工程图学 课件 04立体的投影

第四章基本立体的投影§4-1平面立体的投影及其表面取点、线§4-2曲面立体的投影及其表面取点、线§4-3平面与立体表面相交§4-4两曲面立体表面相交平面立体曲面立体依据表面性质不同，立体可分为：平面立体和曲面立体。平面立体：表面全是平面的立体。曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥体平面立体：是由若干个平面图形所围成的几何体，如棱柱体、棱锥体等。

棱柱体4-1平面立体的投影及其表面取点、线画平面立体视图的实质：画出所有棱线（或表面）的投影，并根据它们的可见与否，分别采用粗实线或虚线表示。4-1平面立体的投影及其表面取点、线

是平面立体各表面投影的集合----由直线段组成的封闭图形。

平面立体的投影1.棱柱的三面投影棱柱有直棱柱和斜棱柱。顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。如图示位置放置六棱柱时，其两底面为水平面，H面投影具有全等性；前后两侧面为正平面，其余四个侧面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。一、棱柱正棱柱三面投影特征：

一个视图有积聚性，反映棱柱形状特征；另两个视图都是由实线或虚线组成的矩形线框。棱柱的三面投影画图步骤作图步骤：由于棱柱的表面具有积聚性，可以利用棱柱表面的积聚性求解表面上点的投影。2.棱柱表面取点已知棱柱表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其它两面投影。

a

a

a

(b

)

b

b

cC′

C″

1、判断点的位置（在那个平面）2、根据棱柱表面积聚性，求出点在积聚性面上投影3、根据点的投影特性，作出点的另一个投影点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。2.棱柱表面取点已知棱柱表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其它两面投影。

a

a

a

(b

)

b

b

cC′

C″

1.棱锥的三面投影由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。二、棱锥

画棱锥的三面视图，其方法和步骤与棱柱相同。为了对视图进行线面分析，可标出各顶点的投影名称。s

b

s

a

c

abca

(c

)b

s

yy棱锥的三面投影画图步骤：s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

2.棱锥表面上取点2

2

23(3

)3

ⅡBCASmm

N1ⅠM1

n

n1

步骤：1、判断点的位置2、根据点在面上的投影特性，作出点的一面投影3、根据点的投影特性，作出点的另一个投影根据点在面上投影特性作图(三)平面立体表面上的线作图方法：与立体表面取点相同。注意：

只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！1'

2'

空间为一折线Ⅰ

Ⅱ

组成折线的两条线段的共有点（转折点）在两个面的交线（棱线）上。转折点s'

a'

b'(d')c'

adcbs

s'

a'

b'(d')c'

adcbs

例

已知四棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影。1'

2'

3'

3f'

fh'

g'gh12作图：

(1)求取过Ⅲ的直线ⅢF

的投影

;

(2)延长1’2’，分别交s’a’、s’c’于g’、h’;

(3)作GⅢ与ⅢH的水平投影；

(4)求点Ⅰ和点Ⅱ的水平投影；

(5)判断可见性并连线。(三)平面立体表面上的线 在工程上，回转体应用较为广泛。常见的回转体包括：圆柱体圆锥体 回转面是一类特殊的曲面，是由母线绕固定轴线旋转得到的。表面是回转面或回转面和平面的立体，称为回转体。圆球体圆环体4-2曲面立体的投影及其表面取点、线一、圆柱三、圆球二、圆锥四、圆环4-2曲面立体的投影及其表面取点、线

注意:轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断1.圆柱的三面投影一、圆柱由顶圆、底圆和圆柱面围成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。A1AOO1直线AA1称为母线。

4-2曲面立体的投影及其表面取点、线A1AOO1圆柱的三面投影画图步骤：

利用投影的积聚性2.在圆柱表面取点、线已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。

3

3

1′

1

4″

(2)

2″

2

3

4

4

1″利用45°线作图2.在圆柱表面取点、线例

已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。a”a'

c'

c”b”(b')d”f”dd'

ACB的侧面投影acbff'

分析：线段的侧面投影随圆柱面积聚为一段圆弧，可利用积聚性作图。作图：(1)取特殊点;(2)取一般点；(3)判断可见性，光滑连线。2.在圆柱表面取点、线O1O

圆锥面是由直线SA(母线)绕与它相交的轴线OO1旋转而成。

S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。1.圆锥的三面投影注意：轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断由圆锥面和底面组成。SA二、圆锥O1OSA圆锥的三面投影画图步骤：s

s

sacbda

c

b

(d

)d

b

a

(

c

)(1)特殊位置点O1OSA

已知棱锥表面上点的投影1

、2

、3，求其它两面投影。2.在圆锥表面取点、线s

s

(2

)

sacbda

c

b

(d

)d

b

a

(

c

)

