数学学案：算法的含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1算法的含义学习目标重点难点1．知道算法的含义和特征．2．体会算法思想，会用自然语言叙述算法.重点：会用自然语言叙述算法．难点:了解算法的含义和特征,体会算法的思想.1．算法的概念一般而言,对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．预习交流1算法与数学问题的解法之间有怎样的区别和联系？提示：(1)区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称．它可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程，是具体的解题过程．(2）联系：它们是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系．算法的获取要借助一般意义上具体问题求解的方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．2．算法的特征算法是指使用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．预习交流2求解某一类问题的算法一定是唯一的吗？提示:不一定．因为一件事情往往不是只有一个解决方案，同样,对于某一类问题，它的算法也可以是多样的．如二元一次方程组的解法就有加减消元法和代入消元法两种，因此求解此类问题的算法就不是唯一的．预习交流3(1）下面的结论正确的是__________．（填写正确结论的序号)①一个程序的算法步骤是可逆的；②一个算法可以无止境地运算下去；③完成一件事情的算法有且只有一种；④算法的步骤是有限的．提示：由算法的概念及特征知①②③错，④正确．（2)写出解方程ax＋b＝0(a≠0)的一个算法的过程如下：第一步将不含x的常数项移到方程右边，并改变常数项的符号;第二步__________.提示：根据解一元一次方程的方法与步骤即可得到答案为方程两边同除以a.一、算法的含义下列关于算法的说法，正确的有__________．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．思路分析：本题给出了有关算法的四种说法,找出其中正确的说法．解答时，要根据算法的概念和特征逐一判断．解析:由算法的概念和特征可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错．答案：②③④1．下列语句中是算法的有__________个．①从济南到巴黎,可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达;②利用公式S＝eq\f（1,2)ah，计算底为1、高为2的三角形的面积；③eq\f（1，2）x＞2x＋4；④求M(1,2)与N(－3,－5)两点连线所在直线的方程，可先求直线MN的斜率，再利用点斜式求得方程．答案：3解析：因为算法是为解决某类问题而设计的一系列可操作或可计算的步骤，通过这些步骤能够有效地解决问题，显然四个语句中，①②④都是算法，③不是算法．2．下列对算法的理解不正确的是__________．①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果③算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法④解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同答案：④解析：根据算法的概念知①②③正确;④中解决某一个具体问题时，算法不同，但结果相同．算法的主要特征:（1)有穷性：一个算法的步骤是有限的,它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．(2）确定性:算法的每一步应该是明确的，不能模棱两可，即经过一步操作后能得出确定的结果．(3)有序性：算法的步与步之间是环环相扣的，即“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续．（4）不唯一性：对于同一个问题可以有不同的算法．二、算法的设计试设计一个算法，求底面边长为4eq\r(2)，侧棱长为5的正四棱锥的体积．思路分析：由底边长可求底面积，由底面边长及侧棱长可求出正四棱锥的高，再由棱锥的体积公式求得体积．也可由高与侧棱长、底面边长的关系及底面积与底面边长的关系,直接得到体积与底面边长及侧棱长的关系，从而直接求解．解法一：第一步取a=4eq\r(2），l=5；第二步计算；第三步计算；第四步计算S=a2；第五步计算V=Sh；第六步输出运算结果．解法二：第一步取a=4eq\r(2),l=5；第二步计算V=a2·；第三步输出运算结果．1．已知一个学生的语文成绩是89,数学成绩是96，外语成绩是99，求他的总分和平均分的一个算法如下，请补充完整:第一步取A＝89，B＝96,C＝99；第二步计算总分S＝__________；第三步计算平均分M＝__________;第四步输出S，M.答案：A＋B＋Ceq\f(S,3)解析：总分S＝A＋B＋C，平均分M＝eq\f(S，3）.2．已知点P0（x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0,求点到直线距离的一个算法有如下几步：①输入点的坐标x0，y0；②计算z1＝Ax0＋By0＋C；③计算z2＝A2＋B2；④输入直线方程的系数A，B和常数C；⑤计算d＝eq\f（|z1｜，\r（z2））；⑥输出d的值．其正确的顺序为__________．答案:①④②③⑤⑥解析:利用点到直线的距离公式d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜,\r（A2＋B2）)即可得解．3．试设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．解：第一步取S＝16π；第二步计算R＝eq\r(\f（S，4π))（S＝4πR2)；第三步计算V＝eq\f（4,3)πR3；第四步输出运算结果．(1）设计算法的步骤为：①认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法；②借助有关的变量或参数对算法加以表述；③将解决问题的过程划分为若干步骤；④用简练的语言将各个步骤表示出来,即为该具体问题的算法．（2）设计算法要做到以下几点：①写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用；②要使算法尽量简单，步骤尽量少；③要保证算法正确,且计算机能够执行．三、算法的应用给出分段函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x,x≥1,，x2＋1，0≤x<1,））请设计算法，输入任意非负实数x0，输出相应的f（x0)的值．思路分析：题中给出了分段函数的解析式，要求设计算法，给出任意非负实数x0时,求相应的函数值．设计算法时,应有输入和输出,并要对输入的x0的值进行判断．解：第一步输入x0；第二步若x0＜0,输出“输入的数据有误"，结束算法；否则执行第三步；第三步若x0≥1，则y＝2x0；否则，y＝xeq\o\al（2,0)＋1;第四步输出y的值，结束算法．1．写出求过两点M（－2，－1)，N(2,3）的直线与坐标轴围成的三角形的面积的一个算法．解:第一步取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3;第二步计算eq\f（y－y1，y2－y1）＝eq\f(x－x1,x2－x1）；第三步在第二步结果中令x＝0得到y的值m，得直线与y轴交点(0，m);第四步在第二步结果中令y＝0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0)；第五步计算S＝eq\f（1，2）｜m｜｜n|；第六步输出运算结果S的值．2．给出一个判断点P（x0，y0)是否在直线y＝x－1上的一个算法．解:第一步将点P(x0，y0）的坐标代入y＝x－1；第二步若等式成立,则输出“点P(x0，y0)在直线y＝x－1上"；若等式不成立，则输出“点P(x0，y0)不在直线y＝x－1上”，结束算法．(1)输入自变量的值,设计算法求对应的函数值时，如果是分段函数，那么在设计算法时,要对输入的自变量的值根据已知条件去判断，分类求值．(2）算法是解决某一类问题的步骤,要善于从特殊问题的解决方法中总结、归纳出一般问题的解决方法及步骤．通过解决具体的实际问题提高分析、解决问题的能力．1．下列说法正确的个数是__________．①整数的加法运算法则是一个算法；②发电子邮件的操作程序是一个算法；③从徐州乘火车到南京，从南京坐飞机到海南是一个算法；④求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，…是一个算法．答案：3解析:①②③正确．由算法的有穷性知④不正确．2．对于算法：第一步输入n;第二步判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件;若n＞2,则执行第三步；第三步依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n,则执行第四步；若能整除n，则执行第五步;第四步输出n；第五步结束．满足条件的n是__________．（填序号）①质数②奇数③偶数④约数答案:①解析：这个算法通过对2到n－1逐个验证，看是否有其他约数,依此来判断其是否为质数．3．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min)、刷水壶（2min)、烧水(8min）、泡面（3min）、吃饭（10min)、听广播(8min）这几个步骤．下列选项中最好的一种算法是__________（填序号)．①S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播．②S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播．③S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播．④S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶．答案：③解析:可按两个原则：一是合理，二是节约时间，不难看出③是最合适的．4．写出求解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,4x＋5y＝13）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①,②）)的一个算法．解：用消元法，算