2025届江苏省徐州一中高三考前热身数学试卷含解析

2025届江苏省徐州一中高三考前热身数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（）A． B．C． D．4．设是虚数单位，若复数，则（）A． B． C． D．5．已知复数，则（）A． B． C． D．6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A． B．1 C． D．i7．已知,则()A． B． C． D．8．等比数列的前项和为，若，，，，则（）A． B． C． D．9．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（）A． B． C． D．10．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A． B． C． D．11．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．12．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（）条件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_____．14．展开式的第5项的系数为_____.15．若向量满足，则实数的取值范围是____________.16．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值．18．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.19．（12分）已知函数，其中为实常数.（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.20．（12分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.21．（12分）等比数列中，．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)记为的前项和．若，求．22．（10分）已知等差数列中，，数列的前项和.（1）求；（2）若，求的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2、A【解析】

可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可【详解】可求得直线关于直线的对称直线为，当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当与（）相切时，得，解得；当与（）相切时，满足，解得，结合图像可知，即，故选：A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题3、A【解析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率：，（c为半焦距;a为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图：则所以,,故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.4、A【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数，∴，，则，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5、B【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.6、A【解析】

由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.【详解】解：∵，∴，，则化为，∴z的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.7、B【解析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．8、D【解析】试题分析：由于在等比数列中，由可得：，又因为，所以有：是方程的二实根，又，，所以，故解得：，从而公比；那么，故选D．考点：等比数列．9、A【解析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题10、D【解析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.11、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.12、A【解析】

根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”，则，即，化简得：，又，，，则是递增数列，是递增数列，“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【详解】由函数图象的平移变换公式可得,函数的图象向右平移个单位后,得到的函数解析式为,因为函数，所以函数与函数的图象重合,所以,即,因为,所以.故答案为:【点睛】本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.14、70【解析】

根据二项式定理的通项公式，可得结果.【详解】由题可知：第5项为故第5项的的系数为故答案为：70.【点睛】本题考查的是二项式定理，属基础题。15、【解析】

根据题意计算，解得答案.【详解】，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.16、20【解析】

根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）【解析】

（1）如图，作，交于，连接.因为，所以是的三等分点，可得.因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面.因为，、平面，所以平面平面，所以平面.（2）因为是等边三角形，，所以.又因为，，所以，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，.设为平面的法向量，则，即，令，可得.设为平面的法向量，则，即，令，可得.所以，则，所以二面角的正弦值为.18、（1）（2）是定值，详见解析【解析】

（1）根据长轴长为，离心率，则有求解.（2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，再根据求解.【详解】（1）依题意得，解得，则椭圆的方程.（2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）将所求问题转化为在上有解，进一步转化为函数最值问题；（2）将所证不等式转化为，进一步转化为，然后再通过构造加以证明即可.【详解】（1），根据题意，在内存在单调减区间，则不等式在上有解，由得，设，则，当且仅当时，等号成立，所以当时，，所以存在，使得成立，所以的取值范围为。（2）当时，，则，从而所证不等式转化为，不妨设，则不等式转化为，即，即，令，则不等式转化为，因为，则，从而不等式化为，设，则，所以在上单调递增，所以即不等式成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先算出的长度，利用勾股定理证明，再由已知可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得为直线与平面所成的角，要使其最大，则应最小，可得为中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.【详解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由题意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点.，，，，，，，设平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，设平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.21、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设数列的公比为，，，或.（2）时，，解得；时，，无正整数解；综上所述.【点睛】本题主