1

1

1

2

2

(3)

3

3

素线法

纬圆法如何在圆锥面上作直线？过锥顶作一条素线。●SM已知圆锥表面上点的投影1

、2

，求其它两面投影。s

●s

●

1

(2

)s●2

1(2

)●

1

m

m2.在圆锥表面取点、线例

已知圆锥面上曲线的侧面投影，求其余两面投影。abc(d)a'b'c'd'e'ss's”(e)km”n”n'k”b”d”k'm'a”c”e”分析：可用纬圆法或直素线法求解;水平投影ac可见,ce不可见；线段正面投影全可见。作图：(1)特殊点；(2)一般点；(3)判断可见性，连线。2.在圆锥表面取点、线三面投影分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。

圆母线以它的直径为轴旋转而成。1.圆球的三面投影O1O三、圆球圆球的三面投影画图步骤：2.在圆球表面取点★特殊位置点O1Oa´b´c´acbb״a״c״圆球表面取点、线圆的半径？★纬圆法

1

1

1

(2)

k

k

(2)

m

(m)

(2)

1例

已知圆球面上曲线的正面投影，求其余两面投影。b'c'a'c(c”)aa”bb”e'e(e”)d'dd”分析：用纬圆法作图；线段在上半圆球面上，则其水平投影可见；点A在与W面平行的圆素线上，它将线段的侧面投影分为可见和不可见的两部分。作图：(1)求特殊点A、B、C；(2)求线段上的一般点D、E；(3)判断可见性，连线。注意：如果线段未标明可见性，则其投影应为对称的两支。圆球表面取点、线四、圆环以轴线为铅垂线的圆环为例投影图：空间分析：最左、最右的素线圆的投影左右分界线圆环面平行H面的纬圆投影前后分界线最前、最后的素线圆的投影最高、最低的纬圆的投影上下分界线YZXVO只能用纬圆法求解;分析：

(2)以O为圆心，12为直径画圆，在圆周上求出(a1)、(a2)；例

已知圆环面上点的正面投影，求其余两面投影。a1'(a2')1'2'12(a1)(a2)a1”a2”

(3)求a1”、(a2”)。

(1)过a1’(a2’)作圆环轴线的垂线，与圆环的轮廓线交于1’、2’,求出其水平投影1、2；作图：四、圆环4-3平面与立体表面相交三、平面与圆柱相交四、平面与圆锥相交五、平面与圆球相交一、概述六、综合题二、平面立体的截交线截断体：形体被平面截断后分成两部分，每部分均称为截断体。

截平面

——用来截断形体的平面。

截交线

——截平面与立体表面的交线。

截断面

——由交线围成的平面图形。讨论的问题：截交线的分析和作图。截交线截断体截断面一、概述

平面立体的截交线一定是一个封闭的平面多边形，多边形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条棱，那么截交线就是几边形。

截交线是截平面与立体表面的共有线。

求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面的交线，然后依次连接而得。★求平面体截交线的实质：★平面体截交线的性质：二、平面立体的截交线

分析截平面与体的相对位置

分析截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性1.空间及投影分析2.截交线的投影绘制

求出截平面与被截棱线的交点，并判断可见性。

依次连接各顶点成多边形，注意可见性。3.完善轮廓。确定截交线的形状★求截交线的步骤：二、平面立体的截交线作图方法:1求棱线与截平面的共有点2连线3根据可见性处理轮廓线1״2״(1)׳׳2׳׳׳7׳7״（5）׳6׳5״6״1234567(3)׳4׳3״4״求截交线的实质是求两平面的交线[例1]求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影二、平面立体的截交线例2：求正五棱柱被截切后的水平投影和侧面投影。

求截交线

完善轮廓

检查

注意截交线投影的类似性注意可见性

空间分析和投影分析3

2

1

(4

)1

•3

•5.4

•P3•2•4•1•5•(5)2

51234正五棱柱被截切后的投影和立体图3

2

1

(4

)1

•3

•5.4

•P3•2•4•1•5•(5)2

•逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。例3：补全六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影。1(3)2(4)1

(2

)2"●1"●3

(4

)例4：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。3

2

1

(4

)1

•1•3

•2

•4

•3•2•4•1’2’3’(4’)1”3”4”1243[例5]求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影yy例6:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。P

