数学学案：学习导航函数的奇偶性用计算机作函数的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1。4函数的奇偶性—2.1.5用计算机作函数的图象自主整理1。函数的奇偶性（1）定义：设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有—x∈D,且f(-x)=-f(x）,则称f（x）为奇函数;设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x，都有-x∈D且g(-x）=g（x）,则称g(x)为偶函数.(2)分类:根据函数奇偶性的定义,函数可分为:①是奇函数但不是偶函数;②是偶函数但不是奇函数;③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数。(3）图象的对称性质：①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.②如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。2。用计算机图形技术作函数图象的指令步骤（1）给自变量x赋值;（2)给出计算法则，求对应的y值;（3)由x和对应的y值组成有序数对集合；（4)建立直角坐标系，并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;(5)通过这些点集描出函数的图象.注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象。高手笔记1。在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称。2.若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有意义,那么一定有f（0）=0.这个结论可以当作一个定理来使用.但要注意,反之结论是不成立的.3.存在有既奇且偶的函数，例如f(x)=。当f(-x）与f（x）之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.4。设f（x）、g(x)的定义域分别是D1、D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶,奇×偶=奇。5.奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f（x)在区间［a,b]（0〈a〈b）上有最大值M，最小值m，则f（x）在区间［—b,-a］上的最大值为-m,最小值为—M;偶函数f（x）在区间[a,b]，[-b，—a]（0〈a〈b）上有相同的最大(小)值.6.记忆口诀:奇函数,偶函数，函数奇偶看f.同号偶，异号奇,非奇非偶不离奇。对折偶，旋转奇,图象重合在一起。名师解惑1.应如何理解函数的奇偶性？剖析:(1)定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的，不可只对部分特殊值满足条件。如f(x)=x2,x∈（-2，2］，f(-1)=f(1）,f(）=f(），f(2）虽然存在，但f(-2）无定义，故f（—2)=f(2)不成立,所以此时f（x）是无奇偶性的。(2）定义中“都有f（-x)=f（x)或f（—x)=-f（x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x）等于f（x)或-f(x).（3)通过对定义归纳出函数奇偶性的以下几个性质，从而完整地认识函数的奇偶性:①对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称;②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;③可逆性：f(—x）=f(x）f(x)是偶函数，f（—x)=—f(x)f（x）是奇函数；④等价性:f（-x)=f(x)f（x)-f(—x）=0,f(-x)=—f（x）f（x）+f(—x）=0；⑤可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.2.应如何判断函数奇偶性?剖析：（1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为:①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数。如函数f(x）=x4+1,x∈［—1，2]。由于它的定义域不关于原点对称,当1<x≤2时，-x没有定义,所以它不符合奇、偶函数的定义,故f（x）=x4+1,x∈[-1，2]是非奇非偶函数。②再看f(—x）与f(x）的关系,这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数。如f(x）=x2+x,g（x）=x3+1，它们的定义域都是R,因为f（—x)=(—x）2+（—x）=x2-x≠±f（x），所以它是非奇非偶函数.同理可证g（x）=x3+1也是非奇非偶函数。③然后得出结论.(2)定义域关于原点对称，满足f(-x)=—f（x）=f（x)的函数既是奇函数也是偶函数，如f(x）=0(x∈R）、f（x）=0（x∈［—2,2］）、f(x）=0（x∈(—1，1））等,应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与-x的所在范围,及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域。(4)判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f（—x）±f(x)=0或=±1（f（x)≠0）来代替。（5）有时可以直接借助函数的图象或相关性质，如:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.讲练互动【例题1】判断下列函数的奇偶性;(1）f（x）=;（2）f（x)=x3-2x；（3)f(x)=a(x∈R);(4)f(x)=分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.解：（1)函数的定义域为｛x｜x≠—1}，不关于原点对称,所以f（x)既不是奇函数也不是偶函数。(2)函数的定义域为R,关于原点对称，f（-x)=(-x）3-2（—x）=2x—x3=—f(x)，所以f(x）是奇函数。(3)函数的定义域为R，关于原点对称，当a=0时，f（x）既是奇函数又是偶函数；当a≠0时，f(—x)=a=f(x)，即f(x)是偶函数.(4)函数的定义域为R,关于原点对称，当x>0时,—x<0，此时f（—x)=—x［1+（—x)］=—x（1-x）=—f(x）；当x<0时,—x>0,此时f（-x）=—x［1—（-x)]=—x(1+x)=—f(x);当x=0时,—x=0，此时f(-x)=0，f（x）=0，即f(—x)=-f（x）。