高等数学（经济类）全书习题解答第9章（级数）

PAGEPAGE1习题解答习题9.1写出下列级数的一般项：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）（2）（3）（4）2．已知级数的前项部分和为，求，并求级数的和．解由，得，故得，，又，所以级数的和．3．用定义判别下列级数的敛散性：（1）；解因为，所以，从而，即级数发散．（2）；解因为，所以，从而，即级数收敛且和为．（3）；解因为，所以，从而，即级数收敛．（4）．解因为，所以，从而，即级数发散．4．判别下列级数的敛散性：（1）；解此级数为等比（几何）级数，公比，且，故此级数收敛．（2）；解因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（3）；解因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（4）；解将此级数看成两个级数之和：+，而级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，而级数有，从而，即级数收敛，故原级数收敛．（5）．解将此级数看成两个级数之和：+，而级数发散，级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，故原级数发散．5．如果级数收敛，判别下列级数的敛散性：（1）；解由级数的性质:在级数前面去掉（或加上、或改变）有限项，级数的敛散性不变．可知级数收敛．（2）；解因为，不满足级数收敛的必要条件，故级数发散．（3）；解由级数的性质:设k为非零常数，则级数与级数有相同的敛散性，可知级数收敛．（4）．解因为，不满足级数收敛的必要条件，故级数发散．6．求级数的和．解因为，所以，从而，即级数的和为.习题9.21．判别下列级数的收敛性：（1）；解因为，而级数收敛，由比较审敛法可知，级数收敛．（2）；解因为，而级数收敛，由比较审敛法极限形式可知，级数收敛．（3）；解因为,所以,即,而发散，由比较审敛法知：级数发散.（4）；解因为，而级数收敛，由比较审敛法极限形式可知，级数收敛．（5）；解因为，而级数收敛，由比较审敛法知：级数收敛．（6）．解因为，当时，级数收敛，当时，级数发散，所以级数，当时收敛，时发散．2．已知，级数与均收敛，证明级数收敛．证明因为，故又级数与收敛，所以级数收敛，由比较审敛法知，级数收敛，又所以级数收敛.3．判别下列级数的收敛性：（1）；解：因为，，由比值审敛法可知，级数收敛.（2）；解因为，由比值审敛法可知，级数发散．（3）；解因为，由比值审敛法可知，级数收敛．（4）；解因为，比值审敛法失效，而2n>2n-1>n(n=2,3…)，即2n(2n-1)>n2,所以又级数收敛，由比值审敛法可知，级数收敛．（5）；解因为，由比值审敛法可知，级数发散．（6）．解因为，由比值审敛法可知，级数收敛．4．判别下列级数的收敛性：（1）；解因为，由根值审敛法可知，级数收敛．（2）；解因为，由根值审敛法可知，级数发散．（3）；解因为，由根值审敛法可知，级数收敛．（4）；解因为，由根值审敛法可知，级数收敛．（5）．解因为由根值审敛法可知，级数收敛．5．判别下列级数的收敛性：（1）；解因为，由比值审敛法可知，级数收敛．（2）；解因为，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，级数发散．（3）；因为由比值审敛法可知，级数收敛．（4）；解因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（5）；解因为，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，级数发散．（6）；解因为，又，由比值审敛法可知，级数收敛，再由比较审敛法可知，级数收敛．（7）．解因为，由比值审敛法可知，级数收敛．6．判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是条件收敛还是绝对收敛？（1）；解对绝对值级数，有而--级数收敛，所以绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛．（2）；解对绝对值级数，有而级数发散，所以级数发散，又是交错级数，且（n=2,3,…）故级数收敛且为条件收敛．（3）；解对绝对值级数，有，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，绝对值级数发散．又是交错级数，由莱布尼兹判别法，得级数收敛，所以级数收敛且为条件收敛．（4）；解对绝对值级数，有而--级数收敛，所以绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛．（5）；解因为绝对值级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，所以原级数绝对收敛．（6）解对绝对值级数，有，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，绝对值级数发散．又是交错级数，由莱布尼兹判别法，得级数收敛，所以级数收敛且为条件收敛．（7）；解因为所以绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛．（8）．解对绝对值级数，有所以绝对值级数发散，而原级数是交错级数，但不满足莱布尼兹定理的条件，故原级数发散．7．如果级数收敛，而且，则能否判断级数也收敛？解不一定.如，，则回答应是肯定的.对一般项级数而言，则不一定.例如，，显然发散，但却有．习题9.31．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．对于端点，级数成为，由级数收敛的必要条件知该级数发散；对于端点，级数成为，该级数也发散；因此，收敛域为．（2）令，则所给级数成为．因为，所以收敛半径，收敛区间为．（3）令，则所给级数成为．因为，所以收敛半径，收敛区间为．即．（4）因为幂级数中缺少奇数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．（5）因为幂级数中缺少偶数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．2．求下列幂级数的收敛域：（1）；解因为，所以收敛半径．收敛区间为．对于端点，级数成为，该级数收敛；对于端点，级数成为，该级数收敛；因此，收敛域为．（2）；解因为，所以收敛半径．该级数幂级数仅在一点处收敛收敛．（3）；解因为，所以收敛半径．该级数收敛区间和收敛域均为．（4）；解因为，所以．对于端点即时，级数成为，该级数发散；对于端点即时，级数成为，该级数收敛；因此，收敛域为．（5）；解因为，所以收敛半径．该级数收敛区间和收敛域均为．