数学学案：幂函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。3幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数．对幂函数概念的理解：（1）幂函数有着严格的形式，形如y＝x＋1，y＝2x2，y＝x2＋3，y＝（x＋3）3等都不是幂函数，因此要注意幂函数的书写形式．(2)幂函数的定义域是使xα有意义的所有实数x的取值集合，因α的不同,定义域也各不相同．（3)要注意幂函数与指数函数的区别．指数函数：形如y＝ax(a＞0,且a≠1)的函数,其中x为自变量,自变量在指数位置，底数为常数且为不等于1的正数；幂函数:形如y＝xα（α∈R)的函数，x为自变量,α为常数，自变量在底数位置，常数在指数位置，常数可正可负，可以为零．【例1－1】下列函数是幂函数的是(）A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝（x＋1)3解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数;函数y＝(x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．答案：B【例1－2】已知函数是幂函数,则m＝________。解析：由题意知,若f（x)为幂函数，则m2＋2m－2＝1.即m2＋2m－3＝0,解得m＝1或m＝－3。答案：1或－32．幂函数的图象与性质(1）幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，,y＝x－1的图象．作幂函数的图象需注意以下三个方面：①定义域：分为x∈R，x≠0,x≥0，x＞0四种情形考虑；②奇偶性;③单调性：重点在第一象限，当指数α＞0时，尤其要注意以(0,0)和（1，1）两点为对角顶点的正方形内部的变化情况．(2）一般幂函数的图象和性质见下表幂函数y＝xα(α为常数）α＞0α＜0图象性质（1）图象过点（0，0)和点（1,1）(1)图象过点(1,1）(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞）上是增函数(2)在第一象限内，函数值随x的增大而减小,即在（0，＋∞）上是减函数(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸;当0＜α＜1时，图象上凸(3）在第一象限内,图象都下凸(4）α为奇数时，幂函数为奇函数；α为偶数时,幂函数为偶函数(5)幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内,必出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内提示:对于幂函数y＝xα（α∈R）的图象可记住它在第一象限内的图象，再根据其奇偶性作出它在第二象限或第三象限内的图象．(3)常见幂函数的性质．y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞）(－∞，0）∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R［0，＋∞）（－∞，0）∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞）上单调递增在(－∞，0］上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在（－∞，＋∞)上单调递增在［0，＋∞)上单调递增在（－∞，0）上单调递减,在（0，＋∞）上单调递减定点(1，1)，（0，0)（1，1），（0,0)(1，1)，(0,0）（1,1)，(0,0)（1，1)析规律幂函数y＝xα在第一象限的图象特征（1)α＞1时，图象过(0，0)，(1，1),下凸递增，例如y＝x3；（2)0＜α＜1时，图象过(0,0),（1,1)，上凸递增，例如；(3）α＜0时，图象过（1，1)，下凸递减,且以两条坐标轴为渐近线，例如y＝x－1。【例2－1】给定一组函数解析式：①；②;③;④;⑤；⑥；⑦和一组函数图象．请把图象对应的解析式号码填在下图中的括号内．解析:观察前3个图象,由于在第一象限内，函数值随x的增大而减小，所以幂指数α应小于零．其中第1个函数图象关于原点对称,第2个函数图象关于y轴对称，而第3个函数的定义域为{x｜x＞0}，所以第1个图象对应函数，第2个图象对应函数，第3个图象对应函数。后4个图象都通过(0,0)和(1，1）两点，故知α＞0.第4个图象关于y轴对称，第5个图象关于原点对称，定义域都是R，所以第4个图象对应函数,第5个图象对应函数。由最后两个图象知函数定义域为｛x|x≥0}，而第6个图象呈上凸状，α应小于1，第7个图象呈下凸状，α应大于1，故第6个图象对应函数，第7个图象对应函数。答案：⑥④③②⑦①⑤【例2－2】下列六个函数：，,，,y＝x－2，y＝x2中,定义域为R的函数有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：幂函数y＝xn的定义域为R，则首先有，其次p是奇数，反之亦然．于是我们只要根据指数的取值的正负情况,以及p的奇偶性来作出判断．函数，，y＝x2的定义域为R，而函数的定义域为［0，＋∞），函数及y＝x－2的定义域均为（－∞，0）∪(0，＋∞），所以定义域为R的函数有3个，应选择B.答案:B3．幂函数的解析式及求函数值问题幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f（m）＝n或图象过点（m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x）＝xα,利用已知条件列方程求出常数α的值．利用待定系数法求幂函数的解析式时,常常遇到解方程，比如mα＝n,这时先把n化为以m为底数的指数幂形式n＝mk，则解得α＝k.还可以直接写出α＝logmn，再利用对数的运算性质化简logmn.例如，解方程6α＝eq\f(1，36)，由于eq\f（1，36)＝6－2,所以α＝－2。当然，也可以直接写出α＝log6eq\f(1，36)，再利用对数的运算性质得α＝log66－2＝－2.