数学学案：平面向量基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2。1平面向量基本定理基础知识基本能力1．了解平面向量基本定理及其意义．（重点、难点）2．理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式．(易错点)1．会利用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示．（重点、难点)2．在向量之间的线性表示中，能灵活地选好基底进行表示．(难点、易错点)3．能正确地应用线段中点的向量表达式来解决与中线、中位线等相关的几何问题．(重点）1．平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2。我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．平面向量的基底唯一吗？答:不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底．【自主测试1－1】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底,那么()A．对平面α中任一向量a,使a＝a1e1＋a2e2的实数a1,a2有无数对B．对实数a1，a2，a1e1＋a2e2不一定在平面α内C．空间任一向量a可以表示为a＝a1e1＋a2e2，这里a1,a2是实数D．若实数a1，a2使a1e1＋a2e2＝0,则a1＝a2＝0答案：D【自主测试1－2】在四边形ABCD中，设eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a,eq\o（AD，\s\up6（→）)＝b，用基底a，b表示eq\o(DB,\s\up6（→））＝__________。解析：eq\o(DB,\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→))－eq\o（AD,\s\up6(→））＝a－b.答案：a－b2．直线的向量参数方程式已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t，使eq\o（OP，\s\up6（→)）关于基底{eq\o（OA，\s\up6（→)），eq\o（OB，\s\up6(→））}的分解式为eq\o（OP，\s\up6(→））＝(1－t）eq\o(OA，\s\up6(→）)＋teq\o(OB，\s\up6（→))，这个等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．当t＝eq\f（1，2)时，P为线段AB的中点，则eq\o（OP,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）(eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（OB,\s\up6(→)))．这是线段AB的中点的向量表达式．名师点拨上述的向量参数方程式与P，A，B三点共线的条件是完全一致的，学习了向量的正交分解后，可以进一步地认识它与解析几何中直线方程的联系．【自主测试2】M为线段AB的中点，O为平面上任一点，eq\o(OM，\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6（→））＋yeq\o(OB,\s\up6（→）），则有x＝__________，y＝__________.解析：由线段AB的中点的向量表达式,知x＝y＝eq\f(1,2)。答案:eq\f（1,2）eq\f（1,2)正确理解平面向量基本定理剖析：（1）e1，e2是同一平面内的两个不共线向量．(2)对给定的向量a，实数λ1，λ2存在且唯一．实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一的．(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．(5）这个定理体现了转化与化归思想,用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．题型一用基底表示向量【例题1】已知△ABC中,D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若eq\o(AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（AC,\s\up6（→）)＝b，用a,b表示，,。解：由题意，得＝eq\o（AB,\s\up6(→)）＋＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\f（1,2)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2）（eq\o(AC,\s\up6（→）)－eq\o（AB,\s\up6(→)))＝a＋eq\f（1，2)(b－a）＝eq\f(1，2）a＋eq\f（1，2）b；＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋＝a＋eq\f(1,3)（b－a)＝eq\f(2，3）a＋eq\f(1,3）b；＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋＝a＋eq\f（2，3）(b－a)＝eq\f（1,3）a＋eq\f（2,3）b。反思用基底表示向量主要有以下两种类型：(1)直接利用基底,结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解;(2）若直接利用基底表示比较困难,则依据“正难则反"的原则，采用方程思想求解．【例题2】如图，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点,已知eq\o（AM,\s\up6（→））＝c，eq\o（AN,\s\up6(→））＝d,试用c，d表示eq\o（AC,\s\up6(→））.分析：本题要求用c，d表示eq\o(AC,\s\up6（→）)，所以可以将c，d看作基底,把eq\o(AB，\s\up6(→）)和eq\o(AD,\s\up6（→））表示出来，再由eq\o(AC，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6(→))得到eq\o(AC，\s\up6(→））。解：设eq\o(AB,\s\up6(→））＝a,eq\o(AD,\s\up6(→)）＝b，则由M,N分别为DC，BC的中点，得eq\o(BN，\s\up6(→)）＝eq\f（1,2)b,eq\o(DM，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）a.在△ABN和△ADM中，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2）b＝d，，b＋\f（1，2）a＝c，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f（2，3)2d－c,,b＝\f（2,3)2c－d，))即eq\o(AB,\s\up6（→))＝eq\f（2，3)（2d－c），eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\f（2，3）（2c－d)．