1

5

4

3

2

8

7

6

2

(3

、6

、7

)1

(8

)4

（5

）1547283612345678注意：利用平面的投影特性作图三、平面与圆柱体表面的交线 平面与圆柱表面的交线，因平面与圆柱轴线的相对位置不同而有不同的形状。

1.当截平面平行于圆柱轴线时，截交线是矩形；PH截平面与底面交线平行于柱轴的直线

2.当截平面垂直于圆柱轴线时，截交线是一个圆；QV与圆柱等直径的圆三、平面与圆柱体表面的交线

3.当截平面倾斜于圆柱轴线且完全与柱面相交时，截交线是一个椭圆，且椭圆的短轴等于圆柱的直径；椭圆椭圆的短轴与圆柱直径相等RV三、平面与圆柱体表面的交线 在没有积聚性的投影面上，截交线的投影一般仍为椭圆。

1)当α＝45°时，截交线的投影是圆；

2)当α＞45°时或α＜45°时，截交线的投影是椭圆。三、平面与圆柱体表面的交线PVαα＜45°QVαα＝45°RVαα＞45°例1求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。短轴长轴PV三、平面与圆柱体表面的交线PV分析：

截平面是正垂面，截交线的正面投影与随正垂面积聚为直线；则其侧面投影待求。方法——表面取点法作图。三、平面与圆柱体表面的交线例1求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。(1)求特殊点；作图：PV3”2”1”3'1'(2')4'4”31245'(6')565”6”7'(8')877”8”(2)取一般点；(3)判断可见性，连线；(4)利用换面法求实形。三、平面与圆柱体表面的交线例1求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。例2完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。分析：

1.空间分析；三、平面与圆柱体表面的交线

2.投影分析。作图：4(3)1(2)2'(3')1'(4')4”1”3”2”最前、最后的素线没有被截切，仍完整ⅢⅡⅠⅣ三、平面与圆柱体表面的交线例2完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。分析：

1.空间分析；

2.投影分析。三、平面与圆柱体表面的交线例3完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。作图：2'(3')1'(4')1(2)4(3)1”4”3”2”ⅡⅠⅢⅣ三、平面与圆柱体表面的交线例3完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。圆弧侧面投影可见2'(3')1'(4')1(2)4(3)1”4”3”2”最前、最后的素线被截切到，已不完整作图：三、平面与圆柱体表面的交线例3完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。ⅡⅠⅢⅣ分析：

1.空间分析；

2.投影分析。三、平面与圆柱体表面的交线例4完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。ⅡⅠⅣⅢ作图：ⅥⅤⅧⅦ1'(4')(5')(8')2'(3')(5')(6')4(3)

5(6)1(2)8(7)1”4”8”5”2”3”7”6”内外圆柱面上最前、最后的素线没有被截切，仍完整三、平面与圆柱体表面的交线例4完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1”4”8”5”2”3”7”6”内外圆柱面上最前、最后的素线没有被截切，仍完整三、平面与圆柱体表面的交线作图：例4完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1'(4')(5')(8')2'(3')(5')(6')4(3)

5(6)1(2)8(7)ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ分析：

1.空间分析；

2.投影分析。三、平面与圆柱体表面的交线例5完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。作图：ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)1”4”2”3”8”5”7”6”三、平面与圆柱体表面的交线例5完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1”4”2”3”8”5”7”6”作图：三、平面与圆柱体表面的交线例5完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ1”4”2”3”8”5”7”6”外圆柱面上圆弧的侧面投影可见作图：三、平面与圆柱体表面的交线例5完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ1”4”2”3”8”5”7”6”作图：三、平面与圆柱体表面的交线例5完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ1”4”2”3”8”5”7”6”作图：三、平面与圆柱体表面的交线例5完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ例6补画正面投影三、平面与圆柱体表面的交线四、平面与圆锥表面的交线截交线的名称立体图过锥顶的等腰三角形圆周椭圆或椭圆弧与直线段投影图抛物线或抛物线与直线段双曲线或双曲线与直线段过锥顶β＜ααβPVPVPVβ＝90°β＞αPVβ＝αβ＜αPH例1求正垂面与直立正圆锥体的截交线。PV分析：

截交线为椭圆；正面投影积聚为直线段，另两面投影为椭圆的类似形。方法——可通过求类似形椭圆的长、短轴作椭圆投影，也可以利用表面取点法精确作图。四、平面与圆锥体表面的交线AFECDB例1求正垂面与直立正圆锥体的截交线。PV短轴长轴a'aa”e”f”d”c”b”e'(f')c'(d')b'fecbda'b'中点作图：

(1)特殊点：最高点A、最低点B、最前点C、最后点D；

(3)一般点；四、平面与圆锥体表面的交线

(2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F；PVa'aa”e”f”d”c”b”e'(f')c'(d')b'fecbd作图：

(1)特殊点：最高点A、最低点B、最前点C、最后点D

；

(2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F

；

(3)一般点；

(4)判断可见性，连线。四、平面与圆锥体表面的交线例2求正垂面与直立正圆锥体的截交线。AFECDB短轴长轴a'b'中点PV(a)(c)PVPV(b)四、平面与圆锥体表面的交线例2分析圆锥切割后截交线投影的形式四、平面与圆锥体表面的交线1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”1112例3已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影分析：

