数学学案：名师导航数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1数列知识梳理1.数列的有关概念（1）数列的定义:按一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个函数式an=f（n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1，2，…,n｝)的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2.数列的表示（1）数列作为一种特殊的函数，也可用图象法和列表法来表示.以项数n为横坐标,相应的项an为纵坐标，即以（n，an)为坐标在平面直角坐标系中作出点，它们的图象是相应曲线（或直线）上横坐标为正整数的一群孤立的点.图象位于y轴右侧。(2）解析法：用通项公式表示数列。（3）递推法：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是表示数列的一种重要方法.3。数列的分类(1）根据数列的项数，可以把数列分为有穷数列和无穷数列.（2）根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。知识导学数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的重点.主要涉及两方面的内容：第一，数列的基本概念；第二,数列的基本运算。由于数列是一种特殊的函数,所以与前面学习过的集合知识、函数知识有着密切的联系,在学习本节前要先对这部分内容进行全面复习,为本节的学习打好基础。学习中要注意:由数列的递推公式写出数列的某些项，并猜出通项公式是高考中常出现的题型；数列的通项公式是研究数列的关键，它体现了数列的本质,即数列的项数与项之间的对应关系.疑难突破1。根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。剖析：通项公式是一个数列｛an｝的第n项an与项数n之间的函数关系，可以用一个公式an=f（n)来表示，当用确定的序号代替通项公式中的n，可以求出数列的各项.数列的通项公式确定了，数列也就确定了.(1）对于通项公式,应该注意：①不是所有的数列都能写出它的通项公式,如π精确到1,0.1,0.01，0.001，…的不足近似值构成的数列,即3，3.1,3.14，3.141就没有通项公式；②同一个数列的通项公式不一定是唯一的,如数列—1，1,-1，1，…的通项公式可以写成an=(—1)n，也可以写成an=—sin（）π，n∈N+，等等，所以仅由前几项可以归纳出无限多个“通项公式"；③对某些数列，通项公式可写成一个式子也可用分段式表达，如数列—1，1，-1，1，…的通项公式还可以写成：an=（2)求通项公式时，要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，看看哪些部分是变化的，哪些是不变的,再探索各项中变化部分与序号间的关系，由此归纳出构成的规律,写出通项公式.那么在给出数列的前几项求通项时，主要从哪几个方面来考虑呢？①有时将数列的各项结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个基本数列对应项的“和”“差”“积”“商"后再进行分析归纳.这就要求我们熟练掌握一些基本数列，如｛｝、{n2}、{2n±1｝、｛(—1）n｝等。②负号用(—1）n或（—1)n+1来调节，如-1,2,-3,4，—5,…的通项公式可以写为an=（—1）nn。③分式形式的数列，分子找通项,分母找通项,要充分借助于分子、分母的关系,如1，,,，,…,可以写为，，,，,…，所以通项公式为an=.④此类问题没有固定模式，主要靠观察（观察规律）、比较(比较已知的数列）、归纳、转化(转化为熟悉的数列）等方法找出规律。⑤对于比较复杂的通项公式，有时要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决，这些都将在以后的学习中陆续接触到.2。递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟还有什么不同？剖析：根据这两个公式都可以写出数列的任意项。递推公式:已知数列｛an｝的第1项（或前几项)，且任一项an与它的前一项an—1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.通项公式：一个数列｛an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式an=f（n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.仔细体会定义它们也是有很大的不同,主要如下：通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系。对于通