综上,f(-x)=—f(x），所以f（x）为奇函数.绿色通道根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有关系f（—x）=f（x）或f（-x）=-f（x），前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数。说一个函数是非奇非偶函数，只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验。有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一。黑色陷阱要注意的是，有的函数既是奇函数又是偶函数,解题中容易忽视这一点.变式训练1.判断下列函数是否具有奇偶性:（1）f(x)=x3;（2）f（x)=2x4+3x2;（3）f(x）=x3+x；（4)f（x)=x+1。分析：按定义证明即可。解：(1）f(—x)=（—x）3=—f（x）,所以f（x）是奇函数;(2）f(-x)=2(-x）4+3（-x）2=2x4+3x2=f（x），所以f(x)是偶函数；(3)f（—x）=(-x）3+(—x）=-(x3+x）=-f（x)，所以f(x）是奇函数;(4)f(x)=x+1中，既没有f（—x)=f（x),也没有f(-x)=-f(x）,所以f（x）为非奇非偶函数.【例题2】关于下列命题:①两个奇函数的和或差仍是奇函数,两个偶函数的和或差仍是偶函数;②f（x）是任意函数，那么｜f（x）|与f(|x|)都是偶函数;③如果函数f(x）满足:|f（x)|=｜f(—x）｜,那么f（x）是奇函数或偶函数;④函数f（x）+f（-x）是偶函数，函数f（x)—f(—x)是奇函数。其中正确的个数为（）A。1B.2C。3解析:①错误。如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有意义；还有两个奇函数的差,或两个偶函数的差,可能既是奇函数又是偶函数,如f（x）=x（x∈［-1,1］），g(x)=x（x∈[-2，2］）,可以看出函数f（x)与g（x)都是定义域上的奇函数,它们的差只在区间［-1，1］上有意义且f（x）—g(x)=0，而在此区间上函数f（x）—g（x）既是奇函数又是偶函数。②错误.一方面,对于任意一个函数f（x）而言，不能保证它的定义域关于原点对称;另一方面,对于任意一个分段函数不能保证f(—x）=f（x)或f(—x）=-f(x），所以不能保证|f(—x)|=｜f(x)|或｜f（—x)｜=｜—f(x)|,所以｜f(x)｜不一定是偶函数.如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数f（|x|）是偶函数.③错误.如函数f(x）=0，显然满足|f(x）｜=|f（—x)|,但是它既是奇函数又是偶函数.④正确。由函数奇偶性的定义易证.答案：A绿色通道此题是关于函数奇偶性考查的很好的一类题型，做这种选择题要注意充分地利用反例排除法。解题的关键是紧扣奇偶性定义，此外还应注意以下两点：（1）函数f(x）=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f（x）=f(-x）也满足f(x）=—f(—x）；（2)在公共定义域内，奇函数与奇函数的和为奇函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与奇函数的积为奇函数.变式训练2。f(x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是……(）A。f（x)f（—x)是奇函数B.f（x)｜f（-x)|是奇函数C。f（x)-f（-x)是偶函数D。f(x）+f(—x)是偶函数解析:A中F（x）=f（x）f（—x）,则F(-x)=f(-x)f（x）=F(x）,即函数F（x）=f（x)f(-x)为偶函数;B中F（x)=f（x)｜f(—x)|，F（—x)=f(-x）|f（x）｜,此时F(x)与F（—x）的关系不能确定，即函数F(x）=f(x)|f(-x）｜的奇偶性不确定;C中,F（x）=f（x）—f(-x),F（-x)=f（-x)—f(x）=-F(x)，即函数F（x）=f(x）-f(-x）为奇函数;D中F（x）=f(x)+f（—x),F（-x）=f（-x）+f(x）=F（x）,即函数F(x)=f(x)+f（—x)为偶函数。答案：D【例题3】（2007广东中山高三期末统考，理19)已知f(x)是定义在(-∞，+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f（xy）=yf(x）+xf（y）。（1)求f（1）、f（—1）的值;(2)判断f（x）的奇偶性，并说明理由。分析：(1）利用赋值法，令x=y=1,得f（1)的值,令x=y=—1,得f（—1)的值;（2）利用定义法证明f(x）是奇函数,要借助于赋值法得f（—x)=-f（x）。解：(1）∵f（x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x）+xf(y）,∴令x=y=1时，有f(1×1）=1·f(1)+1·f(1).∴f（1)=0；令x=y=—1时，有f［(—1）×（-1）］=（-1)·f（—1）+(—1）·f(-1)，∴f（-1)=0。（2）∵f(x)对任意x、y都有f（x·y）=yf（x）+xf（y）,令y=-1，有f（-x)=-f（x)+xf(-1),将f(—1)=0代入,得f（—x)=—f（x),∴函数f(x）是（—∞，+∞）上的奇函数.黑色陷阱不能直接用定义进行判断，可通过赋值,找出f（—x)与f(x）的关系。抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题通常让变量取一些特殊值或特殊式，以便寻求解题方法。变式训练3。已知函数y=f（x)（x∈R且x≠0),对于任意两非零实数x1、x2，恒有f（x1·x2)=f(x1）+f（x2），试判断函数f(x)的奇偶性。分析：对抽象函数奇偶性的判定,因无具体的解析式,因此需要利用给定的函数方程式，对变量x1、x2赋值，将其变成含有f(x）、f(-x)的式子加以判断.解：由题意知f（x）的定义域为（—∞,0）∪(0，+∞)，关于原点对称。令x1=x2=1，得f(1)=f（1）+f（1），即f(1）=0。令x1=x2=—1,得f（1）=f（—1）+f(-1），即f（—1)=0.取x1=—1,x2=x，得f(-x)=f（-1）+f(x)=f（x）。∴函数f(x）是偶函数.【例题4】若f（x)是定义在R上的奇函数,当x<0时，f(x）=x(1—x)，求当x≥0时,函数f(x)的解析式。解:由f(x)是奇函数，当x>0时,—x〈0，且f(x）=—f（-x)=—{（—x)［1—(—x)］｝=x(1+x）;当x=0时,f(0）=—f(0）,即f（0）=0。∴当x≥0时，f（x）=x（1+x）。绿色通道判断分段函数的奇偶性,应对x在各个区间上分别讨论，注意由x的取值范围确定应用相应的函数表达式