高等数学（第二版）上册课件：洛必达法则

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3.2.2∞/∞型不定式的极限3.2.10/0型不定式的极限3.2.3其它类型的未定式小结思考题

洛必达法则上节回顾1罗尔定理本节研究1不定型极限

2拉格朗日定理3柯西中值定理2洛必达法则30/0型不定式的极限4∞/∞型不定式的极限5其它类型的未定式1不定型极限

回忆极限的四则运算法则:则如果则不存在如果四则运算法则不能用！两个无穷小量之比的极限和两个无穷大量之比的极限称为不定式极限。不定型极限形式:（1）如果称为型不定型极限（2）如果称为型不定型极限不定型不定型不定型2洛必达法则定义

在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定不定式的值的方法称为洛必达法则。30/0型不定式的极限

定理3.5

（洛比达法则）若函数与满足下列条件：的某去心邻域内可导且，，(3)则

(1)在(2)(洛必达法则)(即存在或为)(

在x,a

之间)则故在以x,a为端点的区间上满足柯西定理条件,证无妨假设在指出的邻域内任取推论1定理1中换为之一,推论2若满足定理1条件,则定理1仍然成立.

型，且.定理3.6

若函数与满足下列条件：，在与且，，，，

．(1)内可导，(2)(3)则

进一步地，若极限仍是型的未定式，此时与仍满足适用洛比达法则的条件，则可继续对其运用洛比

（若存在的话）．达法则，即【例3.2.1】

求

（）．解【例3.2.2】求解

定理3.7（洛必达法则）

连续使用洛必达法则.

=33.2.3其他类型

.其他5种，分别如下：

=0故

=0使用洛必达法则求取极限的注意事项：（1）洛必达法则的使用一定要符合法则条件，即

侯必须做到每次使用法则都要检验条件是否符合.（2）要注意洛必达法则里的条件③是结论成立的充分条件而非必要条件.即使用洛必达法则不能求取极限不能证明其极限不存在.据此做法极限不存在，洛必达法则的条件不满足，在此不适用，但事实上这个极限是存在的.正确的做法应该是=1+0

=1例如：

（3）在求极限时，应使用等价无穷小替换等方法尽可能先简化再求导.

应灵活运用，以达到简便易求.注：洛必达法则

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