所以,eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6（→))＝eq\f(2,3）（2d－c）＋eq\f（2，3）(2c－d）＝eq\f(2,3）(d＋c）．反思从解答本题的过程来看,策略性较强:（1)为使问题表达简单,采用了eq\o(AB，\s\up6（→）)＝a,eq\o(AD,\s\up6（→))＝b的代换;(2）直接用c,d表示eq\o（AB，\s\up6（→)），eq\o（AD,\s\up6（→））困难，反过来改用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD，\s\up6（→)）表示c，d，然后将eq\o(AB，\s\up6(→））和eq\o（AD，\s\up6(→)）看成是未知量，利用方程组的知识解得eq\o（AB，\s\up6（→))和eq\o（AD，\s\up6（→)）,进一步求出eq\o(AC，\s\up6(→)).题型二直线的向量参数方程式【例题3】如图，设一直线上三点A,B，P满足eq\o（AP,\s\up6(→)）＝λeq\o（PB,\s\up6（→))（λ≠－1），O是平面上任意一点，则（）A．eq\o(OP,\s\up6（→)）＝eq\f(\o(OA,\s\up6（→）)＋λ\o（OB，\s\up6(→）)，1＋λ)B．eq\o(OP，\s\up6（→）)＝eq\f(\o（OA，\s\up6（→))＋λ\o（OB，\s\up6（→)）,1－λ）C．eq\o(OP，\s\up6（→))＝eq\f（\o(OA,\s\up6(→）)－λ\o(OB，\s\up6（→))，1＋λ)D．eq\o(OP,\s\up6(→)）＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→）)－2λ\o(OB,\s\up6（→）),1－λ)解析：解答本题可直接利用直线的向量参数方程式判断；或利用向量的加、减运算法则进行转化，作出判断．解析一：∵P，A，B三点共线,∴一定存在实数t，使得eq\o（OP，\s\up6（→）)＝(1－t）eq\o(OA，\s\up6（→））＋teq\o(OB,\s\up6（→))，则t满足（1－t)＋t＝1,只有选项A：eq\f（1,1＋λ）＋eq\f（λ,1＋λ）＝eq\f(1＋λ，1＋λ）＝1符合,故选A．解析二:由eq\o(AP，\s\up6（→）)＝λeq\o(PB,\s\up6（→))（λ≠－1），得eq\o(OP，\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ（eq\o(OB，\s\up6（→)）－eq\o（OP,\s\up6（→))）,故eq\o(OP,\s\up6（→）)＝eq\f(\o(OA，\s\up6（→))＋λ\o（OB,\s\up6(→）），1＋λ）(λ≠－1)．答案：A反思本题采用了两种解题方法．解法一是应用直线的向量参数方程式判断．由直线的向量参数方程式得，若P在直线AB上（或P，A，B共线)，则一定存在实数t，使得eq\o（OP,\s\up6(→））＝(1－t）eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6（→)），注意(1－t）＋t＝1；解法二直接利用向量减法的几何意义,构造向量方程，解出eq\o(OP,\s\up6（→))。〖互动探究〗设eq\o（OA，\s\up6(→）)，eq\o（OB，\s\up6(→)）不共线,P点在线段AB上，求证:eq\o（OP，\s\up6（→）)＝λeq\o（OA，\s\up6(→)）＋μeq\o(OB，\s\up6（→）)，且λ＋μ＝1（λ，μ∈R）．证明:∵P点在线段AB上，∴eq\o(AP,\s\up6(→））与eq\o（AB，\s\up6(→））共线．∴eq\o(AP,\s\up6（→)）＝teq\o(AB，\s\up6(→））(t∈R)．∴eq\o（OP,\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（AP,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→））＋teq\o（AB，\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6(→））＋t（eq\o(OB，\s\up6(→）)－eq\o(OA,\s\up6（→))）＝（1－t)eq\o(OA,\s\up6（→））＋teq\o(OB，\s\up6(→)）。令λ＝1－t，μ＝t,则有eq\o（OP，\s\up6（→））＝λeq\o(OA，\s\up6（→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)）,λ＋μ＝1(λ，μ∈R)．1．下列关于基底的说法正确的是()①平面内的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式是唯一确定的．A．①B．②C．③D．②③答案：C2．已知ABCD的对角线的交点为O，下列各组向量中，可作为这个平行四边形所在的平面内所有向量的基底的是(）①与；②与；③与；④与.A．①②B．①③C．①④D．③④解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底．通过画图可得：①与不共线；②＝，则∥;③与不共线；④＝，则∥。于是仅①③可以构成平面内所有向量的基底．答案：B3．O为平面上任一点,＝xeq\o(OA,\s\up6(→)）＋yeq\o(OB，\s\up6（→）)，若A，B，C三点共线，则必有(）A．x＋y＝1B．x－y＝1C．x＝－yD．x，y为任意实数解析:若A,B,C三点共线，则＝(1－t）eq\o(OA，\s\up6(→）)＋teq\o（OB，\s\up6(→）)，知x＋y＝1－t＋t＝1.答案：A4．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o（OB，\s\up6（→))，的终点A，B，C在一条直线上,且＝－3，设eq\o（OA，\s\up6(→））＝p，eq\o（OB,\s\up6(→))＝q，＝r，则下列等式成立的是(）A．r＝－eq\f（1，2）p＋eq\f(3,2）qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3，2）p－eq\f（1,2)qD．r＝－q＋2p解析：＝－＝r－p,＝－＝q－r，又∵＝－3，∴r－p＝－3（q－r），∴r＝－eq\f(1,2）p＋eq\f（3,2)q.答案：A5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5，2）k)）e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__________。解析:∵a与b共线,∴存在实数λ，使得a＝λb，即k2e1＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(5，2）k））e2＝λ（2e1＋3e2）＝2λe1＋3λe2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝2λ，，1－\f(5，2）k＝3λ，)）解得k＝eq\f（1，3）或－2.答案：eq\f（1,3）或－26．如图所示，在ABCD中,eq\o（AB，\s\up6(→))＝a，eq\o（AD，\s\up6（→））＝b，H，M分别是AD,DC的中点，F为BC上的点且eq\o（BF,\s\up6（→）)＝eq\f（1，3)eq\o(BC,\s\up6（→）)，用a,b表示向量eq\o(AM,\s\up6(→）)与eq\o