截交线有五段组成。作图:

1.求特殊点；2.求一般点；（略）3.连线，整理轮廓线。例4已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影五、平面与圆球体表面的交线 圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时，截交线的三投影为一个圆与两条直线段。截平面为水平面截平面为侧平面PVQV 当截平面为投影面垂直面时，截交线的三投影为一条直线段（积聚性投影）与两个椭圆（类似性投影）。RH5”11'25(6)3(4)7(8)3'4'6'8'7'5'2'2”7”8”6”4”1”3”线段的中点作图：五、平面与圆球体表面的交线RH5”125(6)3(4)7(8)3'4'6'8'7'5'2'2”7”8”6”4”1”3”作图：五、平面与圆球体表面的交线 当截平面为投影面垂直面时，截交线的三投影为一条直线段（积聚性投影）与两个椭圆（类似性投影）。1'线段的中点分析:

球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。轮廓线要不要?轮廓线怎样处理?例1求圆球被截切后的水平投影和侧面投影例2完成半球切槽的水平投影和侧面投影。分析：

切槽由一对侧平面和水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。方法——纬圆法。五、平面与圆球体表面的交线ΔyR=Δy作图：(1)求截交线的水平投影；(2)求截交线的侧面投影；五、平面与圆球体表面的交线例2完成半球切槽的水平投影和侧面投影。R=Δy注意：侧面投影图中，水平面以上的球面轮廓线已不存在。Δy(3)完成作图。作图：(1)求截交线的水平投影；(2)求截交线的侧面投影；五、平面与圆球体表面的交线例2完成半球切槽的水平投影和侧面投影。六、平面与任意回转体表面的交线例1完成回转体表面截交线的正面投影。QH分析：

截平面为正平面；其正面投影表达实形，其余两投影积聚为直线段。方法——纬圆法。QH分析：

截平面为正平面；其正面投影表达实形，其余两投影积聚为直线段。

方法:纬圆法。六、平面与任意回转体表面的交线例1完成回转体表面截交线的正面投影。QHP1VP2V作图：1”1'122'33'2”(3”)454'5'676'7'(1)求特殊点；(2)求一般点；(3)判断可见性，连线。六、平面与任意回转体表面的交线例1完成回转体表面截交线的正面投影。●●●●●●●●●●●●●●●●分析复合回转体由圆锥、大小两圆柱组成；作图注意它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。例1求作顶尖的水平投影七、组合截交线的画法例1求作顶尖的水平投影一、概述二、平面体与平面体相交三、平面体与回转体相贯四、回转体与回转体相贯4-4立体与立体相交平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯（一）相贯的形式

两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。平面体与平面体相贯一概述（二）相贯线的主要性质

表面性

封闭性

共有性一概述（一）两平面体相交两平面体的交线在一般情况下为封闭折线。（二）互贯与全贯（三）求两平面体交线的方法平面与平面立体表面截交线的求解（A）互贯（B）全贯二、平面体与平面体相交PvQv2'=3'1'=4'5'=7'6'=8'124365872=9"3=11"4=12"5"6"7"8"1=10"9'=11'10'=12'1211910例1：已知四棱锥被四棱柱孔前后贯穿后的主视图，试完成其俯视图并作左视图。二、平面体与平面体相交完成后的三视图：二、平面体与平面体相交（一）相贯线的性质

相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。（二）作图方法

分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。

求出各棱面与回转体表面的截交线。

连接各段交线，并判断可见性。

求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。三、平面体与回转体相贯例2：补全主视图

空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。

投影分析：由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。acba'b'c'31'23'715685'2'7'8'6'例3求三棱柱与半球的相贯线SHTHRH1'5'相贯线位于两基本体的表面上。1、相贯线的主要性质封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常直线和曲线组成）或空间曲线。共有性相贯线是两基本表面的共有线。

其作图实质是找出相贯的两基本体表面的若干共有点的投影。表面性四、回转体与回转体相贯2、求相贯线常用的三种方法：利用积聚性求相贯线辅助平面法辅助球面法3、作图过程先找特殊点再找一般点判断可见性光滑连线确定投影范围确定交线拐弯情况四、回转体与回转体相贯例1：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。●●●●●●●●●

空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。求相贯线的投影：利用积聚性，采用表面取点法。☆找特殊点☆

补充中间点☆

光滑连接完成后的三视图：当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势：交线为两条平面曲线（椭圆）交线总向大圆柱的轴线弯曲圆柱表面交线的三种情况

两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交线◆两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆两内表面相贯例2求圆柱的相贯线辅助平面法：

根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体