（6）；解因为幂级数中缺少奇数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．对于端点时，级数成为，该级数发散；对于端点时，级数成为，该级数发散；因此，收敛域为．（7）．解因为幂级数中缺少偶数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．对于端点时，级数成为，该级数收敛；对于端点时，级数成为，该级数收敛；因此，收敛域为．3．求下列级数的收敛域：（1）；解令，原级数成为，当时收敛，即因此，收敛域为.（2）．解对任意的，，，则，而级数收敛，故有比较审敛法知级数在内绝对收敛.4．利用公式，求下列幂级数在收敛区间内的和函数：（1）；（2）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．设和函数为，即，，则=，对上式从到积分，得．由于，故．（2）设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．5．利用幂级数的性质求下列幂级数的和函数：（1）；解先求幂级数的收敛域．由，得．在端点处，幂级数成为是发散的级数，在端点处，幂级数成为，该级数收敛，因此收敛域为．设和函数为，即，则=，对上式从到积分，得．由于，故．（2）；解先求幂级数的收敛域．由，得．在端点处，幂级数成为是发散的级数，在端点处，幂级数成为，该级数发散，因此收敛域为．设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．（3）；解先求幂级数的收敛域．由，得．在端点处，幂级数成为是发散的级数，在端点处，幂级数成为，该级数发散，因此收敛域为．设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．（4）．解先求幂级数的收敛域．由，得．在端点处，幂级数成为是发散的级数，在端点处，幂级数成为，该级数发散，因此收敛域为．设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．6．如果的收敛域为，求的收敛域．解因为的收敛域为，即有，解得，所以的收敛域为.习题9.41．将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）；解因为，在上式中将换成，得=．（2）；解因为，=，所以=．（3）；解因为，所以=．（4）；解因为，在上式中将换成，得=．（5）；解因为，两边求导，得（6）．解因为，而，，，，因此，在内，有-．（7）；解因为，在上式中将换成，得，所以=，故=．2．将下列函数展开成的幂级数：（1）；（2）．解（1）因为，，在上式中将换成，再两边从到积分，=,．（2）因为，，在上式中将分别换成及，得=，．4．将函数展开为幂级数．解因为，又，=，在上式中将换成后，得．5．将下列函数在指定点展开为幂级数：（1），在处；解因为，，在上式中将换成，得．（2），在处．解因为，而，，，，因此，在内，有．6．将函数展开为幂级数，并求的和．解因为，，，将代入上式，得.习题9.51．计算的值，要求误差不超过．解因为，所以．2．计算的值，要求误差不超过．解在函数的幂级数展开式=中，令，得，这是交错级数，从而，故只需令，解得，即取前两项计算的近似值，就可保证计算精度小于．所以．3．计算的值，要求误差不超过．解在函数的幂级数展开式=中，以替代，得，上式两端同时积分，得=．总习题91．选择题（1）若级数收敛于S，则级数（）．A．收敛于2S-B．收敛于2S+C．收敛于2SD．发散解设的部分和为，的部分和为，则=，又；即选项A正确．（2）设，则下列级数中一定收敛的是（）．A．B．C．D．解因为，而级数收敛，故绝对收敛．即选项D正确．（3）设为常数，则级数（）．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性与有关解因为，故级数绝对收敛，而级数是发散的，所以级数发散；即选项C正确．（4）级数（）（）．A．发散B．条件收敛C．敛散性与有关D．绝对收敛解因为，由比较审敛法可知发散，根据莱布尼兹判别法可知，收敛，即选项B正确．（5）若级数在处收敛，则级数在处（）．A．绝对收敛B．敛散性不能确定C．发散D．条件收敛解由于级数在处收敛，则当时，原级数绝对收敛，而，则级数在处绝对收敛．即选项A正确．2.填空题（1）级数的和．解因为，从而，即级数的和．（2）级数收敛的充分必要条件是．解级数为交错级数，由莱布尼兹判别法可知，级数收敛的充分必要条件是常数满足：．（3）设有幂级数．若，则该幂级数的收敛区间是．解因为幂级数中缺少奇数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当，即时，幂级数绝对收敛；当，即时，幂级数发散；所以收敛区间为．（4）把展开为的幂级数，其收敛半径R=．解因为展开为的幂级数，应有，即故展开为的幂级数，其收敛半径R=．（5）设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为．解因为逐项求导后所得幂级数和原幂级数有相同的收敛半径，所以，故幂级数的收敛区间为.（6）级数的和是．解对幂级数，有，得，设和函数为，即，则，当时，得．（7）设，则．解因为，由的马克劳林级数可知.3．判别下列级数的敛散性：（1）；解因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（2）；解此级数为两个级数之和：+，而级数发散，级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，故原级数发散．（3）；解因为，而级数收敛，由比较审敛法极限形式可知，级数收敛．（4）；解因为而收敛，所以原级数收敛.（5）；解因为对于级数，由比值审敛法可知，级数收敛，再有比较审敛法可知，级数收敛．（6）．解因为又，且为单调下降的，，由莱布尼兹判别法可知，收敛.4．判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）对绝对值级数，，从而，即级数收敛且和为，所以原级数绝对收敛．（2）对绝对值级数，有而级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，从而原级数绝对收敛．（3）此级数是交错级数，且由莱布尼兹判别法，知级数发散．（4）因为而级数发散，故级数即发散，又是交错级数，且，，所以级数收敛且为条件收敛．5．求下列幂级数的收敛区间，并在收敛区间内求其和函数：（1）；（2）．（3）；（4）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．设和函数为，即，则=，对上式从到积分，得．由于，故．（2）因为幂级数中缺少奇数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．（3）因为，所以收敛半