步求和第四步取极限将分割加细，取极限，得到平面薄片的质量：各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值：其中是每个小区域的直径中的最大值．.从以上的两个引例可以看出，虽然问题不同，但是经过“分割、近似、求和、取极限”后都可以归结为同一和式的极限．在几何、力学、物理和工程技术中还有大量类似的问题都可以归结为这种类型和式的极限．为了从数学上给出解决这类问题的一般方法，我们抽象出其数学结构的特征，给出二元函数定积分的概念．.取法无关，则称在平面区域上可积，并称此极限定义7.1设是有界区域上的有界函数，将域，也代表它的面积，在每个上取点，作乘积，并求和，此和式称为积分和．用表示的直径，且．如果极的限存在，且与的分割方法以及为在上的二重积分，记作．其中分成个小区域，用代表第个小区称为被积函数，称为面积元素，称为积分区间．.

注：(1)直角坐标系中的面积元素．如果在直角坐标系中那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域．叫作直角坐标系中的面积元素．用平行于坐标轴的直线网来划分设矩形闭区域的边长为和则，因此在直角坐标系中有时也把面积元素记作，而把二重积分记作，其中.

(2)二重积分的存在性．当在闭区域上连续时积分和的极限是存在的，也就是说函数在上的二重积分必定存在．我们总假定函数在闭区域上连续，所以在上的二重积分都是存在的．.

的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如(3)二重积分的几何意义．如果是正的，柱体就在果在某些区域上是正的，而在其他区域上是负的,就是上这些区域上曲面体积的代数和．则如果是负的，柱体就在面的下方，二重积分面的上方，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积．.

解

取则分成个小正方形将分析根据定义，将区域均匀分割，近似替代求和.按定义计算二重积分，其中例7.1.17.1.2二重积分的性质

性质1设

为常数，则

性质2如果积分区域可以分解为和两个部分，则

性质3当被积函数时，二重积分的值等于区域

的面积，即区域的面积为性质4如果在上有，那么性质5如果在上的最大值和最小值分别为和，

区域的面积为，则特殊地，由于，则性质6(中值定理)设在上连续，则在上至少存在一点，使证明由性质5可得，由于是介于和之间的数值，由闭区域上连续函数的介值定理可知，使，在上至少存在一点这个值也是在上的平均值.注(2)性质2表明二重积分的积分区域具有可加性，把积分

区域拆分,并确定拆分后每个积分区域的类型，计算相

应区域二重积分的值，最后求和．可以把它推广至多

个部分．(3)性质3实质就是计算积分区域的面积．(1)性质1表明二重积分满足线性运算．(4)二重积分是把一维区间上的定积分推广到平面区

域，除了积分区域的差异之外，关于二重积分作为

和式的极限，关于二重积分的存在性及有关性质都

与定积分相仿．因而处理定积分问题的方法与技巧

也能适用于二重积分的问题．例7.1.2比较二重积分和的大小，其中是由圆周

围成的区域.分析利用相同区域上函数值大则积分值大的性质，做函数值估计和比较.解考虑在上的取值与1的关系，由于圆心到直线

的距离等于,恰好是圆的半径，所以为圆的切线，因此在上处处有，于是根据二重积分的性质有例7.1.3估计二重积分的值，