【例3－1】幂函数f(x)的图象过点,则f(3)＝________。解析:设f（x)＝xα，则，所以.所以f（x)＝x－2。所以f(3)＝3－2＝.答案:【例3－2】已知幂函数y＝（m2－5m－5）x2m＋1在(0，＋∞）上为减函数，则实数m的值为__________．分析：先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性检验求出的m值是否符合题意．解析：因为函数y＝（m2－5m－5）x2m＋1是幂函数，所以m2－5m－5＝1,解得m＝－1或m＝6.当m＝6时，给定的函数为y＝x13，在（0，＋∞）上为增函数，不符合条件；当m＝－1时,给定的函数为y＝x－1，在（0，＋∞)上为减函数，符合条件．答案:－14．比较同指数幂的大小比较同指数幂am和bm的大小时,通常构造幂函数f(x）＝xm，再利用幂函数f(x)＝xm的单调性来比较am和bm的大小．例如,比较1。23与1.13的大小时，可设函数f（x)＝x3,又函数f（x）＝x3在R上是增函数，1。2＞1。1,所以f（1。2）＞f(1.1)．所以1.23＞1.13。要注意：明确所给的指数幂分别是哪个幂函数的两个函数值,最后根据幂函数的单调性来判断am和bm的大小关系．【例4】试比较下列各组数中两个数的大小：（1)与；(2)与;(3)与。解：(1）∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞）上是单调递增的，又,∴.（2)∵幂函数y＝x－1在（－∞，0）上是单调递减的,又,∴.(3）∵函数为减函数，又,∴，又∵函数在（0，＋∞)上是增函数，且，∴，∴。点技巧选择合适的方法比较大小比较大小的关键在于构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则可考虑幂函数；若指数不同，底数相同，则可考虑指数函数；若底数、指数均不相同,则需引入中间变量进行比较．5．与幂函数有关的简单不等式(1)与幂函数有关的不等式往往是［f（x）］α＞[g（x）］α,通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性,转化为关于f（x）和g(x)的不等式组．例如，解不等式eq\r（x＋1)≤eq\r（2－x)，由于幂函数y＝eq\r(x）是[0,＋∞)上的增函数，则原不等式等价于eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1≥0,，2－x≥0，，x＋1≤2－x，）)解得－1≤x≤eq\f(1,2），所以原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(，,,，)）xeq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,，)）－1≤eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(x≤\f(1，2）)）。解不等式的过程中,不能忽视幂函数的定义域,否则容易出错．如上例中，易忽视幂函数y＝eq\r（x)的定义域是[0，＋∞)，错得x≤eq\f（1，2)。(2)解与幂函数有关的不等式也可以结合幂函数的图象，数形结合进行求解．【例5－1】已知，则x的取值范围是__________．解析：如图，在同一坐标系内分别作出y＝x2和的图象，交点为(0，0)和(1,1），欲使，需y＝x2的图象在图象的上方，数形结合可得x的取值范围是（－∞，0）∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪（1,＋∞)【例5－2】若(a＋1)－1＜(3－2a）－1，试求a的取值范围．分析：根据已知可以把给出的两个值看成是幂函数y＝x－1在x1＝a＋1,x2＝3－2a时的两个函数值，然后根据y＝x－1的单调性求出a的取值范围．解：∵y＝x－1在区间(－∞，0）和区间(0，＋∞)上均是减函数，且（a＋1）－1＜（3－2a)－1,当a＋1＜0＜3－2a，即a＜－1时，有(a＋1)－1＜(3－2a）－1；当a＋1＜0，3－2a＜0时，则此不等式组无解；当a＋1＞0,3－2a＞0时，由（a＋1）－1＜（3－2a）－1，得a＋1＞3－2a，即a满足解得。综上所述,a的取值范围是(－∞，－1）∪.6．幂函数图象与性质的综合问题由于高中阶段仅仅讨论幂指数α＝1,2，3，eq\f(1，2），－1时的幂函数的图象与性质，因此在教材中没有讨论其他幂函数的图象与性质．由幂指数α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1时的情形可以看出,幂指数α的值不同,则幂函数f（x)＝xα的图象与性质就不同．所以讨论幂函数的性质时,要从分析幂指数开始．比如，当幂指数α∈Q时,设α＝eq\f（p,q）（p，q∈Z,且p，q的最大公约数为1)，这时将幂函数的解析式化为y＝eq\r(q，xp)来讨论其定义域、值域、奇偶性、单调性．画幂函数的图象时，先根据奇偶性判断其图象的对称性：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，非奇非偶函数的图象关于原点和y轴均不对称．再结合以下结论画出幂函数图象的草图：①函数的定义域是函数图象上所有点的横坐标的取值范围；②函数的值域是函数图象上所有点的纵坐标的取值范围;③函数在区间D上是增函数，则图象在区间D上是“上升"的；函数在区间D上是减函数，则图象在区间D上是“下降”的．【例6－1】讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并作出函数图象:（1)y＝x4;(2)；(3)y＝x－3.解：(1)函数的定义域为R，值域为[0,＋∞）．设y＝f(x),因为函数的定义域关于原点对称,且f(－x)＝(－x）4＝x4＝f（x）,所以函数y＝x4是偶函数，因此函数图象关于y轴对称，其图象如图①所示．（2)函数的定义域为[0，＋∞），值域为［0,＋∞)．函数的定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．其图象如图②所示．(3）函数的定义域为（－∞,0）∪（0，＋∞)，值域